🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Günlük Hayattan Karesel Fonksiyon Örnekleri ve Grafikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Günlük Hayattan Karesel Fonksiyon Örnekleri ve Grafikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir futbolcu, topu yerden 20 metre/saniye ilk hızla havaya dik olarak vuruyor. Topun yerden yüksekliğini gösteren fonksiyon h(t) = -5t² + 20t şeklinde veriliyor. 💡
Bu fonksiyon, topun t saniye sonraki yüksekliğini (metre cinsinden) temsil etmektedir.
Topun ulaşabileceği maksimum yüksekliği ve bu yüksekliğe kaç saniyede ulaşacağını bulalım.
Bu fonksiyon, topun t saniye sonraki yüksekliğini (metre cinsinden) temsil etmektedir.
Topun ulaşabileceği maksimum yüksekliği ve bu yüksekliğe kaç saniyede ulaşacağını bulalım.
Çözüm:
Bu problemde karesel bir fonksiyon olan h(t) = -5t² + 20t ile karşı karşıyayız. Fonksiyonun grafiği bir paraboldür ve tepe noktası, topun ulaşabileceği maksimum yüksekliği ve bu yüksekliğe ulaşma süresini verir.
Adım 1: Tepe Noktasının T'sini Bulma
Adım 2: Maksimum Yüksekliği Bulma
Adım 1: Tepe Noktasının T'sini Bulma
- Karesel fonksiyonumuz at² + bt + c formundadır. Burada a = -5, b = 20 ve c = 0'dır.
- Tepe noktasının t-koordinatını (zaman) bulmak için t = -b / (2a) formülünü kullanırız.
- t = -20 / (2 * -5) = -20 / -10 = 2 saniye.
Adım 2: Maksimum Yüksekliği Bulma
- Bulduğumuz t = 2 değerini fonksiyonda yerine koyarak maksimum yüksekliği (h) buluruz.
- h(2) = -5(2)² + 20(2) = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20 metre.
Örnek 2:
Bir inşaat firması, 100 metre uzunluğunda bir duvar örmek istiyor. Duvarın maliyetinin, duvarın yüksekliğine bağlı olarak değiştiği gözlemleniyor. Eğer duvarın yüksekliği x metre olursa, toplam maliyet M(x) = 2x² - 12x + 50 (bin TL cinsinden) fonksiyonu ile ifade ediliyor. 💰
Bu firmanın duvar için en az ne kadar maliyetle karşılaşacağını ve bu maliyete ulaşmak için duvarın kaç metre yüksekliğinde olması gerektiğini bulalım.
Bu firmanın duvar için en az ne kadar maliyetle karşılaşacağını ve bu maliyete ulaşmak için duvarın kaç metre yüksekliğinde olması gerektiğini bulalım.
Çözüm:
Bu senaryoda, maliyet fonksiyonu M(x) = 2x² - 12x + 50 bir paraboldür. Parabolün tepe noktası, en düşük maliyeti ve bu maliyete karşılık gelen duvar yüksekliğini verecektir.
Adım 1: Tepe Noktasının X'ini Bulma
Adım 2: En Az Maliyeti Bulma
Adım 1: Tepe Noktasının X'ini Bulma
- Fonksiyonumuz ax² + bx + c formundadır. Burada a = 2, b = -12 ve c = 50'dir.
- Tepe noktasının x-koordinatını (duvar yüksekliği) bulmak için x = -b / (2a) formülünü kullanırız.
- x = -(-12) / (2 * 2) = 12 / 4 = 3 metre.
Adım 2: En Az Maliyeti Bulma
- Bulduğumuz x = 3 değerini maliyet fonksiyonunda yerine koyarak en az maliyeti buluruz.
- M(3) = 2(3)² - 12(3) + 50 = 2(9) - 36 + 50 = 18 - 36 + 50 = 32 bin TL.
Örnek 3:
Bir bisikletçi, düz bir yolda sabit bir hızla ilerlerken aniden fren yapıyor. Bisikletlinin fren yaptıktan sonra durana kadar aldığı toplam yol, frenleme süresine bağlı olarak y(t) = -2t² + 16t fonksiyonu ile veriliyor. Burada t frenleme süresi (saniye) ve y(t) alınan yoldur (metre). 🚲
Bisikletlinin toplamda kaç metre yol alarak durduğunu ve bu duruma kaç saniyede ulaştığını hesaplayalım.
Bisikletlinin toplamda kaç metre yol alarak durduğunu ve bu duruma kaç saniyede ulaştığını hesaplayalım.
Çözüm:
Bu durumda, alınan yol fonksiyonu y(t) = -2t² + 16t bir paraboldür. Bu fonksiyonun tepe noktası, bisikletlinin durana kadar aldığı maksimum yolu ve bu duruma ulaşma süresini temsil eder.
Adım 1: Tepe Noktasının T'sini Bulma
Adım 2: Toplam Alınan Yolu Bulma
Adım 1: Tepe Noktasının T'sini Bulma
- Fonksiyonumuz at² + bt + c formundadır. Burada a = -2, b = 16 ve c = 0'dır.
- Tepe noktasının t-koordinatını (zaman) bulmak için t = -b / (2a) formülünü kullanırız.
- t = -16 / (2 * -2) = -16 / -4 = 4 saniye.
Adım 2: Toplam Alınan Yolu Bulma
- Bulduğumuz t = 4 değerini fonksiyonumuzda yerine koyarak toplam alınan yolu buluruz.
- y(4) = -2(4)² + 16(4) = -2(16) + 64 = -32 + 64 = 32 metre.
Örnek 4:
Bir çiftçi, tarlasının etrafına 400 metre tel çekerek kare şeklinde bir alan oluşturmak istiyor. Oluşturulan alanın büyüklüğünü (metrekare), telin bir kenar uzunluğuna bağlı olarak A(x) = x(100-x) fonksiyonu ile ifade edebiliriz. Burada x telin bir kenar uzunluğudur. 👨🌾
Çiftçinin oluşturabileceği maksimum alan ne kadardır ve bu alana ulaşmak için telin bir kenarı kaç metre olmalıdır?
Çiftçinin oluşturabileceği maksimum alan ne kadardır ve bu alana ulaşmak için telin bir kenarı kaç metre olmalıdır?
Çözüm:
Bu problemde, alan fonksiyonu A(x) = x(100-x), yani A(x) = 100x - x² bir paraboldür. Parabolün tepe noktası, çiftçinin elde edebileceği maksimum alanı ve bu alana karşılık gelen kenar uzunluğunu verir.
Adım 1: Tepe Noktasının X'ini Bulma
Adım 2: Maksimum Alanı Bulma
Adım 1: Tepe Noktasının X'ini Bulma
- Fonksiyonumuz -x² + 100x şeklindedir. Burada a = -1, b = 100 ve c = 0'dır.
- Tepe noktasının x-koordinatını (kenar uzunluğu) bulmak için x = -b / (2a) formülünü kullanırız.
- x = -100 / (2 * -1) = -100 / -2 = 50 metre.
Adım 2: Maksimum Alanı Bulma
- Bulduğumuz x = 50 değerini alan fonksiyonunda yerine koyarak maksimum alanı buluruz.
- A(50) = 50(100 - 50) = 50(50) = 2500 metrekare.
Örnek 5:
Bir su damlasının havada süzülürken izlediği yol, y(x) = -0.1x² + 0.8x fonksiyonu ile modellenebilir. Burada x damlanın yatayda aldığı yol (metre) ve y(x) ise dikeyde aldığı yoldur (metre). 💧
Bu su damlasının ulaşabileceği maksimum dikey yüksekliği ve bu yüksekliğe kaç metre yatay yol alarak ulaştığını bulalım.
Bu su damlasının ulaşabileceği maksimum dikey yüksekliği ve bu yüksekliğe kaç metre yatay yol alarak ulaştığını bulalım.
Çözüm:
Su damlasının izlediği yol, y(x) = -0.1x² + 0.8x fonksiyonu ile temsil edilen bir paraboldür. Bu parabolün tepe noktası, damlanın ulaşabileceği maksimum dikey yüksekliği ve bu yüksekliğe karşılık gelen yatay mesafeyi verecektir.
Adım 1: Tepe Noktasının X'ini Bulma
Adım 2: Maksimum Dikey Yüksekliği Bulma
Adım 1: Tepe Noktasının X'ini Bulma
- Fonksiyonumuz ax² + bx + c formundadır. Burada a = -0.1, b = 0.8 ve c = 0'dır.
- Tepe noktasının x-koordinatını (yatay yol) bulmak için x = -b / (2a) formülünü kullanırız.
- x = -0.8 / (2 * -0.1) = -0.8 / -0.2 = 4 metre.
Adım 2: Maksimum Dikey Yüksekliği Bulma
- Bulduğumuz x = 4 değerini fonksiyonumuzda yerine koyarak maksimum dikey yüksekliği buluruz.
- y(4) = -0.1(4)² + 0.8(4) = -0.1(16) + 3.2 = -1.6 + 3.2 = 1.6 metre.
Örnek 6:
Bir konser salonunda, sahne önündeki seyircilerin oluşturduğu kalabalığın yoğunluğu, sahneye olan uzaklığa bağlı olarak değişmektedir. Sahneye olan uzaklık x metre olduğunda, seyirci yoğunluğu I(x) = -x² + 10x - 9 fonksiyonu ile ifade ediliyor. 🎶
Seyirci yoğunluğunun en fazla olduğu nokta neresidir ve bu noktada yoğunluk kaç birimdir?
Seyirci yoğunluğunun en fazla olduğu nokta neresidir ve bu noktada yoğunluk kaç birimdir?
Çözüm:
Seyirci yoğunluğu fonksiyonu I(x) = -x² + 10x - 9 bir paraboldür. Bu parabolün tepe noktası, yoğunluğun en fazla olduğu noktayı ve bu maksimum yoğunluk değerini verecektir.
Adım 1: Tepe Noktasının X'ini Bulma
Adım 2: Maksimum Yoğunluğu Bulma
Adım 1: Tepe Noktasının X'ini Bulma
- Fonksiyonumuz ax² + bx + c formundadır. Burada a = -1, b = 10 ve c = -9'dur.
- Tepe noktasının x-koordinatını (sahneye uzaklık) bulmak için x = -b / (2a) formülünü kullanırız.
- x = -10 / (2 * -1) = -10 / -2 = 5 metre.
Adım 2: Maksimum Yoğunluğu Bulma
- Bulduğumuz x = 5 değerini yoğunluk fonksiyonunda yerine koyarak maksimum yoğunluğu buluruz.
- I(5) = -(5)² + 10(5) - 9 = -25 + 50 - 9 = 16 birim.
Örnek 7:
Bir kargo şirketi, paketlerin taşıma maliyetini hacmine göre hesaplıyor. Bir paketin hacmi V metreküp olduğunda, taşıma maliyeti C(V) = 3V² - 30V + 100 (TL cinsinden) fonksiyonu ile veriliyor. 📦
Bu şirketin bir paket için karşılaşabileceği en düşük taşıma maliyeti nedir ve bu maliyete hangi hacimdeki paketler için ulaşılır?
Bu şirketin bir paket için karşılaşabileceği en düşük taşıma maliyeti nedir ve bu maliyete hangi hacimdeki paketler için ulaşılır?
Çözüm:
Taşıma maliyeti fonksiyonu C(V) = 3V² - 30V + 100 bir paraboldür. Bu parabolün tepe noktası, en düşük taşıma maliyetini ve bu maliyete karşılık gelen paket hacmini verecektir.
Adım 1: Tepe Noktasının V'sini Bulma
Adım 2: En Düşük Maliyeti Bulma
Adım 1: Tepe Noktasının V'sini Bulma
- Fonksiyonumuz aV² + bV + c formundadır. Burada a = 3, b = -30 ve c = 100'dür.
- Tepe noktasının V-koordinatını (paket hacmi) bulmak için V = -b / (2a) formülünü kullanırız.
- V = -(-30) / (2 * 3) = 30 / 6 = 5 metreküp.
Adım 2: En Düşük Maliyeti Bulma
- Bulduğumuz V = 5 değerini maliyet fonksiyonunda yerine koyarak en düşük maliyeti buluruz.
- C(5) = 3(5)² - 30(5) + 100 = 3(25) - 150 + 100 = 75 - 150 + 100 = 25 TL.
Örnek 8:
Bir akvaryumun su seviyesi, doldurulmaya başlandıktan sonra t dakika içinde S(t) = -0.5t² + 10t formülüyle değişmektedir. Burada S(t) suyun yüksekliğidir (cm). 🐠
Akvaryumdaki suyun maksimum yüksekliğe ne zaman ulaşacağını ve bu maksimum yüksekliğin kaç cm olacağını bulalım.
Akvaryumdaki suyun maksimum yüksekliğe ne zaman ulaşacağını ve bu maksimum yüksekliğin kaç cm olacağını bulalım.
Çözüm:
Akvaryumdaki su seviyesi fonksiyonu S(t) = -0.5t² + 10t bir paraboldür. Bu fonksiyonun tepe noktası, suyun ulaşabileceği maksimum yüksekliği ve bu yüksekliğe ulaşma süresini verir.
Adım 1: Tepe Noktasının T'sini Bulma
Adım 2: Maksimum Yüksekliği Bulma
Adım 1: Tepe Noktasının T'sini Bulma
- Fonksiyonumuz at² + bt + c formundadır. Burada a = -0.5, b = 10 ve c = 0'dır.
- Tepe noktasının t-koordinatını (zaman) bulmak için t = -b / (2a) formülünü kullanırız.
- t = -10 / (2 * -0.5) = -10 / -1 = 10 dakika.
Adım 2: Maksimum Yüksekliği Bulma
- Bulduğumuz t = 10 değerini fonksiyonumuzda yerine koyarak maksimum yüksekliği buluruz.
- S(10) = -0.5(10)² + 10(10) = -0.5(100) + 100 = -50 + 100 = 50 cm.
Örnek 9:
Bir patlayıcının havada yaydığı şok dalgasının basıncı, patlamadan t saniye sonra P(t) = -4t² + 16t şeklinde değişmektedir. 💥
Şok dalgasının basıncının en yüksek olduğu an ne zamandır ve bu en yüksek basınç değeri kaç birimdir?
Şok dalgasının basıncının en yüksek olduğu an ne zamandır ve bu en yüksek basınç değeri kaç birimdir?
Çözüm:
Şok dalgasının basınç fonksiyonu P(t) = -4t² + 16t bir paraboldür. Bu parabolün tepe noktası, basıncın en yüksek olduğu anı ve bu maksimum basınç değerini verecektir.
Adım 1: Tepe Noktasının T'sini Bulma
Adım 2: Maksimum Basıncı Bulma
Adım 1: Tepe Noktasının T'sini Bulma
- Fonksiyonumuz at² + bt + c formundadır. Burada a = -4, b = 16 ve c = 0'dır.
- Tepe noktasının t-koordinatını (zaman) bulmak için t = -b / (2a) formülünü kullanırız.
- t = -16 / (2 * -4) = -16 / -8 = 2 saniye.
Adım 2: Maksimum Basıncı Bulma
- Bulduğumuz t = 2 değerini basınç fonksiyonunda yerine koyarak maksimum basıncı buluruz.
- P(2) = -4(2)² + 16(2) = -4(4) + 32 = -16 + 32 = 16 birim.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-gunluk-hayattan-karesel-fonksiyon-ornekleri-ve-grafikleri/sorular