🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: İç Açıortay Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: İç Açıortay Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A köşesine ait iç açıortay BC kenarını D noktasında kesmektedir. 📐
Kenar uzunlukları \( |AB| = 6 \) cm ve \( |AC| = 9 \) cm olarak verilmiştir. Ayrıca \( |BD| = 4 \) cm olduğuna göre, \( |DC| \) uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Kenar uzunlukları \( |AB| = 6 \) cm ve \( |AC| = 9 \) cm olarak verilmiştir. Ayrıca \( |BD| = 4 \) cm olduğuna göre, \( |DC| \) uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu problemde İç Açıortay Teoremi'ni kullanacağız. 💡 Teorem der ki: Bir üçgende bir köşeye ait iç açıortay, karşı kenarı diğer iki kenarın oranında böler.
Yani, \( \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \) eşitliğini uygulayabiliriz.
Yani, \( \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \) eşitliğini uygulayabiliriz.
- 👉 Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ \frac{6}{9} = \frac{4}{|DC|} \]
- 👉 Oranı sadeleştirelim: \[ \frac{2}{3} = \frac{4}{|DC|} \]
- 👉 İçler dışlar çarpımı yaparak \( |DC| \) uzunluğunu bulalım: \[ 2 \cdot |DC| = 3 \cdot 4 \] \[ 2 \cdot |DC| = 12 \] \[ |DC| = \frac{12}{2} \] \[ |DC| = 6 \text{ cm} \]
Örnek 2:
Bir KLM üçgeninde, L köşesine ait iç açıortay KM kenarını N noktasında kesmektedir. 📏
Kenar uzunlukları \( |KL| = 8 \) cm, \( |LM| = 12 \) cm ve \( |KN| = 6 \) cm olarak verilmiştir. Buna göre, \( |NM| \) uzunluğu kaç cm'dir? 🧐
Kenar uzunlukları \( |KL| = 8 \) cm, \( |LM| = 12 \) cm ve \( |KN| = 6 \) cm olarak verilmiştir. Buna göre, \( |NM| \) uzunluğu kaç cm'dir? 🧐
Çözüm:
Yine İç Açıortay Teoremi'ni kullanarak soruyu çözeceğiz. 📌 L köşesinden çizilen açıortay için teorem şu şekilde uygulanır:
\( \frac{|KL|}{|LM|} = \frac{|KN|}{|NM|} \)
- 👉 Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ \frac{8}{12} = \frac{6}{|NM|} \]
- 👉 Oranı sadeleştirelim: \[ \frac{2}{3} = \frac{6}{|NM|} \]
- 👉 İçler dışlar çarpımı yaparak \( |NM| \) uzunluğunu bulalım: \[ 2 \cdot |NM| = 3 \cdot 6 \] \[ 2 \cdot |NM| = 18 \] \[ |NM| = \frac{18}{2} \] \[ |NM| = 9 \text{ cm} \]
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde, A köşesine ait iç açıortay BC kenarını D noktasında kesmektedir. 📐
Kenar uzunlukları \( |AB| = x+3 \), \( |AC| = 2x-1 \), \( |BD| = 4 \) ve \( |DC| = 6 \) birim olarak verilmiştir. Buna göre, \( x \) değeri kaçtır? 🤔
Kenar uzunlukları \( |AB| = x+3 \), \( |AC| = 2x-1 \), \( |BD| = 4 \) ve \( |DC| = 6 \) birim olarak verilmiştir. Buna göre, \( x \) değeri kaçtır? 🤔
Çözüm:
Bu problemde de İç Açıortay Teoremi'ni kullanacağız, ancak kenar uzunlukları cebirsel ifadelerle verilmiş. ✍️ Formülümüz:
\( \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \)
- 👉 Verilen cebirsel ifadeleri ve sayıları formülde yerine yazalım: \[ \frac{x+3}{2x-1} = \frac{4}{6} \]
- 👉 Sağ taraftaki oranı sadeleştirelim: \[ \frac{x+3}{2x-1} = \frac{2}{3} \]
- 👉 İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi çözelim: \[ 3 \cdot (x+3) = 2 \cdot (2x-1) \] \[ 3x + 9 = 4x - 2 \]
- 👉 \( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım: \[ 9 + 2 = 4x - 3x \] \[ 11 = x \]
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde A köşesine ait iç açıortay BC kenarını D noktasında kesmektedir. Üçgenin çevresi 30 cm'dir. ♻️
\( |BD| = 3 \) cm ve \( |DC| = 5 \) cm olduğuna göre, \( |AB| \) ve \( |AC| \) kenar uzunlukları kaçar cm'dir? 🧐
\( |BD| = 3 \) cm ve \( |DC| = 5 \) cm olduğuna göre, \( |AB| \) ve \( |AC| \) kenar uzunlukları kaçar cm'dir? 🧐
Çözüm:
Bu soruda hem İç Açıortay Teoremi'ni hem de üçgenin çevresi bilgisini kullanacağız. 💡
- 👉 Öncelikle İç Açıortay Teoremi'ni uygulayalım: \[ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \] \[ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{3}{5} \]
- 👉 Bu oran bize \( |AB| \) ve \( |AC| \) arasında bir ilişki verir. Diyelim ki \( |AB| = 3k \) ve \( |AC| = 5k \) olsun.
