💡 10. Sınıf Matematik: Günlük yaşamdan fonksiyon modeli Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir manav, elindeki 120 kg elmayı tanesi 3 TL'den satmayı planlıyor. Eğer elmaların tamamı satılırsa elde edeceği toplam geliri veren fonksiyonu bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bu problemi bir fonksiyon modeliyle açıklayalım:
Değişkenler:
Satılan elma miktarı: \(x\) (kg)
Toplam gelir: \(f(x)\) (TL)
Sabitler:
Elmanın kilogram fiyatı: 3 TL
Toplam elma miktarı: 120 kg (Bu bir üst sınırdır, fonksiyonun tanım kümesini belirler)
Fonksiyon Kuralı:
Elde edilecek toplam gelir, satılan elma miktarı ile kilogram fiyatının çarpımına eşittir.
\(f(x) = 3x\)
Tanım Kümesi:
Manav en az 0 kg, en fazla ise 120 kg elma satabilir. Bu nedenle tanım kümesi [0, 120] aralığıdır.
Sonuç: Manavın elde edeceği toplam geliri gösteren fonksiyon \(f(x) = 3x\), tanım kümesi ise [0, 120] aralığıdır. 💡
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir taksi şirketinin açılış ücreti 10 TL ve kilometre başına 5 TL'dir. Buna göre, \(x\) kilometre yol giden bir müşterinin ödeyeceği toplam ücreti gösteren fonksiyonu yazınız.
Çözüm ve Açıklama
Bu durumu bir fonksiyon modeliyle ifade edelim:
Değişkenler:
Gidilen yol mesafesi: \(x\) (km)
Toplam ödenecek ücret: \(f(x)\) (TL)
Sabitler:
Açılış ücreti: 10 TL
Kilometre başına ücret: 5 TL
Fonksiyon Kuralı:
Toplam ücret, sabit açılış ücreti ile gidilen mesafenin kilometre başına ücrete çarpımının toplamıdır.
\(f(x) = 5x + 10\)
Tanım Kümesi:
Gidilen mesafe negatif olamayacağı için \(x \ge 0\) olmalıdır.
Sonuç: Müşterinin ödeyeceği toplam ücreti gösteren fonksiyon \(f(x) = 5x + 10\)'dur. ✅
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir fabrikada üretilen bir ürünün maliyeti, üretim adedine bağlı olarak değişmektedir. Üretilen her bir ürün için 20 TL sabit maliyet ve her 100 ürün için 500 TL ek üretim maliyeti vardır. \(x\) adet ürün üretildiğinde toplam maliyeti gösteren fonksiyonu bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Maliyet fonksiyonunu adım adım oluşturalım:
Değişkenler:
Üretilen ürün adedi: \(x\)
Toplam maliyet: \(M(x)\) (TL)
Sabitler ve Değişken Maliyetler:
Sabit maliyet (her ürün için): 20 TL
Her 100 ürün için ek maliyet: 500 TL
Fonksiyon Kuralı:
Öncelikle sabit maliyeti hesaplayalım: \(20x\)
Sonra 100 ürünlük gruplar için ek maliyeti hesaplayalım. Üretilen \(x\) adet ürün için kaç tane 100'lük grup olduğunu bulmak için \( \lfloor \frac{x}{100} \rfloor \) kullanırız. Her bir grup için 500 TL eklenir.
Bir akıllı telefon uygulamasının aylık kullanım ücreti, ilk 1 GB veri kullanımı için 15 TL'dir. Sonraki her 1 GB veri kullanımı için ek olarak 7 TL alınmaktadır. Bir kullanıcının bir ayda \(x\) GB veri kullandığında ödeyeceği aylık ücreti gösteren fonksiyonu modelleyiniz.
Çözüm ve Açıklama
Bu abonelik ücretini bir fonksiyonla ifade edelim:
Değişkenler:
Kullanılan veri miktarı: \(x\) (GB)
Aylık ücret: \(U(x)\) (TL)
Sabitler ve Değişken Ücretler:
İlk 1 GB ücreti: 15 TL
Sonraki her 1 GB için ek ücret: 7 TL
Fonksiyon Kuralı:
Eğer kullanıcı 1 GB veya daha az veri kullanırsa, ücret sabittir:
\(U(x) = 15\), eğer \(0 \le x \le 1\) ise.
