💡 10. Sınıf Matematik: Günlük yaşamdan fonksiyon modeli Çözümlü Örnekler

Bu problemi bir fonksiyon modeliyle açıklayalım:

• Değişkenler:
• Satılan elma miktarı: \(x\) (kg)
• Toplam gelir: \(f(x)\) (TL)
• Sabitler:
• Elmanın kilogram fiyatı: 3 TL
• Toplam elma miktarı: 120 kg (Bu bir üst sınırdır, fonksiyonun tanım kümesini belirler)
• Fonksiyon Kuralı:

Elde edilecek toplam gelir, satılan elma miktarı ile kilogram fiyatının çarpımına eşittir.

\(f(x) = 3x\)
• Tanım Kümesi:

Manav en az 0 kg, en fazla ise 120 kg elma satabilir. Bu nedenle tanım kümesi [0, 120] aralığıdır.

Sonuç: Manavın elde edeceği toplam geliri gösteren fonksiyon \(f(x) = 3x\), tanım kümesi ise [0, 120] aralığıdır. 💡

Bu durumu bir fonksiyon modeliyle ifade edelim:

• Değişkenler:
• Gidilen yol mesafesi: \(x\) (km)
• Toplam ödenecek ücret: \(f(x)\) (TL)
• Sabitler:
• Açılış ücreti: 10 TL
• Kilometre başına ücret: 5 TL
• Fonksiyon Kuralı:

Toplam ücret, sabit açılış ücreti ile gidilen mesafenin kilometre başına ücrete çarpımının toplamıdır.

\(f(x) = 5x + 10\)
• Tanım Kümesi:

Gidilen mesafe negatif olamayacağı için \(x \ge 0\) olmalıdır.

Sonuç: Müşterinin ödeyeceği toplam ücreti gösteren fonksiyon \(f(x) = 5x + 10\)'dur. ✅

Maliyet fonksiyonunu adım adım oluşturalım:

• Değişkenler:
• Üretilen ürün adedi: \(x\)
• Toplam maliyet: \(M(x)\) (TL)
• Sabitler ve Değişken Maliyetler:
• Sabit maliyet (her ürün için): 20 TL
• Her 100 ürün için ek maliyet: 500 TL
• Fonksiyon Kuralı:

Öncelikle sabit maliyeti hesaplayalım: \(20x\)

Sonra 100 ürünlük gruplar için ek maliyeti hesaplayalım. Üretilen \(x\) adet ürün için kaç tane 100'lük grup olduğunu bulmak için \( \lfloor \frac{x}{100} \rfloor \) kullanırız. Her bir grup için 500 TL eklenir.

Bu durumda toplam maliyet fonksiyonu:

\(M(x) = 20x + 500 \times \lfloor \frac{x}{100} \rfloor\)

Not: \(\lfloor a \rfloor\) ifadesi, \(a\) sayısını kendinden küçük veya eşit en büyük tam sayıya yuvarlar (taban fonksiyonu).

Sonuç: Toplam maliyet fonksiyonu \(M(x) = 20x + 500 \lfloor \frac{x}{100} \rfloor\)'dir. 📌

Bu abonelik ücretini bir fonksiyonla ifade edelim:

• Değişkenler:
• Kullanılan veri miktarı: \(x\) (GB)
• Aylık ücret: \(U(x)\) (TL)
• Sabitler ve Değişken Ücretler:
• İlk 1 GB ücreti: 15 TL
• Sonraki her 1 GB için ek ücret: 7 TL
• Fonksiyon Kuralı:

Eğer kullanıcı 1 GB veya daha az veri kullanırsa, ücret sabittir:

\(U(x) = 15\), eğer \(0 \le x \le 1\) ise.

Eğer kullanıcı 1 GB'den fazla veri kullanırsa, ilk 1 GB için 15 TL ödenir. Geriye kalan veri miktarı \((x-1)\) GB'dir. Bu kalan kısım için her 1 GB başına 7 TL alınır. Bu \(x-1\) GB'lik kısmın kaç tane tam 1 GB'lik paket içerdiğini bulmak için \(\lceil x-1 \rceil\) kullanırız. \(\lceil a \rceil\) ifadesi, \(a\) sayısını kendinden büyük veya eşit en küçük tam sayıya yuvarlar (tavan fonksiyonu).

Bu durumda fonksiyon kuralı:

\(U(x) = 15 + 7 \times \lceil x-1 \rceil\), eğer \(x > 1\) ise.

Not: \(\lceil a \rceil\) ifadesi, \(a\) sayısını kendinden büyük veya eşit en küçük tam sayıya yuvarlar (tavan fonksiyonu).