- 👉 Üçgenin çevresi \( |AB| + |AC| + |BC| = 30 \) cm olarak verilmiştir.
- 👉 \( |BC| \) uzunluğu \( |BD| + |DC| = 3 + 5 = 8 \) cm'dir.
- 👉 Çevre formülünde yerine yazalım: \[ 3k + 5k + 8 = 30 \] \[ 8k + 8 = 30 \]
- 👉 Denklemi çözerek \( k \) değerini bulalım: \[ 8k = 30 - 8 \] \[ 8k = 22 \] \[ k = \frac{22}{8} \] \[ k = \frac{11}{4} \]
- 👉 Şimdi \( |AB| \) ve \( |AC| \) uzunluklarını hesaplayalım: \[ |AB| = 3k = 3 \cdot \frac{11}{4} = \frac{33}{4} \text{ cm} \] \[ |AC| = 5k = 5 \cdot \frac{11}{4} = \frac{55}{4} \text{ cm} \]
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, A köşesine ait iç açıortay BC kenarını D noktasında kesmektedir. 📐
Kenar uzunlukları \( |AB| = 9 \) cm, \( |AC| = 12 \) cm, \( |BD| = 6 \) cm ve \( |DC| = 8 \) cm olarak verilmiştir. Buna göre, iç açıortay AD'nin uzunluğu ( \( n_a \) ) kaç cm'dir? 🤔
Kenar uzunlukları \( |AB| = 9 \) cm, \( |AC| = 12 \) cm, \( |BD| = 6 \) cm ve \( |DC| = 8 \) cm olarak verilmiştir. Buna göre, iç açıortay AD'nin uzunluğu ( \( n_a \) ) kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu soruda İç Açıortayın Uzunluk Formülü'nü kullanacağız. 📌 Bir üçgende A köşesine ait iç açıortayın uzunluğu \( n_a \) olmak üzere:
\( n_a^2 = |AB| \cdot |AC| - |BD| \cdot |DC| \)
- 👉 Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ n_a^2 = 9 \cdot 12 - 6 \cdot 8 \]
- 👉 Çarpma işlemlerini yapalım: \[ n_a^2 = 108 - 48 \]
- 👉 Çıkarma işlemini yapalım: \[ n_a^2 = 60 \]
- 👉 Her iki tarafın karekökünü alarak \( n_a \) uzunluğunu bulalım: \[ n_a = \sqrt{60} \]
- 👉 \( \sqrt{60} \) ifadesini sadeleştirelim (\( 60 = 4 \cdot 15 \)): \[ n_a = \sqrt{4 \cdot 15} \] \[ n_a = 2\sqrt{15} \text{ cm} \]
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde, A köşesine ait iç açıortay BC kenarını D noktasında kesmektedir. 📐
\( |AB| = 10 \) cm ve \( |AC| = 15 \) cm'dir. D noktasından AC kenarına paralel olarak çizilen doğru, AB kenarını E noktasında kesmektedir. Buna göre, \( |AE| \) uzunluğu kaç cm'dir? 🧐
\( |AB| = 10 \) cm ve \( |AC| = 15 \) cm'dir. D noktasından AC kenarına paralel olarak çizilen doğru, AB kenarını E noktasında kesmektedir. Buna göre, \( |AE| \) uzunluğu kaç cm'dir? 🧐
Çözüm:
Bu problemde İç Açıortay Teoremi'ni ve Temel Benzerlik Teoremi'ni (Thales Teoremi'nin bir uygulaması) birlikte kullanacağız. 💡
- 👉 Öncelikle İç Açıortay Teoremi'ni uygulayalım: \[ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \] \[ \frac{10}{15} = \frac{|BD|}{|DC|} \]
- 👉 Oranı sadeleştirelim: \[ \frac{2}{3} = \frac{|BD|}{|DC|} \]
- 👉 Bu oran bize \( |BD| = 2k \) ve \( |DC| = 3k \) olduğunu gösterir. O zaman \( |BC| = 5k \) olur.
- 👉 Şimdi D noktasından AC'ye paralel çizilen DE doğrusunu inceleyelim. \( DE \parallel AC \) olduğu için, BDE üçgeni ile BCA üçgeni benzerdir (Açı-Açı benzerliği).
