🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Grafiği Verilen Bağıntının Fonksiyon Olma Şartı Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Grafiği Verilen Bağıntının Fonksiyon Olma Şartı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen, koordinat düzleminde çizilmiş bir doğrunun grafiği bulunmaktadır:
Bu doğru, y eksenini \( (0, 3) \) noktasında kesmekte ve x eksenini \( (-3/2, 0) \) noktasında kesmektedir. Genel denklemi \( y = 2x + 3 \) olan bu bağıntının bir fonksiyon olup olmadığını belirleyiniz. 👉
Bu doğru, y eksenini \( (0, 3) \) noktasında kesmekte ve x eksenini \( (-3/2, 0) \) noktasında kesmektedir. Genel denklemi \( y = 2x + 3 \) olan bu bağıntının bir fonksiyon olup olmadığını belirleyiniz. 👉
Çözüm:
Bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için Dikey Doğru Testi'ni kullanırız. İşte adımlar:
- 📌 Dikey Doğru Testi Nedir? Koordinat düzleminde, x eksenine paralel olan dikey doğrular çizeriz.
- ✅ Eğer çizdiğimiz herhangi bir dikey doğru, grafiği yalnızca bir noktada kesiyorsa, bu bağıntı bir fonksiyondur.
- ❌ Eğer çizdiğimiz en az bir dikey doğru, grafiği birden fazla noktada kesiyorsa, bu bağıntı bir fonksiyon değildir.
- 💡 Verilen \( y = 2x + 3 \) denklemli doğru, koordinat düzleminde düz bir çizgidir.
- 👉 Bu doğruya, x eksenine dik olacak şekilde, yani y eksenine paralel olacak şekilde hayali dikey doğrular çizdiğimizde, her dikey doğru bu çizgiyi sadece bir noktada kesecektir.
- 🎉 Bu nedenle, \( y = 2x + 3 \) bağıntısının grafiği bir fonksiyon belirtir. Her x değeri için yalnızca bir y değeri vardır.
Örnek 2:
Koordinat düzleminde, tepe noktası başlangıç noktasında \( (0,0) \) olan ve kolları yukarıya doğru açılan bir parabolün grafiği verilmiştir. Bu parabolün denklemi \( y = x^2 \) şeklindedir. Bu bağıntının bir fonksiyon olup olmadığını Dikey Doğru Testi ile açıklayınız. 🧐
Çözüm:
Parabolün grafiğini Dikey Doğru Testi'ne göre inceleyelim:
- 📌 \( y = x^2 \) parabolü, y eksenine göre simetrik olan U şeklinde bir eğridir.
- 💡 Bu parabolün grafiğine, x eksenine dik olacak şekilde dikey doğrular çizdiğimizde (örneğin \( x=1 \), \( x=-2 \), \( x=0 \) gibi), her bir dikey doğru parabolü yalnızca bir noktada kesecektir.
- 👉 Örneğin, \( x=2 \) dikey doğrusu parabolü sadece \( (2, 4) \) noktasında keser. \( x=-1 \) dikey doğrusu ise sadece \( (-1, 1) \) noktasında keser.
- ✅ Bu durum, her bir x değeri için yalnızca bir tane y değeri olduğu anlamına gelir.
- 🎉 Dolayısıyla, \( y = x^2 \) bağıntısının grafiği bir fonksiyon belirtir.
Örnek 3:
Merkezi başlangıç noktasında \( (0,0) \) olan ve yarıçapı \( r \) birim olan bir çemberin grafiği verilmiştir. Bu çemberin denklemi \( x^2 + y^2 = r^2 \) şeklindedir. Bu bağıntının bir fonksiyon olup olmadığını Dikey Doğru Testi'ni kullanarak açıklayınız. 🚫
Çözüm:
Çemberin grafiğini Dikey Doğru Testi'ne göre inceleyelim:
- 📌 Bir çember, kapalı ve yuvarlak bir şekildir.
- 💡 Çemberin grafiğine, x eksenine dik olacak şekilde dikey doğrular çizdiğimizde (örneğin \( x = r/2 \) gibi), çemberin en sol ve en sağ noktaları hariç, çoğu dikey doğru çemberi iki farklı noktada kesecektir.