Eğer kullanıcı 1 GB'den fazla veri kullanırsa, ilk 1 GB için 15 TL ödenir. Geriye kalan veri miktarı \((x-1)\) GB'dir. Bu kalan kısım için her 1 GB başına 7 TL alınır. Bu \(x-1\) GB'lik kısmın kaç tane tam 1 GB'lik paket içerdiğini bulmak için \(\lceil x-1 \rceil\) kullanırız. \(\lceil a \rceil\) ifadesi, \(a\) sayısını kendinden büyük veya eşit en küçük tam sayıya yuvarlar (tavan fonksiyonu).
Bu durumda fonksiyon kuralı:
\(U(x) = 15 + 7 \times \lceil x-1 \rceil\), eğer \(x > 1\) ise.
Not: \(\lceil a \rceil\) ifadesi, \(a\) sayısını kendinden büyük veya eşit en küçük tam sayıya yuvarlar (tavan fonksiyonu).
Sonuç: Aylık ücret fonksiyonu şu şekilde modellenebilir:
Bir e-ticaret sitesi, belirli bir tutarın üzerindeki alışverişlerde kargo ücretini ücretsiz yapmaktadır. Eğer alışveriş tutarı 200 TL'nin altında ise kargo ücreti 15 TL'dir. Alışveriş tutarına göre ödenecek toplam tutarı gösteren fonksiyonu yazınız.
Çözüm ve Açıklama
Bu kargo ücreti durumunu bir fonksiyonla ifade edelim:
Değişkenler:
Alışveriş tutarı: \(a\) (TL)
Ödenecek toplam tutar: \(T(a)\) (TL)
Sabitler:
Standart kargo ücreti: 15 TL
Ücretsiz kargo sınırı: 200 TL
Fonksiyon Kuralı:
Eğer alışveriş tutarı 200 TL'den az ise, toplam tutar alışveriş tutarı artı kargo ücretidir.
Eğer alışveriş tutarı 200 TL veya daha fazla ise, kargo ücreti alınmaz ve toplam tutar sadece alışveriş tutarıdır.
Bu durumu piecewise (parçalı) fonksiyon olarak yazabiliriz:
\[
T(a) =
\begin{cases}
a + 15 & \text{eğer } 0 \le a < 200 \\
a & \text{eğer } a \ge 200
\end{cases}
\]
Sonuç: Ödenecek toplam tutarı gösteren fonksiyon \(T(a)\) yukarıdaki gibidir. ✅
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir depoda bulunan 500 litre su, her gün 25 litre azalarak tükenmektedir. Depodaki su miktarının geçen gün sayısına göre değişimini gösteren fonksiyonu yazınız.
Çözüm ve Açıklama
Bu su azalışını bir fonksiyon modeliyle gösterelim:
Değişkenler:
Geçen gün sayısı: \(x\)
Depodaki su miktarı: \(S(x)\) (litre)
Sabitler:
Başlangıçtaki su miktarı: 500 litre
Günlük azalış miktarı: 25 litre
Fonksiyon Kuralı:
Depodaki su miktarı, başlangıçtaki miktardan, her gün azalan miktarın gün sayısı ile çarpımının çıkarılmasıyla bulunur.
\(S(x) = 500 - 25x\)
Tanım Kümesi:
Depodaki su miktarı negatif olamaz. Su miktarı sıfır olduğunda \(500 - 25x = 0 \Rightarrow 25x = 500 \Rightarrow x = 20\) olur. Dolayısıyla \(x\) değeri 0 ile 20 gün arasında olabilir.