- 👉 Benzerlikten dolayı kenar oranlarını yazabiliriz: \[ \frac{|BD|}{|BC|} = \frac{|BE|}{|BA|} = \frac{|DE|}{|AC|} \]
- 👉 Biz \( \frac{|BD|}{|BC|} \) oranını biliyoruz: \[ \frac{2k}{5k} = \frac{2}{5} \]
- 👉 Şimdi \( \frac{|BE|}{|BA|} \) oranını kullanalım: \[ \frac{|BE|}{|BA|} = \frac{2}{5} \]
- 👉 \( |BA| = 10 \) cm olarak verilmişti, yerine yazalım: \[ \frac{|BE|}{10} = \frac{2}{5} \]
- 👉 İçler dışlar çarpımı yaparak \( |BE| \) uzunluğunu bulalım: \[ 5 \cdot |BE| = 2 \cdot 10 \] \[ 5 \cdot |BE| = 20 \] \[ |BE| = 4 \text{ cm} \]
- 👉 Bizden \( |AE| \) uzunluğu isteniyor. \( |AB| = |AE| + |BE| \) olduğundan: \[ 10 = |AE| + 4 \] \[ |AE| = 10 - 4 \] \[ |AE| = 6 \text{ cm} \]
Örnek 7:
Bir mühendis, bir arazi üzerinde bulunan iki farklı yolun (AB ve AC) oluşturduğu açının tam ortasından geçecek şekilde yeni bir yürüyüş yolu (AD) tasarlamak istiyor. 🏞️ Bu yeni yolun, arazinin karşı sınırında bulunan BC hattını D noktasında kesmesi planlanıyor.
Yolların uzunlukları \( |AB| = 120 \) metre ve \( |AC| = 180 \) metre olarak ölçülmüştür. Ayrıca, mevcut BC sınır hattının D noktasından B köşesine olan uzaklığı \( |BD| = 60 \) metre olarak belirlenmiştir.
Mühendis, bu yeni yürüyüş yolunun geçtiği D noktasının, C köşesine olan uzaklığı olan \( |DC| \) mesafesini hesaplamak istiyor. Ona yardımcı olabilir misiniz? 🗺️
Yolların uzunlukları \( |AB| = 120 \) metre ve \( |AC| = 180 \) metre olarak ölçülmüştür. Ayrıca, mevcut BC sınır hattının D noktasından B köşesine olan uzaklığı \( |BD| = 60 \) metre olarak belirlenmiştir.
Mühendis, bu yeni yürüyüş yolunun geçtiği D noktasının, C köşesine olan uzaklığı olan \( |DC| \) mesafesini hesaplamak istiyor. Ona yardımcı olabilir misiniz? 🗺️
Çözüm:
Bu "yeni nesil" problem, gerçek hayattaki bir senaryo üzerinden İç Açıortay Teoremi'nin uygulanmasını gerektiriyor. Yeni yürüyüş yolu (AD), yolların (AB ve AC) oluşturduğu açının tam ortasından geçtiği için bir iç açıortay görevi görür. 📐
- 👉 İç Açıortay Teoremi'ne göre, açıortay karşı kenarı diğer iki kenarın oranında böler: \[ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \]
- 👉 Verilen arazi ölçülerini formülde yerine yazalım: \[ \frac{120}{180} = \frac{60}{|DC|} \]
- 👉 Sol taraftaki oranı sadeleştirelim. Her iki tarafı 60'a bölebiliriz: \[ \frac{2}{3} = \frac{60}{|DC|} \]
- 👉 İçler dışlar çarpımı yaparak \( |DC| \) mesafesini bulalım: \[ 2 \cdot |DC| = 3 \cdot 60 \] \[ 2 \cdot |DC| = 180 \] \[ |DC| = \frac{180}{2} \] \[ |DC| = 90 \text{ metre} \]
Örnek 8:
Bir marangoz, elindeki üçgen şeklindeki bir tahta parçasını (ABC üçgeni) A köşesindeki açıyı tam ortadan ikiye bölecek şekilde kesmek istiyor. 🪚 Bu kesim çizgisi (AD), tahtanın BC kenarına D noktasında denk geliyor. Marangozun amacı, kesim sonrasında oluşan parçaların belirli oranlarda olmasını sağlamaktır.
Tahtanın kenar uzunlukları \( |AB| = 40 \) cm ve \( |AC| = 60 \) cm olarak ölçülmüştür. Marangoz, kesim çizgisinin BC kenarını ayırdığı parçalardan \( |BD| \) uzunluğunun 25 cm olmasını istiyor.
Bu durumda, marangozun kesim sonrası elde edeceği diğer parça olan \( |DC| \) uzunluğu kaç cm olacaktır? Bu bilgi, tahtayı doğru yerden kesmesi için ona nasıl yardımcı olur? 🤔
Çözüm:
Bu senaryoda, marangozun yaptığı kesim çizgisi (AD), İç Açıortay Teoremi'nin günlük hayattaki bir uygulamasıdır. A köşesindeki açıyı tam ortadan bölmek, AD'nin bir iç açıortay olduğunu gösterir. 💡
- 👉 İç Açıortay Teoremi'ne göre: \[ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \]
- 👉 Marangozun ölçtüğü ve istediği değerleri formülde yerine yazalım: \[ \frac{40}{60} = \frac{25}{|DC|} \]
- 👉 Sol taraftaki oranı sadeleştirelim. Her iki tarafı 20'ye bölebiliriz: \[ \frac{2}{3} = \frac{25}{|DC|} \]
- 👉 İçler dışlar çarpımı yaparak \( |DC| \) uzunluğunu bulalım: \[ 2 \cdot |DC| = 3 \cdot 25 \] \[ 2 \cdot |DC| = 75 \] \[ |DC| = \frac{75}{2} \] \[ |DC| = 37.5 \text{ cm} \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-ic-aciortay/sorular