🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: İçten ve dıştan bölme Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: İçten ve dıştan bölme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde verilen \( A(2, 5) \) ve \( B(8, 11) \) noktaları arasındaki [AB] doğru parçasının orta noktası olan \( C(x, y) \) noktasının koordinatlarını bulunuz. 📍
Çözüm:
Bir doğru parçasının orta noktası, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalaması alınarak bulunur. Bu durum, doğru parçasını \( k = 1 \) oranında içten bölme işlemidir.
✅ Sonuç olarak orta nokta \( C(5, 8) \) olarak bulunur.
- Apsisi (x) bulalım: \( x = \frac{2 + 8}{2} \)
- Ordinatı (y) bulalım: \( y = \frac{5 + 11}{2} \)
\( x = \frac{10}{2} = 5 \)
\( y = \frac{16}{2} = 8 \)
✅ Sonuç olarak orta nokta \( C(5, 8) \) olarak bulunur.
Örnek 2:
\( A(1, 3) \) ve \( B(11, 13) \) noktaları veriliyor. [AB] doğru parçasını \( \frac{AC}{CB} = \frac{2}{3} \) oranında içten bölen \( C(x, y) \) noktasının koordinatları toplamı kaçtır? 💡
Çözüm:
İçten bölme sorularında artış miktarı yöntemini kullanmak oldukça pratiktir. Toplam oran \( 2 + 3 = 5 \) birimdir.
👉 Koordinatlar toplamı: \( 5 + 7 = 12 \) bulunur.
- x koordinatı için değişim: A noktasından B noktasına x değeri \( 1 \)'den \( 11 \)'e çıkmıştır.
- y koordinatı için değişim: A noktasından B noktasına y değeri \( 3 \)'ten \( 13 \)'e çıkmıştır.
\( 5k \) birimde \( 10 \) artış varsa, \( 1k \) birimde \( 2 \) artış olur.
\( AC = 2k \) olduğu için \( 2 \times 2 = 4 \) artış olmalıdır.
\( x = 1 + 4 = 5 \)
\( 5k \) birimde \( 10 \) artış varsa, \( 1k \) birimde \( 2 \) artış olur.
\( AC = 2k \) olduğu için \( 2 \times 2 = 4 \) artış olmalıdır.
\( y = 3 + 4 = 7 \)
👉 Koordinatlar toplamı: \( 5 + 7 = 12 \) bulunur.
Örnek 3:
\( A(2, 4) \) ve \( B(5, 10) \) noktaları veriliyor. AB doğrusu üzerinde, [AB] doğru parçasının dışında bir \( C(x, y) \) noktası alınıyor.
\( \frac{AC}{BC} = 2 \) olduğuna göre, \( C \) noktasının koordinatlarını bulunuz. 🔍
\( \frac{AC}{BC} = 2 \) olduğuna göre, \( C \) noktasının koordinatlarını bulunuz. 🔍
Çözüm:
Bu bir dıştan bölme sorusudur. \( AC = 2k \) ve \( BC = k \) ise, B noktası A ile C arasındadır. Yani sıralama A - B - C şeklindedir.
✅ C noktasının koordinatları \( (8, 16) \) olur.
- Mesafe Analizi: \( AC = 2k \) ve \( BC = k \) ise, \( AB = k \) olur.
- x koordinatı için: A'dan B'ye \( k \) birimde x değeri \( 2 \)'den \( 5 \)'e \( 3 \) artmıştır.
- y koordinatı için: A'dan B'ye \( k \) birimde y değeri \( 4 \)'ten \( 10 \)'a \( 6 \) artmıştır.
B'den C'ye de \( k \) birim olduğu için x değeri \( 3 \) daha artacaktır.
\( x = 5 + 3 = 8 \)
B'den C'ye de \( k \) birim olduğu için y değeri \( 6 \) daha artacaktır.
\( y = 10 + 6 = 16 \)
✅ C noktasının koordinatları \( (8, 16) \) olur.
Örnek 4:
Analitik düzlemde \( A(-3, 7) \) ve \( B(5, -9) \) noktaları veriliyor. [AB] doğru parçasını \( \frac{AC}{BC} = 3 \) oranında dıştan bölen \( C(x, y) \) noktasının orijine olan uzaklığı kaç birimdir? 📏
Çözüm:
\( \frac{AC}{BC} = 3 \) ise \( AC = 3k \) ve \( BC = k \) olur. Bu durumda B noktası A ile C arasındadır. Mesafe olarak \( AB = 2k \) olur.
- x koordinatı: A'dan B'ye \( 2k \) mesafede x değeri \( -3 \)'ten \( 5 \)'e \( 8 \) artmıştır.
- y koordinatı: A'dan B'ye \( 2k \) mesafede y değeri \( 7 \)'den \( -9 \)'a \( 16 \) azalmıştır.
- Orijine Uzaklık: \( C(9, -17) \) noktasının orijine uzaklığı:
\( 2k = 8 \) ise \( k = 4 \) artış demektir.
B'den C'ye \( k \) mesafe olduğu için \( 5 + 4 = 9 \) olur. \( x = 9 \).
\( 2k = -16 \) ise \( k = -8 \) (8 azalma) demektir.
B'den C'ye \( k \) mesafe olduğu için \( -9 - 8 = -17 \) olur. \( y = -17 \).
\( \sqrt{9^{2} + (-17)^{2}} = \sqrt{81 + 289} = \sqrt{370} \) birimdir.
