🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Grafiğin Ters Fonksiyonu Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Grafiğin Ters Fonksiyonu Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir \( f \) fonksiyonu \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) şeklinde tanımlanmış ve \( f(x) = 2x - 1 \) olarak verilmiştir. Bu fonksiyonun ters fonksiyonu \( f^{-1}(x) \) nedir?
Çözüm:
Fonksiyonun tersini bulmak için aşağıdaki adımları izleriz:
- Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazın.
\( y = 2x - 1 \) - Adım 2: Denklemde \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirin.
\( x = 2y - 1 \) - Adım 3: Yeni denklemde \( y \)'yi yalnız bırakın.
\( x + 1 = 2y \)
\( y = \frac{x+1}{2} \) - Adım 4: Bulduğunuz \( y \) değerini \( f^{-1}(x) \) ile gösterin.
\( f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} \)
Örnek 2:
\( f(x) = 3x + 5 \) fonksiyonunun tersi olan \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Ters fonksiyonu bulmak için standart yöntemi uygulayalım:
- 1. Adım: Fonksiyonu \( y \) cinsinden yazalım: \( y = 3x + 5 \)
- 2. Adım: \( x \) ve \( y \) yerlerini değiştirelim: \( x = 3y + 5 \)
- 3. Adım: \( y \)'yi yalnız bırakalım:
\( x - 5 = 3y \)
\( y = \frac{x-5}{3} \) - 4. Adım: \( y \) yerine \( f^{-1}(x) \) yazalım:
\( f^{-1}(x) = \frac{x-5}{3} \)
Örnek 3:
Verilen \( f(x) = \frac{x+2}{4} \) fonksiyonunun ters fonksiyonu \( f^{-1}(x) \) nedir?
Çözüm:
Ters fonksiyonu bulma adımlarını takip edelim:
- Fonksiyonu \( y = \frac{x+2}{4} \) olarak yazalım.
- \( x \) ve \( y \) yerlerini değiştirelim: \( x = \frac{y+2}{4} \).
- \( y \)'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı 4 ile çarpalım:
\( 4x = y + 2 \) - Şimdi 2'yi karşıya atalım:
\( 4x - 2 = y \) - Bu durumda ters fonksiyonumuz: \( f^{-1}(x) = 4x - 2 \) olur.
Örnek 4:
\( f(x) = 5 - 2x \) fonksiyonunun ters fonksiyonu \( f^{-1}(x) \) için \( f^{-1}(3) \) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
Önce \( f(x) \) fonksiyonunun tersini bulalım:
- \( y = 5 - 2x \)
- \( x = 5 - 2y \)
- \( x - 5 = -2y \)
- \( y = \frac{x-5}{-2} \)
- \( y = \frac{5-x}{2} \)
- Dolayısıyla, \( f^{-1}(x) = \frac{5-x}{2} \).
- \( f^{-1}(3) = \frac{5-3}{2} \)
- \( f^{-1}(3) = \frac{2}{2} \)
- \( f^{-1}(3) = 1 \)
Örnek 5:
Bir grafik tasarımcı, bir logonun boyutunu ölçeklendirmek için \( f(x) = 3x + 10 \) fonksiyonunu kullanmaktadır. Burada \( x \) orijinal boyut (cm) ve \( f(x) \) ise ölçeklendirilmiş boyut (cm)'dir. Tasarımcının, ölçeklendirilmiş bir logoyu orijinal boyutuna geri döndürmek için kullanacağı fonksiyon nedir?
Çözüm:
Bu problemde, ölçeklendirilmiş boyuttan orijinal boyuta geçişi sağlayan ters fonksiyonu bulmamız gerekiyor.
- Adım 1: Verilen fonksiyonu \( y = f(x) \) olarak yazalım:
\( y = 3x + 10 \) - 2. Adım: \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim. Bu, ölçeklendirilmiş boyuttan orijinal boyuta geçişi temsil eder:
\( x = 3y + 10 \) - 3. Adım: Yeni denklemde \( y \)'yi (orijinal boyutu) yalnız bırakalım:
\( x - 10 = 3y \)
\( y = \frac{x - 10}{3} \) - 4. Adım: Bu \( y \) değeri, ölçeklendirilmiş boyuttan orijinal boyuta dönüştüren ters fonksiyondur.
\( f^{-1}(x) = \frac{x - 10}{3} \)
Örnek 6:
Bir mağaza, sattığı bir ürünün fiyatını belirlemek için bir formül kullanıyor. Eğer ürünün maliyeti \( x \) TL ise, satış fiyatı \( f(x) = 1.5x + 5 \) TL olarak belirleniyor. Bir müşteri, 50 TL'ye bir ürün satın aldıysa, bu ürünün mağazaya maliyeti kaç TL'dir?
Çözüm:
Bu soruda, verilen satış fiyatından ürünün maliyetini bulmak için ters fonksiyonu kullanacağız.
- 1. Adım: Fonksiyonu \( y = f(x) \) olarak yazalım:
\( y = 1.5x + 5 \) - 2. Adım: Ters fonksiyonu bulmak için \( x \) ve \( y \) yerlerini değiştirelim:
\( x = 1.5y + 5 \) - 3. Adım: \( y \)'yi (maliyeti) yalnız bırakalım:
\( x - 5 = 1.5y \)
\( y = \frac{x - 5}{1.5} \) - 4. Adım: Ters fonksiyonumuz \( f^{-1}(x) = \frac{x - 5}{1.5} \) olur.
- 5. Adım: Müşterinin ödediği 50 TL'yi bu ters fonksiyonda yerine koyalım:
\( f^{-1}(50) = \frac{50 - 5}{1.5} \)
\( f^{-1}(50) = \frac{45}{1.5} \)
\( f^{-1}(50) = 30 \)
Örnek 7:
\( f(x) = x + 7 \) fonksiyonunun ters fonksiyonu \( f^{-1}(x) \) nedir?
Çözüm:
Ters fonksiyonu bulmak için adımları takip edelim:
- Fonksiyonu \( y = x + 7 \) olarak yazın.
- \( x \) ve \( y \) yerlerini değiştirin: \( x = y + 7 \).
- \( y \)'yi yalnız bırakın: \( y = x - 7 \).
- Ters fonksiyon \( f^{-1}(x) = x - 7 \) olur.
Örnek 8:
\( g(x) = \frac{2x+1}{3} \) fonksiyonunun ters fonksiyonu \( g^{-1}(x) \) için \( g^{-1}(5) \) değerini bulunuz.
Çözüm:
Önce \( g(x) \) fonksiyonunun tersini bulalım:
- \( y = \frac{2x+1}{3} \)
- \( x = \frac{2y+1}{3} \)
- Her iki tarafı 3 ile çarpalım:
\( 3x = 2y + 1 \) - 1'i karşıya atalım:
\( 3x - 1 = 2y \) - \( y \)'yi yalnız bırakalım:
\( y = \frac{3x-1}{2} \) - Dolayısıyla, \( g^{-1}(x) = \frac{3x-1}{2} \).
- \( g^{-1}(5) = \frac{3(5)-1}{2} \)
- \( g^{-1}(5) = \frac{15-1}{2} \)
- \( g^{-1}(5) = \frac{14}{2} \)
- \( g^{-1}(5) = 7 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-grafigin-ters-fonksiyonu/sorular