- 👉 Örneğin, \( r=3 \) olan bir çember için \( x^2 + y^2 = 9 \) denklemini düşünelim. Eğer \( x=2 \) dikey doğrusunu çizersek, \( 2^2 + y^2 = 9 \Rightarrow 4 + y^2 = 9 \Rightarrow y^2 = 5 \Rightarrow y = \sqrt{5} \) veya \( y = -\sqrt{5} \) olur. Bu durumda \( (2, \sqrt{5}) \) ve \( (2, -\sqrt{5}) \) olmak üzere iki farklı y değeri elde ederiz.
- ❌ Bu durum, bir x değeri için birden fazla y değeri olduğu anlamına gelir.
- 🎉 Dolayısıyla, \( x^2 + y^2 = r^2 \) bağıntısının grafiği bir fonksiyon değildir.
Örnek 4:
Koordinat düzleminde, x eksenine göre simetrik, kolları sağa doğru açılan bir parabolün grafiği verilmiştir. Bu parabolün denklemi \( x = y^2 \) şeklindedir. Bu bağıntının bir fonksiyon olup olmadığını Dikey Doğru Testi ile açıklayınız. 🤔
Çözüm:
Verilen parabolün grafiğini Dikey Doğru Testi'ne göre inceleyelim:
- 📌 \( x = y^2 \) parabolü, y ekseni yerine x eksenine göre simetrik olan ve sağa doğru açılan bir U şeklindedir.
- 💡 Bu parabolün grafiğine, x eksenine dik olacak şekilde dikey doğrular çizdiğimizde, \( x=0 \) dışındaki pozitif x değerleri için çoğu dikey doğru parabolü iki farklı noktada kesecektir.
- 👉 Örneğin, \( x=4 \) dikey doğrusunu çizersek, \( 4 = y^2 \Rightarrow y = 2 \) veya \( y = -2 \) olur. Bu durumda \( (4, 2) \) ve \( (4, -2) \) olmak üzere iki farklı y değeri elde ederiz.
- ❌ Bu durum, bir x değeri için birden fazla y değeri olduğu anlamına gelir.
- 🎉 Dolayısıyla, \( x = y^2 \) bağıntısının grafiği bir fonksiyon değildir.
Örnek 5:
Koordinat düzleminde, köşe noktası başlangıç noktasında \( (0,0) \) olan ve kolları yukarıya doğru "V" şeklinde açılan bir mutlak değer fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu grafiğin denklemi \( y = |x| \) şeklindedir. Bu bağıntının bir fonksiyon olup olmadığını Dikey Doğru Testi ile belirleyiniz. ➕
Çözüm:
Mutlak değer fonksiyonunun grafiğini Dikey Doğru Testi'ne göre inceleyelim:
- 📌 \( y = |x| \) grafiği, x ekseninin negatif kısmında \( y = -x \) doğrusu ve pozitif kısmında \( y = x \) doğrusu gibi davranan, başlangıç noktasında birleşen "V" şeklinde bir grafiktir.
- 💡 Bu "V" şeklindeki grafiğe, x eksenine dik olacak şekilde dikey doğrular çizdiğimizde, her bir dikey doğru grafiği yalnızca bir noktada kesecektir.
- 👉 Örneğin, \( x = 3 \) dikey doğrusu grafiği sadece \( (3, 3) \) noktasında keser. \( x = -2 \) dikey doğrusu ise sadece \( (-2, 2) \) noktasında keser.
- ✅ Her bir x değeri için yalnızca bir y değeri vardır.
- 🎉 Bu nedenle, \( y = |x| \) bağıntısının grafiği bir fonksiyon belirtir.
Örnek 6:
Bir şirketin bir ürün için yaptığı reklam harcaması (x) ile elde ettiği satış geliri (y) arasındaki ilişkiyi gösteren bir grafik düşünelim. Bu grafik, artan reklam harcamasıyla satış gelirinin önce hızla arttığını, sonra artış hızının yavaşladığını ve bir noktadan sonra reklam harcaması artsa bile satış gelirinin sabit kaldığını veya hafifçe azaldığını gösteren bir eğridir. Bu grafiğin her bir reklam harcaması miktarı için yalnızca bir satış geliri değeri verdiğini varsayarsak, bu bağıntı bir fonksiyon mudur? Açıklayınız. 📈
Çözüm:
Bu senaryodaki grafiği Dikey Doğru Testi açısından değerlendirelim:
- 📌 Grafiğin x ekseni reklam harcamasını, y ekseni ise satış gelirini temsil etmektedir.
- 💡 Soruda belirtildiği gibi, "her bir reklam harcaması miktarı için yalnızca bir satış geliri değeri" bulunmaktadır.
