🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Grafik Çizme Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Grafik Çizme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Aşağıda denklemi verilen doğrusal fonksiyonun grafiğini çiziniz:
\( y = 3x - 6 \)
\( y = 3x - 6 \)
Çözüm:
Bu doğrusal bir fonksiyondur ve grafiği bir doğrudur. Bir doğruyu çizmek için en az iki noktaya ihtiyacımız vardır. Genellikle eksenleri kestiği noktaları bulmak en pratik yöntemdir.
-
y-eksenini Kestiği Nokta:
x yerine \( 0 \) yazarak y-eksenini kestiği noktayı buluruz.
\( y = 3(0) - 6 \)
\( y = -6 \)
Yani, doğru y-eksenini \( (0, -6) \) noktasında keser. -
x-eksenini Kestiği Nokta:
y yerine \( 0 \) yazarak x-eksenini kestiği noktayı buluruz.
\( 0 = 3x - 6 \)
\( 3x = 6 \)
\( x = 2 \)
Yani, doğru x-eksenini \( (2, 0) \) noktasında keser. -
Grafiği Çizme:
Koordinat sisteminde \( (0, -6) \) ve \( (2, 0) \) noktalarını işaretleyin. Bu iki noktadan geçen doğruyu çizdiğinizde, \( y = 3x - 6 \) fonksiyonunun grafiğini elde etmiş olursunuz. ✅
Örnek 2:
📌 Aşağıda denklemi verilen doğrunun grafiğini çiziniz:
\( 4x + 2y = 8 \)
\( 4x + 2y = 8 \)
Çözüm:
Verilen denklem bir doğrusal fonksiyonu temsil eder. Grafiğini çizmek için yine eksenleri kestiği noktaları bulalım.
-
y-eksenini Kestiği Nokta:
x yerine \( 0 \) yazılır:
\( 4(0) + 2y = 8 \)
\( 2y = 8 \)
\( y = 4 \)
Doğru y-eksenini \( (0, 4) \) noktasında keser. -
x-eksenini Kestiği Nokta:
y yerine \( 0 \) yazılır:
\( 4x + 2(0) = 8 \)
\( 4x = 8 \)
\( x = 2 \)
Doğru x-eksenini \( (2, 0) \) noktasında keser. -
Grafiği Çizme:
Koordinat sisteminde \( (0, 4) \) ve \( (2, 0) \) noktalarını işaretleyin. Bu iki noktadan geçen doğruyu çizdiğinizde, \( 4x + 2y = 8 \) denkleminin grafiğini elde edersiniz. ✅
Örnek 3:
👉 Aşağıda denklemi verilen parabolün grafiğini çiziniz:
\( f(x) = x^2 - 1 \)
\( f(x) = x^2 - 1 \)
Çözüm:
Bu bir ikinci dereceden fonksiyondur ve grafiği bir paraboldür. Parabol grafiği çizerken kolların yönü, tepe noktası ve eksenleri kesim noktaları önemlidir.
-
Kolların Yönü:
\( x^2 \) teriminin katsayısı \( a = 1 \) olduğu için \( a > 0 \). Bu durumda parabolün kolları yukarı yönlüdür. -
Tepe Noktası \( T(r, k) \):
\( f(x) = x^2 - 1 \) fonksiyonunda \( a = 1, b = 0, c = -1 \).
Apsis \( r = -b/(2a) = -0/(2 \cdot 1) = 0 \).
Ordinat \( k = f(r) = f(0) = 0^2 - 1 = -1 \).
Tepe noktası \( T(0, -1) \). -
Eksenleri Kestiği Noktalar:
- y-eksenini Kestiği Nokta: \( x = 0 \) için \( f(0) = -1 \). Nokta \( (0, -1) \). (Bu aynı zamanda tepe noktasıdır.)
-
x-eksenini Kestiği Noktalar: \( f(x) = 0 \) için \( x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \).
Buradan \( x = 1 \) veya \( x = -1 \).
Noktalar \( (-1, 0) \) ve \( (1, 0) \).
-
Grafiği Çizme:
Koordinat sisteminde tepe noktası \( T(0, -1) \), x-eksenini kesen noktalar \( (-1, 0) \) ve \( (1, 0) \) işaretlenir. Kolları yukarı doğru olacak şekilde bu noktalardan geçen parabol çizilir. ✅
Örnek 4:
📝 Aşağıda denklemi verilen parabolün grafiğini çiziniz:
\( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \)
\( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \)
Çözüm:
Bu bir ikinci dereceden fonksiyondur ve grafiği bir paraboldür.
-
Kolların Yönü:
\( x^2 \) teriminin katsayısı \( a = -1 \) olduğu için \( a < 0 \). Bu durumda parabolün kolları aşağı yönlüdür. -
Tepe Noktası \( T(r, k) \):
\( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \) fonksiyonunda \( a = -1, b = 4, c = -3 \).
Apsis \( r = -b/(2a) = -4/(2 \cdot (-1)) = -4/(-2) = 2 \).