Tanım kümesi: [0, 20]
Sonuç: Depodaki su miktarını gösteren fonksiyon \(S(x) = 500 - 25x\)'tir. 💡
7
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir deterjan fabrikası, bir şişe deterjanı üretmek için 3 TL sabit maliyet ve her 1000 şişe için 200 TL ek makine bakım maliyeti üstlenmektedir. Bir ayda \(x\) şişe deterjan üretildiğinde toplam maliyeti gösteren fonksiyonu bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bu üretim maliyetini fonksiyon olarak modelleyelim:
Değişkenler:
Üretilen şişe sayısı: \(x\)
Toplam maliyet: \(C(x)\) (TL)
Maliyet Unsurları:
Sabit maliyet (şişe başına): 3 TL
Her 1000 şişe için ek maliyet: 200 TL
Fonksiyon Kuralı:
Sabit maliyetin toplamı \(3x\) olur.
Ek makine bakım maliyeti için, üretilen \(x\) şişe sayısının kaç tane 1000'lik grup oluşturduğunu bulmalıyız. Bu da \(\lfloor \frac{x}{1000} \rfloor\) ile bulunur. Her bir 1000'lik grup için 200 TL eklenir.
Bir süpermarket, müşterilerine belirli bir harcama tutarının üzerine çıktıklarında indirim kuponu vermektedir. Eğer müşteri 150 TL'nin altında harcama yaparsa kupon alamaz. 150 TL ile 300 TL arasında harcama yaparsa 10 TL'lik kupon kazanır. 300 TL ve üzerinde harcama yaparsa 25 TL'lik kupon kazanır. Müşterinin yaptığı harcamaya göre kazanacağı kupon miktarını gösteren fonksiyonu yazınız.
Çözüm ve Açıklama
Kupon kazanımını bir fonksiyon modeliyle gösterelim:
Değişkenler:
Yapılan harcama tutarı: \(h\) (TL)
Kazanılan kupon miktarı: \(K(h)\) (TL)
Kupon Kuralları:
150 TL altı harcama: Kupon yok (0 TL)
150 TL - 300 TL arası harcama: 10 TL kupon
300 TL ve üzeri harcama: 25 TL kupon
Fonksiyon Kuralı:
Bu durumu piecewise (parçalı) fonksiyon olarak ifade edebiliriz:
Sonuç: Kazanılan kupon miktarını gösteren fonksiyon \(K(h)\) yukarıdaki gibidir. ✅
10. Sınıf Matematik: Günlük yaşamdan fonksiyon modeli Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir manav, elindeki 120 kg elmayı tanesi 3 TL'den satmayı planlıyor. Eğer elmaların tamamı satılırsa elde edeceği toplam geliri veren fonksiyonu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemi bir fonksiyon modeliyle açıklayalım:
Değişkenler:
Satılan elma miktarı: \(x\) (kg)
Toplam gelir: \(f(x)\) (TL)
Sabitler:
Elmanın kilogram fiyatı: 3 TL
Toplam elma miktarı: 120 kg (Bu bir üst sınırdır, fonksiyonun tanım kümesini belirler)
Fonksiyon Kuralı:
Elde edilecek toplam gelir, satılan elma miktarı ile kilogram fiyatının çarpımına eşittir.
\(f(x) = 3x\)
Tanım Kümesi:
Manav en az 0 kg, en fazla ise 120 kg elma satabilir. Bu nedenle tanım kümesi [0, 120] aralığıdır.
Sonuç: Manavın elde edeceği toplam geliri gösteren fonksiyon \(f(x) = 3x\), tanım kümesi ise [0, 120] aralığıdır. 💡
Örnek 2:
Bir taksi şirketinin açılış ücreti 10 TL ve kilometre başına 5 TL'dir. Buna göre, \(x\) kilometre yol giden bir müşterinin ödeyeceği toplam ücreti gösteren fonksiyonu yazınız.
Çözüm:
Bu durumu bir fonksiyon modeliyle ifade edelim:
Değişkenler:
Gidilen yol mesafesi: \(x\) (km)
Toplam ödenecek ücret: \(f(x)\) (TL)
Sabitler:
Açılış ücreti: 10 TL
Kilometre başına ücret: 5 TL
Fonksiyon Kuralı:
Toplam ücret, sabit açılış ücreti ile gidilen mesafenin kilometre başına ücrete çarpımının toplamıdır.