Sonuç: Aylık ücret fonksiyonu şu şekilde modellenebilir:

\[ U(x) = \begin{cases} 15 & \text{eğer } 0 \le x \le 1 \\ 15 + 7 \lceil x-1 \rceil & \text{eğer } x > 1 \end{cases} \]

Bu, piecewise (parçalı) bir fonksiyondur. 💡

Bu kargo ücreti durumunu bir fonksiyonla ifade edelim:

• Değişkenler:
• Alışveriş tutarı: \(a\) (TL)
• Ödenecek toplam tutar: \(T(a)\) (TL)
• Sabitler:
• Standart kargo ücreti: 15 TL
• Ücretsiz kargo sınırı: 200 TL
• Fonksiyon Kuralı:

Eğer alışveriş tutarı 200 TL'den az ise, toplam tutar alışveriş tutarı artı kargo ücretidir.

Eğer alışveriş tutarı 200 TL veya daha fazla ise, kargo ücreti alınmaz ve toplam tutar sadece alışveriş tutarıdır.

Bu durumu piecewise (parçalı) fonksiyon olarak yazabiliriz:

\[ T(a) = \begin{cases} a + 15 & \text{eğer } 0 \le a < 200 \\ a & \text{eğer } a \ge 200 \end{cases} \]

Sonuç: Ödenecek toplam tutarı gösteren fonksiyon \(T(a)\) yukarıdaki gibidir. ✅

Bu su azalışını bir fonksiyon modeliyle gösterelim:

• Değişkenler:
• Geçen gün sayısı: \(x\)
• Depodaki su miktarı: \(S(x)\) (litre)
• Sabitler:
• Başlangıçtaki su miktarı: 500 litre
• Günlük azalış miktarı: 25 litre
• Fonksiyon Kuralı:

Depodaki su miktarı, başlangıçtaki miktardan, her gün azalan miktarın gün sayısı ile çarpımının çıkarılmasıyla bulunur.

\(S(x) = 500 - 25x\)
• Tanım Kümesi:

Depodaki su miktarı negatif olamaz. Su miktarı sıfır olduğunda \(500 - 25x = 0 \Rightarrow 25x = 500 \Rightarrow x = 20\) olur. Dolayısıyla \(x\) değeri 0 ile 20 gün arasında olabilir.

Tanım kümesi: [0, 20]

Sonuç: Depodaki su miktarını gösteren fonksiyon \(S(x) = 500 - 25x\)'tir. 💡

Bu üretim maliyetini fonksiyon olarak modelleyelim:

• Değişkenler:
• Üretilen şişe sayısı: \(x\)
• Toplam maliyet: \(C(x)\) (TL)
• Maliyet Unsurları:
• Sabit maliyet (şişe başına): 3 TL
• Her 1000 şişe için ek maliyet: 200 TL
• Fonksiyon Kuralı:

Sabit maliyetin toplamı \(3x\) olur.

Ek makine bakım maliyeti için, üretilen \(x\) şişe sayısının kaç tane 1000'lik grup oluşturduğunu bulmalıyız. Bu da \(\lfloor \frac{x}{1000} \rfloor\) ile bulunur. Her bir 1000'lik grup için 200 TL eklenir.

Toplam maliyet fonksiyonu:

\(C(x) = 3x + 200 \times \lfloor \frac{x}{1000} \rfloor\)

Not: \(\lfloor a \rfloor\), \(a\) sayısını kendisinden küçük veya eşit en büyük tam sayıya yuvarlar.

Sonuç: Toplam maliyet fonksiyonu \(C(x) = 3x + 200 \lfloor \frac{x}{1000} \rfloor\)'dir. 📌

Kupon kazanımını bir fonksiyon modeliyle gösterelim:

• Değişkenler:
• Yapılan harcama tutarı: \(h\) (TL)
• Kazanılan kupon miktarı: \(K(h)\) (TL)
• Kupon Kuralları:
• 150 TL altı harcama: Kupon yok (0 TL)
• 150 TL - 300 TL arası harcama: 10 TL kupon
• 300 TL ve üzeri harcama: 25 TL kupon
• Fonksiyon Kuralı:

Bu durumu piecewise (parçalı) fonksiyon olarak ifade edebiliriz:

\[ K(h) = \begin{cases} 0 & \text{eğer } 0 \le h < 150 \\ 10 & \text{eğer } 150 \le h < 300 \\ 25 & \text{eğer } h \ge 300 \end{cases} \]

Sonuç: Kazanılan kupon miktarını gösteren fonksiyon \(K(h)\) yukarıdaki gibidir. ✅