Ordinat \( k = f(r) = f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \).
Tepe noktası \( T(2, 1) \). -
Eksenleri Kestiği Noktalar:
- y-eksenini Kestiği Nokta: \( x = 0 \) için \( f(0) = -(0)^2 + 4(0) - 3 = -3 \). Nokta \( (0, -3) \).
-
x-eksenini Kestiği Noktalar: \( f(x) = 0 \) için \( -x^2 + 4x - 3 = 0 \). Denklemi \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) şeklinde yazabiliriz.
Çarpanlara ayırma yöntemiyle: \( (x - 1)(x - 3) = 0 \).
Buradan \( x = 1 \) veya \( x = 3 \).
Noktalar \( (1, 0) \) ve \( (3, 0) \).
-
Grafiği Çizme:
Koordinat sisteminde tepe noktası \( T(2, 1) \), y-eksenini kesen nokta \( (0, -3) \), x-eksenini kesen noktalar \( (1, 0) \) ve \( (3, 0) \) işaretlenir. Kolları aşağı doğru olacak şekilde bu noktalardan geçen parabol çizilir. ✅
Örnek 5:
📏 Aşağıda denklemi verilen parabolün grafiğini çiziniz:
\( f(x) = x^2 - 4x + 5 \)
\( f(x) = x^2 - 4x + 5 \)
Çözüm:
Bu parabolün grafiğini çizmek için adımları takip edelim.
-
Kolların Yönü:
\( x^2 \) teriminin katsayısı \( a = 1 \) olduğu için \( a > 0 \). Parabolün kolları yukarı yönlüdür. -
Tepe Noktası \( T(r, k) \):
\( f(x) = x^2 - 4x + 5 \) fonksiyonunda \( a = 1, b = -4, c = 5 \).
Apsis \( r = -b/(2a) = -(-4)/(2 \cdot 1) = 4/2 = 2 \).
Ordinat \( k = f(r) = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \).
Tepe noktası \( T(2, 1) \). -
Eksenleri Kestiği Noktalar:
- y-eksenini Kestiği Nokta: \( x = 0 \) için \( f(0) = (0)^2 - 4(0) + 5 = 5 \). Nokta \( (0, 5) \).
-
x-eksenini Kestiği Noktalar: \( f(x) = 0 \) için \( x^2 - 4x + 5 = 0 \).
Diskriminantı \( \Delta = b^2 - 4ac \) hesaplayalım:
\( \Delta = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4 \).
\( \Delta < 0 \) olduğu için bu parabolün gerçel kökleri yoktur. Dolayısıyla x-eksenini kesmez.
-
Grafiği Çizme:
Koordinat sisteminde tepe noktası \( T(2, 1) \) ve y-eksenini kesen nokta \( (0, 5) \) işaretlenir. Kollar yukarı doğru olacak ve x-eksenini kesmeyecek şekilde bu noktalardan geçen parabol çizilir. Simetri ekseni \( x=2 \) olduğu için, \( (0, 5) \) noktasının simetriği olan \( (4, 5) \) noktası da grafiği çizmeye yardımcı olabilir. ✅
Örnek 6:
🚀 Bir parabolün tepe noktası \( T(1, 4) \) ve y-eksenini kestiği nokta \( (0, 3) \) olarak verilmiştir. Buna göre, bu parabolün denklemini yazınız ve x-eksenini kesip kesmediğini açıklayınız.
Çözüm:
Bu tür sorularda verilen bilgileri kullanarak parabolün denklemini oluşturmak ve sonra özelliklerini incelemek gerekir.
-
Parabol Denklemini Yazma:
- Tepe noktası bilinen bir parabolün genel denklemi \( y = a(x - r)^2 + k \) şeklindedir.
- Verilen tepe noktası \( T(1, 4) \) olduğundan, \( r = 1 \) ve \( k = 4 \). Denklemi yerine yazarsak:
\( y = a(x - 1)^2 + 4 \) - Parabolün y-eksenini kestiği nokta \( (0, 3) \) olduğuna göre, bu nokta parabol denklemini sağlamalıdır. x yerine \( 0 \), y yerine \( 3 \) yazalım:
\( 3 = a(0 - 1)^2 + 4 \)
\( 3 = a(-1)^2 + 4 \)
\( 3 = a(1) + 4 \)
\( 3 = a + 4 \)
\( a = 3 - 4 \)
\( a = -1 \) - O halde, parabolün denklemi:
\( y = -1(x - 1)^2 + 4 \)
Bu denklemi açarsak:
\( y = -(x^2 - 2x + 1) + 4 \)
\( y = -x^2 + 2x - 1 + 4 \)
\( y = -x^2 + 2x + 3 \)
-
x-eksenini Kesip Kesmediğini Açıklama:
- Parabolün kollarının yönü \( a = -1 \) olduğu için aşağı yönlüdür.
- Tepe noktasının ordinatı \( k = 4 \) olduğu için tepe noktası x-ekseninin üzerindedir.