\(f(x) = 5x + 10\)
Tanım Kümesi:
Gidilen mesafe negatif olamayacağı için \(x \ge 0\) olmalıdır.
Sonuç: Müşterinin ödeyeceği toplam ücreti gösteren fonksiyon \(f(x) = 5x + 10\)'dur. ✅
Örnek 3:
Bir fabrikada üretilen bir ürünün maliyeti, üretim adedine bağlı olarak değişmektedir. Üretilen her bir ürün için 20 TL sabit maliyet ve her 100 ürün için 500 TL ek üretim maliyeti vardır. \(x\) adet ürün üretildiğinde toplam maliyeti gösteren fonksiyonu bulunuz.
Çözüm:
Maliyet fonksiyonunu adım adım oluşturalım:
Değişkenler:
Üretilen ürün adedi: \(x\)
Toplam maliyet: \(M(x)\) (TL)
Sabitler ve Değişken Maliyetler:
Sabit maliyet (her ürün için): 20 TL
Her 100 ürün için ek maliyet: 500 TL
Fonksiyon Kuralı:
Öncelikle sabit maliyeti hesaplayalım: \(20x\)
Sonra 100 ürünlük gruplar için ek maliyeti hesaplayalım. Üretilen \(x\) adet ürün için kaç tane 100'lük grup olduğunu bulmak için \( \lfloor \frac{x}{100} \rfloor \) kullanırız. Her bir grup için 500 TL eklenir.
Bir akıllı telefon uygulamasının aylık kullanım ücreti, ilk 1 GB veri kullanımı için 15 TL'dir. Sonraki her 1 GB veri kullanımı için ek olarak 7 TL alınmaktadır. Bir kullanıcının bir ayda \(x\) GB veri kullandığında ödeyeceği aylık ücreti gösteren fonksiyonu modelleyiniz.
Çözüm:
Bu abonelik ücretini bir fonksiyonla ifade edelim:
Değişkenler:
Kullanılan veri miktarı: \(x\) (GB)
Aylık ücret: \(U(x)\) (TL)
Sabitler ve Değişken Ücretler:
İlk 1 GB ücreti: 15 TL
Sonraki her 1 GB için ek ücret: 7 TL
Fonksiyon Kuralı:
Eğer kullanıcı 1 GB veya daha az veri kullanırsa, ücret sabittir:
\(U(x) = 15\), eğer \(0 \le x \le 1\) ise.
Eğer kullanıcı 1 GB'den fazla veri kullanırsa, ilk 1 GB için 15 TL ödenir. Geriye kalan veri miktarı \((x-1)\) GB'dir. Bu kalan kısım için her 1 GB başına 7 TL alınır. Bu \(x-1\) GB'lik kısmın kaç tane tam 1 GB'lik paket içerdiğini bulmak için \(\lceil x-1 \rceil\) kullanırız. \(\lceil a \rceil\) ifadesi, \(a\) sayısını kendinden büyük veya eşit en küçük tam sayıya yuvarlar (tavan fonksiyonu).
Bu durumda fonksiyon kuralı:
\(U(x) = 15 + 7 \times \lceil x-1 \rceil\), eğer \(x > 1\) ise.
Not: \(\lceil a \rceil\) ifadesi, \(a\) sayısını kendinden büyük veya eşit en küçük tam sayıya yuvarlar (tavan fonksiyonu).
Sonuç: Aylık ücret fonksiyonu şu şekilde modellenebilir:
Bir e-ticaret sitesi, belirli bir tutarın üzerindeki alışverişlerde kargo ücretini ücretsiz yapmaktadır. Eğer alışveriş tutarı 200 TL'nin altında ise kargo ücreti 15 TL'dir. Alışveriş tutarına göre ödenecek toplam tutarı gösteren fonksiyonu yazınız.
Çözüm:
Bu kargo ücreti durumunu bir fonksiyonla ifade edelim:
Değişkenler:
Alışveriş tutarı: \(a\) (TL)
Ödenecek toplam tutar: \(T(a)\) (TL)
Sabitler:
Standart kargo ücreti: 15 TL
Ücretsiz kargo sınırı: 200 TL
Fonksiyon Kuralı:
Eğer alışveriş tutarı 200 TL'den az ise, toplam tutar alışveriş tutarı artı kargo ücretidir.