- 👉 Bu ifade, grafiğe çizilecek herhangi bir dikey doğrunun (belli bir reklam harcaması miktarını temsil eden) grafiği en fazla bir noktada keseceği anlamına gelir. Çünkü aynı reklam harcaması miktarı için iki farklı satış geliri değeri olamaz.
- ✅ Dikey Doğru Testi'ne göre, her x değeri (reklam harcaması) için bir ve yalnızca bir y değeri (satış geliri) atanıyorsa, bu bağıntı bir fonksiyondur.
- 🎉 Dolayısıyla, verilen şartlar altında bu bağıntı bir fonksiyondur.
Örnek 7:
Bir şehirde gün içinde ölçülen sıcaklık değerlerinin zamana göre değişimini gösteren bir grafik hayal edelim. x ekseni günün saatlerini (örneğin 0'dan 24'e kadar), y ekseni ise o saatteki sıcaklığı göstermektedir. Belirli bir anda (örneğin saat 14:00'te) şehirde birden fazla sıcaklık değeri olabilir mi? Bu grafiğin bir fonksiyon olup olmadığını günlük hayattan örnekle açıklayınız. 🌡️
Çözüm:
Günlük hayattaki sıcaklık-zaman ilişkisini Dikey Doğru Testi ile inceleyelim:
- 📌 x ekseni zamanı, y ekseni ise sıcaklığı temsil etmektedir.
- 💡 Günlük hayatta, belirli bir anda (belli bir saniyede bile olsa) bir şehirde yalnızca tek bir sıcaklık değeri ölçülür. Aynı anda iki farklı sıcaklık derecesi (aynı noktada) olamaz.
- 👉 Bu durum, grafiğe çizilecek herhangi bir dikey doğrunun (belli bir zaman dilimini temsil eden) grafiği yalnızca bir noktada keseceği anlamına gelir. Örneğin, saat 15:00'i gösteren dikey doğru, grafiği sadece o saatteki sıcaklık değerinde keser.
- ✅ Her zaman değeri (x) için tek bir sıcaklık değeri (y) atanır.
- 🎉 Bu nedenle, bir şehirdeki sıcaklık değerlerinin zamana göre değişimini gösteren grafik, bir fonksiyon belirtir.
Örnek 8:
Koordinat düzleminde, x eksenini \( (-2, 0) \) ve \( (2, 0) \) noktalarında kesen, y eksenini ise \( (0, -4) \) noktasında kesen, aşağı doğru açılan bir parabolün grafiği verilmiştir. Bu parabolün tepe noktası \( (0, -4) \) üzerindedir. Ancak, bu grafiğe ek olarak, \( x = 0 \) doğrusu üzerinde \( (0, 1) \) noktasında ayrı bir nokta daha bulunmaktadır. Bu bağıntının bir fonksiyon olup olmadığını Dikey Doğru Testi ile değerlendiriniz. 🤯
Çözüm:
Bu özel durumu Dikey Doğru Testi ile dikkatlice inceleyelim:
- 📌 Grafiğimiz, \( y = x^2 - 4 \) denklemiyle temsil edilebilecek bir parabol ve ek olarak \( (0, 1) \) noktasından oluşmaktadır.
- 💡 Parabolün tepe noktası \( (0, -4) \) noktasındadır. Bu, \( x=0 \) iken \( y=-4 \) anlamına gelir.
- 👉 Ancak, soruda ayrıca \( x = 0 \) doğrusu üzerinde, yani y ekseni üzerinde, \( (0, 1) \) noktasında ayrı bir nokta daha bulunduğu belirtilmiştir.
- ❌ Bu durumda, \( x=0 \) dikey doğrusunu çizdiğimizde (yani y eksenini), bu doğru grafiği iki farklı noktada kesecektir:
- Parabolün tepe noktası olan \( (0, -4) \) noktasında.
- Ek olarak verilen \( (0, 1) \) noktasında.
- ⚠️ Bir x değeri (bu durumda \( x=0 \)) için birden fazla y değeri (yani \( y=-4 \) ve \( y=1 \)) elde ettiğimiz için, Dikey Doğru Testi'ni geçemez.
- 🎉 Dolayısıyla, bu bağıntı bir fonksiyon değildir. Bir fonksiyon için her x değeri sadece bir y değeri ile eşleşmelidir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-grafigi-verilen-bagintinin-fonksiyon-olma-sarti/sorular