- Kolları aşağı doğru olan ve tepe noktası x-ekseninin üzerinde olan bir parabol, kesinlikle x-eksenini kesecektir.
- Alternatif olarak, denklemin diskriminantına bakabiliriz: \( \Delta = b^2 - 4ac \).
\( a = -1, b = 2, c = 3 \).
\( \Delta = (2)^2 - 4(-1)(3) = 4 - (-12) = 4 + 12 = 16 \).
\( \Delta = 16 > 0 \) olduğu için parabol x-eksenini iki farklı noktada keser. ✅
Örnek 7:
💰 Bir telefon şirketinin aylık sabit ücreti 20 TL'dir ve her konuşma dakikası için 0.50 TL ücret almaktadır. Konuşulan dakika sayısına (x) göre toplam aylık faturayı (y TL) gösteren fonksiyonun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
Bu problem, doğrusal bir ilişkiyi temsil etmektedir. Grafiğini çizmek için fonksiyon denklemini oluşturup eksenleri kestiği noktaları veya birkaç noktayı bulmalıyız.
-
Fonksiyon Denklemini Oluşturma:
- Sabit ücret 20 TL'dir.
- Her dakika için 0.50 TL ücret alınır.
- Toplam fatura \( y \), konuşulan dakika sayısı \( x \) olmak üzere denklem:
\( y = 0.50x + 20 \)
-
Grafik İçin Noktaları Belirleme:
-
x = 0 (Konuşma yapılmadığında):
\( y = 0.50(0) + 20 = 20 \).
Nokta \( (0, 20) \). (Bu, aylık sabit ücreti gösterir ve y-eksenini kestiği noktadır.) -
x = 10 (10 dakika konuşulduğunda):
\( y = 0.50(10) + 20 = 5 + 20 = 25 \).
Nokta \( (10, 25) \). -
x = 60 (60 dakika konuşulduğunda):
\( y = 0.50(60) + 20 = 30 + 20 = 50 \).
Nokta \( (60, 50) \).
-
x = 0 (Konuşma yapılmadığında):
-
Grafiği Çizme:
Koordinat sisteminde \( (0, 20) \), \( (10, 25) \) ve \( (60, 50) \) gibi noktaları işaretleyin. Bu noktaları birleştiren bir doğru çizin. Konuşma süresi (x) negatif olamayacağı için grafiğin sadece x ≥ 0 kısmını (birinci bölgede) çizmeniz gerektiğini unutmayın. Bu grafik, konuşma süresi arttıkça faturanın nasıl arttığını gösterir. ✅
Örnek 8:
📈 Bir şirketin bir üründen elde ettiği kar (bin TL cinsinden), üretilen ürün miktarına (x bin adet) bağlı olarak \( K(x) = -x^2 + 10x - 16 \) fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu şirketin maksimum karını ve bu karı elde etmek için kaç bin adet ürün üretmesi gerektiğini bulunuz.
Çözüm:
Bu problem, ikinci dereceden bir fonksiyon aracılığıyla kar-üretim ilişkisini gösterir. Parabolün tepe noktası, bu tür durumlarda maksimum veya minimum değeri temsil eder.
-
Fonksiyonu Analiz Etme:
- Verilen fonksiyon \( K(x) = -x^2 + 10x - 16 \) bir paraboldür.
- \( x^2 \) teriminin katsayısı \( a = -1 \) olduğu için \( a < 0 \). Bu durumda parabolün kolları aşağı yönlüdür, yani fonksiyonun bir maksimum değeri vardır. Bu maksimum değer, şirketin elde edebileceği en yüksek karı temsil eder.
-
Maksimum Kar ve Üretim Miktarını Bulma:
- Parabolün tepe noktasının apsisi \( r \), maksimum kar için üretilmesi gereken ürün miktarını verir. Tepe noktasının ordinatı \( k \), maksimum kar miktarını verir.
- \( a = -1, b = 10, c = -16 \).
- Tepe noktasının apsisi (üretim miktarı) \( r = -b/(2a) \) formülü ile bulunur:
\( r = -10/(2 \cdot (-1)) = -10/(-2) = 5 \).
Yani, şirket 5 bin adet ürün ürettiğinde maksimum karı elde eder. - Tepe noktasının ordinatı (maksimum kar) \( k = K(r) = K(5) \) formülü ile bulunur:
\( K(5) = -(5)^2 + 10(5) - 16 \)
\( K(5) = -25 + 50 - 16 \)
\( K(5) = 25 - 16 \)
\( K(5) = 9 \).
Yani, şirketin elde edebileceği maksimum kar 9 bin TL'dir.
-
Grafiği Zihinde Canlandırma:
Bu parabolün tepe noktası \( (5, 9) \) noktasındadır ve kolları aşağı doğru bakar. Grafik, üretilen ürün miktarı arttıkça karın önce artıp, belirli bir noktadan sonra azalmaya başladığını gösterir. Maksimum kar, tepe noktasında elde edilir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-grafik-cizme/sorular