Örnek 5:
Bir otoyol üzerindeki iki şehir içi kontrol noktası \( A(10, 20) \) ve \( B(70, 110) \) koordinatları ile modellenmiştir. Bu yol üzerine, A noktasına olan uzaklığı B noktasına olan uzaklığının yarısı olacak şekilde bir acil yardım istasyonu (C noktası) kurulacaktır. Bu istasyonun koordinatlarını bulunuz. 🚑
Çözüm:
Soruda verilen "A'ya uzaklık B'ye uzaklığın yarısı" ifadesi \( \frac{AC}{BC} = \frac{1}{2} \) anlamına gelir. İstasyon yol üzerinde (içte) olacağı için bir içten bölme problemidir.
📍 Acil yardım istasyonunun koordinatları \( (30, 50) \) olmalıdır.
- Oranları belirleyelim: \( AC = k \) ve \( BC = 2k \). Toplam yol \( AB = 3k \).
- x koordinatı: \( 3k \) birimde x değeri \( 10 \)'dan \( 70 \)'e \( 60 \) artmış.
- y koordinatı: \( 3k \) birimde y değeri \( 20 \)'den \( 110 \)'a \( 90 \) artmış.
\( k \) birimde \( 20 \) artar.
\( x = 10 + 20 = 30 \)
\( k \) birimde \( 30 \) artar.
\( y = 20 + 30 = 50 \)
📍 Acil yardım istasyonunun koordinatları \( (30, 50) \) olmalıdır.
Örnek 6:
Bir mimar, düz bir zemin üzerine yerleştireceği iki aydınlatma direğini \( A(1, 2) \) ve \( B(13, 17) \) noktalarına konumlandırmıştır. Mimar, bu iki direğin arasına, A direğine daha yakın olacak şekilde bir süs havuzu yerleştirmek istiyor. Havuzun her iki direğe olan uzaklıkları oranı \( \frac{1}{3} \) olduğuna göre, havuzun koordinatlarını hesaplayınız. ⛲
Çözüm:
Havuzun koordinatlarına \( C(x, y) \) diyelim. Verilen oran \( \frac{AC}{BC} = \frac{1}{3} \)'tür. Bu bir içten bölme işlemidir.
✅ Havuzun konumu \( (4, 5.75) \) noktasıdır.
- Toplam mesafe: \( 1k + 3k = 4k \)
- x ekseni analizi: \( 4k \) mesafede x değeri \( 1 \)'den \( 13 \)'e \( 12 \) artmıştır.
- y ekseni analizi: \( 4k \) mesafede y değeri \( 2 \)'den \( 17 \)'e \( 15 \) artmıştır.
\( 1k \) mesafede \( 3 \) artış olur.
\( x = 1 + 3 = 4 \)
\( 1k \) mesafede \( 15/4 = 3.75 \) artış olur.
\( y = 2 + 3.75 = 5.75 \)
✅ Havuzun konumu \( (4, 5.75) \) noktasıdır.
Örnek 7:
Uç noktaları \( A(-4, 6) \) ve \( B(6, -4) \) olan [AB] doğru parçasını \( \frac{AC}{BC} = \frac{3}{2} \) oranında içten bölen C noktasının koordinatlarını bulunuz. 📐
Çözüm:
İçten bölme kuralına göre toplam oran \( 3k + 2k = 5k \) birimdir.
👉 C noktasının koordinatları \( (2, 0) \) olarak bulunur.
- Apsis (x) hesabı: \( -4 \)'ten \( 6 \)'ya toplam artış: \( 6 - (-4) = 10 \).
- Ordinat (y) hesabı: \( 6 \)'dan \( -4 \)'e toplam azalış: \( -4 - 6 = -10 \).
\( 5k = 10 \) ise \( k = 2 \).
\( AC = 3k \) olduğu için \( 3 \times 2 = 6 \) birim artış:
\( x = -4 + 6 = 2 \)
\( 5k = -10 \) ise \( k = -2 \).
\( AC = 3k \) olduğu için \( 3 \times (-2) = -6 \) birim değişim:
\( y = 6 - 6 = 0 \)
👉 C noktasının koordinatları \( (2, 0) \) olarak bulunur.
Örnek 8:
Bir kargo uçağı \( A(0, 0) \) noktasından havalanıp \( B(100, 200) \) noktasındaki merkeze doğru doğrusal bir rota izlemektedir. Uçak, yolun %40'ını tamamladığında teknik bir sinyal göndermiştir. Sinyalin gönderildiği noktanın koordinatlarını bulunuz. ✈️
Çözüm:
Yolun %40'ı demek, yolun \( \frac{40}{100} = \frac{2}{5} \)'i demektir. Bu durumda uçak, [AB] yolunu \( \frac{AC}{AB} = \frac{2}{5} \) oranında içten bölmüştür.
✅ Sinyalin gönderildiği noktanın koordinatları \( (40, 80) \) olarak hesaplanır.
- Oran Analizi: \( AC = 2k \) ve \( AB = 5k \) ise \( CB = 3k \) olur.
- x koordinatı: \( 5k \) birimde x değeri \( 0 \)'dan \( 100 \)'e \( 100 \) artmış.
- y koordinatı: \( 5k \) birimde y değeri \( 0 \)'dan \( 200 \)'e \( 200 \) artmış.
\( 1k \) birimde \( 20 \) artar.
\( 2k \) birimde \( 40 \) artar.
\( x = 0 + 40 = 40 \)
\( 1k \) birimde \( 40 \) artar.
\( 2k \) birimde \( 80 \) artar.
\( y = 0 + 80 = 80 \)
✅ Sinyalin gönderildiği noktanın koordinatları \( (40, 80) \) olarak hesaplanır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-icten-ve-distan-bolme/sorular