Eğer alışveriş tutarı 200 TL veya daha fazla ise, kargo ücreti alınmaz ve toplam tutar sadece alışveriş tutarıdır.
Bu durumu piecewise (parçalı) fonksiyon olarak yazabiliriz:
\[
T(a) =
\begin{cases}
a + 15 & \text{eğer } 0 \le a < 200 \\
a & \text{eğer } a \ge 200
\end{cases}
\]
Sonuç: Ödenecek toplam tutarı gösteren fonksiyon \(T(a)\) yukarıdaki gibidir. ✅
Örnek 6:
Bir depoda bulunan 500 litre su, her gün 25 litre azalarak tükenmektedir. Depodaki su miktarının geçen gün sayısına göre değişimini gösteren fonksiyonu yazınız.
Çözüm:
Bu su azalışını bir fonksiyon modeliyle gösterelim:
Değişkenler:
Geçen gün sayısı: \(x\)
Depodaki su miktarı: \(S(x)\) (litre)
Sabitler:
Başlangıçtaki su miktarı: 500 litre
Günlük azalış miktarı: 25 litre
Fonksiyon Kuralı:
Depodaki su miktarı, başlangıçtaki miktardan, her gün azalan miktarın gün sayısı ile çarpımının çıkarılmasıyla bulunur.
\(S(x) = 500 - 25x\)
Tanım Kümesi:
Depodaki su miktarı negatif olamaz. Su miktarı sıfır olduğunda \(500 - 25x = 0 \Rightarrow 25x = 500 \Rightarrow x = 20\) olur. Dolayısıyla \(x\) değeri 0 ile 20 gün arasında olabilir.
Tanım kümesi: [0, 20]
Sonuç: Depodaki su miktarını gösteren fonksiyon \(S(x) = 500 - 25x\)'tir. 💡
Örnek 7:
Bir deterjan fabrikası, bir şişe deterjanı üretmek için 3 TL sabit maliyet ve her 1000 şişe için 200 TL ek makine bakım maliyeti üstlenmektedir. Bir ayda \(x\) şişe deterjan üretildiğinde toplam maliyeti gösteren fonksiyonu bulunuz.
Çözüm:
Bu üretim maliyetini fonksiyon olarak modelleyelim:
Değişkenler:
Üretilen şişe sayısı: \(x\)
Toplam maliyet: \(C(x)\) (TL)
Maliyet Unsurları:
Sabit maliyet (şişe başına): 3 TL
Her 1000 şişe için ek maliyet: 200 TL
Fonksiyon Kuralı:
Sabit maliyetin toplamı \(3x\) olur.
Ek makine bakım maliyeti için, üretilen \(x\) şişe sayısının kaç tane 1000'lik grup oluşturduğunu bulmalıyız. Bu da \(\lfloor \frac{x}{1000} \rfloor\) ile bulunur. Her bir 1000'lik grup için 200 TL eklenir.
Bir süpermarket, müşterilerine belirli bir harcama tutarının üzerine çıktıklarında indirim kuponu vermektedir. Eğer müşteri 150 TL'nin altında harcama yaparsa kupon alamaz. 150 TL ile 300 TL arasında harcama yaparsa 10 TL'lik kupon kazanır. 300 TL ve üzerinde harcama yaparsa 25 TL'lik kupon kazanır. Müşterinin yaptığı harcamaya göre kazanacağı kupon miktarını gösteren fonksiyonu yazınız.
Çözüm:
Kupon kazanımını bir fonksiyon modeliyle gösterelim:
Değişkenler:
Yapılan harcama tutarı: \(h\) (TL)
Kazanılan kupon miktarı: \(K(h)\) (TL)
Kupon Kuralları:
150 TL altı harcama: Kupon yok (0 TL)
150 TL - 300 TL arası harcama: 10 TL kupon
300 TL ve üzeri harcama: 25 TL kupon
Fonksiyon Kuralı:
Bu durumu piecewise (parçalı) fonksiyon olarak ifade edebiliriz: