💡 10. Sınıf Matematik: Grafik Çözümlü Örnekler

Bu doğrusal fonksiyonun grafiğini çizmek için genellikle eksenleri kestiği noktaları buluruz.

• y-eksenini kestiği nokta:
  Grafiğin y-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x=0 \) değerini fonksiyonda yerine yazarız. 👇
  \( f(0) = 2(0) - 4 = -4 \)
  Yani, grafik y-eksenini \( (0, -4) \) noktasında keser.
• x-eksenini kestiği nokta:
  Grafiğin x-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( f(x)=0 \) (yani \( y=0 \)) değerini fonksiyonda yerine yazarız. 👇
  \( 0 = 2x - 4 \)
  \( 2x = 4 \)
  \( x = 2 \)
  Yani, grafik x-eksenini \( (2, 0) \) noktasında keser.
• Grafiğin Çizimi:
  Bulduğumuz bu iki noktayı \( (0, -4) \) ve \( (2, 0) \) koordinat düzleminde işaretleriz. Ardından, bu iki noktadan geçen bir doğru çizeriz. İşte bu, \( f(x) = 2x - 4 \) fonksiyonunun grafiğidir! ✅

Parabolün grafiğini çizmek için bu temel özelliklere ihtiyacımız var:

• y-eksenini kestiği nokta:
  \( x=0 \) için \( f(0) = 0^2 - 6(0) + 5 = 5 \).
  Parabol y-eksenini \( (0, 5) \) noktasında keser.
• x-eksenini kestiği noktalar (Kökler):
  \( f(x)=0 \) için \( x^2 - 6x + 5 = 0 \).
  Bu denklemi çarpanlarına ayırırsak: \( (x-1)(x-5) = 0 \).
  Buradan \( x_1 = 1 \) ve \( x_2 = 5 \) bulunur.
  Parabol x-eksenini \( (1, 0) \) ve \( (5, 0) \) noktalarında keser.
• Tepe Noktası (T(r, k)):
  Tepe noktasının apsisi \( r = -\frac{b}{2a} \) formülüyle bulunur. Burada \( a=1, b=-6 \).
  \[ r = -\frac{-6}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 \] Tepe noktasının ordinatı \( k = f(r) \) ile bulunur.
  \( k = f(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \)
  Parabolün tepe noktası \( T(3, -4) \)'tür.
• Grafiğin Çizimi:
  Bulunan noktaları \( (0, 5) \), \( (1, 0) \), \( (5, 0) \) ve tepe noktası \( (3, -4) \) koordinat düzleminde işaretlenir. Parabolün kolları \( a=1 > 0 \) olduğu için yukarı doğrudur. Bu noktaları birleştirerek parabolü çizebiliriz. 💡

Kar fonksiyonunun grafiği bir parabol olduğundan ve \( x^2 \) teriminin katsayısı \( -1 \) (yani negatif) olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur. Bu durumda parabolün tepe noktası, fonksiyonun alabileceği maksimum değeri verir.

Maksimum kar miktarını ve bu karı sağlayan ürün miktarını bulmak için tepe noktasının koordinatlarını bulmalıyız. 👇

• Ürün miktarı (\( x \)) - Tepe noktasının apsisi:
  Tepe noktasının apsisi \( r = -\frac{b}{2a} \) formülüyle bulunur. Burada \( a=-1, b=10 \).
  \[ r = -\frac{10}{2(-1)} = -\frac{10}{-2} = 5 \] Yani, şirket 5 yüz adet ürün (yani 500 adet ürün) ürettiğinde maksimum karı elde eder.
• Maksimum kar miktarı (\( K(x) \)) - Tepe noktasının ordinatı:
  Tepe noktasının ordinatı \( k = K(r) \) ile bulunur. \( r=5 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız.
  \( K(5) = -(5)^2 + 10(5) - 9 \)
  \( K(5) = -25 + 50 - 9 \)
  \( K(5) = 25 - 9 = 16 \)
  Yani, şirketin elde edebileceği maksimum kar miktarı 16 bin TL'dir.

Sonuç olarak, şirket 500 adet ürün ürettiğinde 16 bin TL maksimum kar elde eder. ✅

Bu problemi bir doğrusal fonksiyon grafiği ile modelleyebiliriz.

• Fonksiyon Oluşturma:
  Açılış ücreti sabit bir değerdir ve y-eksenini kestiği noktayı temsil eder. Her kilometre başına alınan ücret ise eğimi temsil eder.
  Bu durumda fonksiyonumuz: \( y = 5x + 10 \) şeklinde olur.
• Grafiğin Açıklaması:
  Bu fonksiyon bir doğrusal fonksiyondur, yani grafiği düz bir doğrudur.
  
  • y-eksenini kestiği nokta: \( x=0 \) (yani hiç yol gidilmediğinde) için \( y = 5(0) + 10 = 10 \). Bu, taksiye bindiğiniz anda ödemeniz gereken açılış ücretidir. Grafik y-eksenini \( (0, 10) \) noktasında keser.
  • Eğim: Fonksiyonun eğimi 5'tir. Bu, her 1 km yol gidildiğinde ücretin 5 TL artacağı anlamına gelir. Grafik sağa doğru yukarı eğimli olacaktır.
  • x-eksenini kestiği nokta: Bu senaryoda \( y=0 \) olması, yani toplam ücretin 0 TL olması mümkün değildir çünkü açılış ücreti vardır. Dolayısıyla, bu fonksiyonun grafiği pozitif x ve y değerleri için anlamlıdır ve x-eksenini kesmez (gerçekçi bağlamda). Matematiksel olarak \( 0 = 5x+10 \Rightarrow x=-2 \) olsa da, negatif kilometre anlamsızdır.
• Grafiksel Yorum:
  Grafik, \( (0, 10) \) noktasından başlayan ve sağa doğru sürekli yükselen bir doğru parçası şeklinde olacaktır. Bu doğru, gidilen yol arttıkça toplam ücretin de düzenli olarak arttığını gösterir. 📈

Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri genellikle "V" şeklindedir. Tepe noktası, bu "V" şeklinin köşesidir.

\( f(x) = |x-a| + b \) şeklindeki mutlak değer fonksiyonlarının tepe noktası \( (a, b) \) şeklindedir.

• Tepe Noktasının Koordinatları:
  Verilen \( f(x) = |x-2| + 1 \) fonksiyonunda \( a=2 \) ve \( b=1 \)'dir.
  Bu durumda fonksiyonun tepe noktası \( (2, 1) \) olur. ✅
• Grafiğin Genel Şekli:
  Grafik, \( (2, 1) \) noktasında bir köşesi olan "V" şeklindedir.
  
  • \( x \ge 2 \) için \( f(x) = (x-2) + 1 = x - 1 \) doğrusu oluşur. Bu doğru \( (2, 1) \) noktasından başlar ve sağa yukarı doğru gider (eğimi 1'dir).
  • \( x < 2 \) için \( f(x) = -(x-2) + 1 = -x + 2 + 1 = -x + 3 \) doğrusu oluşur. Bu doğru \( (2, 1) \) noktasından başlar ve sola yukarı doğru gider (eğimi -1'dir).
• Önemli Not: Mutlak değer fonksiyonları daima pozitif veya sıfır değerler aldığından, \( |x-2| \ge 0 \)'dır. Bu yüzden \( f(x) = |x-2| + 1 \ge 1 \) olacaktır. Yani fonksiyonun alabileceği en küçük değer 1'dir ve bu da tepe noktasının y-koordinatıdır. 💡

Bir parabolün x-eksenine teğet olması demek, parabolün x-eksenini tek bir noktada kesmesi demektir. Bu durum, parabolün denkleminin diskriminantının (\( \Delta \)) sıfır olduğu anlamına gelir.

Parabol denklemi \( ax^2 + bx + c = 0 \) şeklinde olduğunda diskriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \) formülüyle hesaplanır.

• \( k \) değerini bulma:
  Verilen fonksiyonda \( a=1, b=-4, c=k \)'dir.
  Diskriminantı sıfıra eşitleyelim: \( \Delta = (-4)^2 - 4(1)(k) = 0 \)
  \( 16 - 4k = 0 \)
  \( 4k = 16 \)
  \( k = 4 \)
  Yani, \( k \) değeri 4'tür.
• Parabolün Tepe Noktasının Koordinatları:
  Şimdi fonksiyonumuz \( y = x^2 - 4x + 4 \) haline geldi.
  Tepe noktasının apsisi \( r = -\frac{b}{2a} \) formülüyle bulunur.
  \[ r = -\frac{-4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2 \] Tepe noktasının ordinatı \( k = f(r) \) ile bulunur.
  \( f(2) = 2^2 - 4(2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0 \)
  O halde, parabolün tepe noktası \( T(2, 0) \)'dır.
• Grafiksel Yorum:
  Parabol x-eksenine teğet olduğu için teğet olduğu nokta aynı zamanda tepe noktasıdır. Bu da \( T(2, 0) \) noktasının x-ekseni üzerinde olduğunu gösterir. ✅

İki fonksiyonun grafiklerinin kesiştiği noktaları bulmak için fonksiyon denklemlerini birbirine eşitlememiz gerekir. Bu, her iki denklemi de sağlayan \( x \) ve \( y \) değerlerini bulmak demektir.

\( f(x) = g(x) \) denklemini çözelim:

• Kesişim Noktalarının x-koordinatlarını bulma:
  \[ x^2 = x + 2 \] Denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir denklem elde ederiz:
  \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Bu denklemi çarpanlarına ayırabiliriz:
  \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Buradan iki farklı \( x \) değeri buluruz:
  \( x_1 = 2 \)
  \( x_2 = -1 \)
• Kesişim Noktalarının y-koordinatlarını bulma:
  Bulduğumuz \( x \) değerlerini herhangi bir fonksiyonda (örneğin \( g(x) = x+2 \)) yerine koyarak y-koordinatlarını bulabiliriz.
  - \( x_1 = 2 \) için: \( y_1 = 2 + 2 = 4 \). İlk kesişim noktası \( (2, 4) \).
  - \( x_2 = -1 \) için: \( y_2 = -1 + 2 = 1 \). İkinci kesişim noktası \( (-1, 1) \).
• Sonuç:
  Bu iki grafik 2 farklı noktada kesişmektedir. Kesişim noktalarının x-koordinatları \( -1 \) ve \( 2 \)'dir. ✅

Bu verileri bir çizgi grafiği ile görselleştirdiğimizde, zaman ekseni (yatay eksen) ve sıcaklık ekseni (dikey eksen) olacaktır.

• Grafiğin Betimlemesi:
  
  • Grafik, \( (06:00, 10^\circ C) \) noktasından başlar.
  • Bu noktadan \( (12:00, 25^\circ C) \) noktasına doğru yükselen bir çizgi çizeriz. Bu aralıkta sıcaklık artmaktadır.
  • \( (12:00, 25^\circ C) \) noktasından \( (18:00, 20^\circ C) \) noktasına doğru alçalan bir çizgi çizeriz. Bu aralıkta sıcaklık azalmaktadır.
  • Son olarak, \( (18:00, 20^\circ C) \) noktasından \( (00:00, 10^\circ C) \) noktasına doğru daha da alçalan bir çizgi çizeriz. Bu aralıkta da sıcaklık azalmaya devam etmektedir.
  Grafik, sabah saatlerinde yükselen, öğleden sonra düşmeye başlayan ve geceye doğru düşüşünü sürdüren bir eğri (veya doğru parçalarından oluşan bir kırık çizgi) şeklinde olacaktır.
• Sıcaklığın En Hızlı Arttığı Zaman Aralığı:
  Sıcaklık artışı sadece 06:00 - 12:00 saatleri arasında gözlemlenmiştir. Bu aralıkta sıcaklık \( 25^\circ C - 10^\circ C = 15^\circ C \) artmıştır.
  Bu yüzden sıcaklığın en hızlı arttığı zaman aralığı 06:00 - 12:00'dir.
• Sıcaklığın En Hızlı Azaldığı Zaman Aralığı:
  Sıcaklık azalışı iki farklı aralıkta olmuştur:
  
  • 12:00 - 18:00 arası: \( 25^\circ C - 20^\circ C = 5^\circ C \) düşüş.
  • 18:00 - 00:00 arası: \( 20^\circ C - 10^\circ C = 10^\circ C \) düşüş.
  Görüldüğü üzere, 18:00 - 00:00 aralığında sıcaklık düşüşü daha fazladır. Bu nedenle sıcaklığın en hızlı azaldığı zaman aralığı 18:00 - 00:00'dir. ✅