🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Rasyonel Fonksiyonlar Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Rasyonel Fonksiyonlar Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen ifadelerden hangileri bir rasyonel fonksiyon belirtir? 🤔
I. \( f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \)
II. \( g(x) = \frac{x^2+5}{4} \)
III. \( h(x) = \frac{\sqrt{x}+1}{x^2+1} \)
IV. \( k(x) = 5x^3 - 2x + 1 \)
V. \( m(x) = \frac{1}{x} \)
I. \( f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \)
II. \( g(x) = \frac{x^2+5}{4} \)
III. \( h(x) = \frac{\sqrt{x}+1}{x^2+1} \)
IV. \( k(x) = 5x^3 - 2x + 1 \)
V. \( m(x) = \frac{1}{x} \)
Çözüm:
Bir fonksiyonun rasyonel fonksiyon olabilmesi için \( P(x) \) ve \( Q(x) \) birer polinom olmak üzere \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) şeklinde yazılabilmesi ve \( Q(x) \neq 0 \) olması gerekir. Şimdi verilen ifadeleri inceleyelim:
- 👉 I. \( f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \): Hem pay hem de payda birer polinomdur. Bu bir rasyonel fonksiyondur. ✅
- 👉 II. \( g(x) = \frac{x^2+5}{4} \): Pay \( P(x) = x^2+5 \) bir polinomdur. Payda \( Q(x) = 4 \) sabit bir polinomdur (sıfırdan farklı). Bu bir rasyonel fonksiyondur. (Aslında bir polinom fonksiyonudur, her polinom fonksiyonu bir rasyonel fonksiyondur). ✅
- 👉 III. \( h(x) = \frac{\sqrt{x}+1}{x^2+1} \): Paydaki \( \sqrt{x} \) ifadesi bir polinom değildir. Bu nedenle \( \sqrt{x}+1 \) bir polinom değildir. Dolayısıyla bu ifade bir rasyonel fonksiyon belirtmez. ❌
- 👉 IV. \( k(x) = 5x^3 - 2x + 1 \): Bu bir polinom fonksiyonudur. Her polinom fonksiyonu, paydası 1 olan bir rasyonel fonksiyon olarak düşünülebilir (örneğin \( \frac{5x^3 - 2x + 1}{1} \)). Bu bir rasyonel fonksiyondur. ✅
- 👉 V. \( m(x) = \frac{1}{x} \): Hem pay \( P(x) = 1 \) hem de payda \( Q(x) = x \) birer polinomdur. Bu bir rasyonel fonksiyondur. ✅
Örnek 2:
Aşağıdaki \( f(x) = \frac{3x+5}{x-4} \) rasyonel fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 💡
Çözüm:
Bir rasyonel fonksiyonun tanımlı olabilmesi için paydasının sıfır olmaması gerekir. Yani, paydadaki ifadeyi sıfır yapan \( x \) değerlerini tüm gerçek sayılar kümesinden çıkarmalıyız.
Yani, \( x \) yerine 4 hariç tüm gerçek sayıları yazabiliriz.
- 1. 📌 Paydayı sıfıra eşitleyelim: \( x-4 = 0 \)
- 2. ➡️ Denklemi çözelim: \( x = 4 \)
- 3. Bu durumda, \( x=4 \) değeri fonksiyonu tanımsız yapar.
- 4. ✅ Fonksiyonun en geniş tanım kümesi, gerçek sayılar kümesinden bu değeri çıkararak bulunur.
Yani, \( x \) yerine 4 hariç tüm gerçek sayıları yazabiliriz.
Örnek 3:
\( g(x) = \frac{x^2-9}{x^2-2x-15} \) rasyonel fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. 🤔
Çözüm:
Rasyonel fonksiyonların tanım kümesini bulmak için paydayı sıfır yapan değerleri gerçek sayılar kümesinden çıkarmalıyız.
- 1. 📌 Paydayı sıfıra eşitleyelim: \( x^2-2x-15 = 0 \)
- 2. ➡️ Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları -15, toplamları -2 olan iki sayı -5 ve 3'tür.
- 3. Denklemi şu şekilde yazabiliriz: \( (x-5)(x+3) = 0 \)
- 4. Bu denklemin kökleri (paydayı sıfır yapan değerler) şunlardır:
- \( x-5 = 0 \Rightarrow x = 5 \)
- \( x+3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)
- 5. ✅ Bu durumda, \( x=5 \) ve \( x=-3 \) değerleri fonksiyonu tanımsız yapar.
Örnek 4:
\( h(x) = \frac{x^2-4x}{x+1} \) rasyonel fonksiyonunun sıfırlarını (köklerini) bulunuz. 💡
Çözüm:
Bir rasyonel fonksiyonun sıfırları (kökleri), payını sıfır yapan ancak paydasını sıfır yapmayan \( x \) değerleridir.
- 1. 📌 Önce payı sıfıra eşitleyelim: \( x^2-4x = 0 \)
- 2. ➡️ Bu denklemi çarpanlarına ayıralım: \( x(x-4) = 0 \)
- 3. Bu denklemin kökleri şunlardır:
- \( x = 0 \)
- \( x-4 = 0 \Rightarrow x = 4 \)
- 4. Şimdi, bu \( x \) değerlerinin paydayı sıfır yapıp yapmadığını kontrol etmeliyiz. Payda \( x+1 \).
- \( x=0 \) için payda: \( 0+1 = 1 \neq 0 \) (Tanımlı)
- \( x=4 \) için payda: \( 4+1 = 5 \neq 0 \) (Tanımlı)
- 5. ✅ Her iki değer de paydayı sıfır yapmadığı için, fonksiyonun sıfırları \( x=0 \) ve \( x=4 \) değerleridir.
Örnek 5:
\( f(x) = \frac{x^2+2x-3}{x-2} \) rasyonel fonksiyonu için \( f(3) \) ve \( f(-1) \) değerlerini hesaplayınız. 🤔
Çözüm:
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulmak için, fonksiyondaki \( x \) yerine o noktadaki değeri yazarız.
Öncelikle fonksiyonun tanım kümesini kontrol edelim: Payda \( x-2 \). \( x-2=0 \Rightarrow x=2 \). Yani \( x \neq 2 \) olmalı. Hesaplayacağımız \( x=3 \) ve \( x=-1 \) değerleri tanım kümesindedir.
1. 👉 \( f(3) \) değerini hesaplayalım:
2. 👉 \( f(-1) \) değerini hesaplayalım:
Öncelikle fonksiyonun tanım kümesini kontrol edelim: Payda \( x-2 \). \( x-2=0 \Rightarrow x=2 \). Yani \( x \neq 2 \) olmalı. Hesaplayacağımız \( x=3 \) ve \( x=-1 \) değerleri tanım kümesindedir.
1. 👉 \( f(3) \) değerini hesaplayalım:
- \( x \) yerine 3 yazalım: \( f(3) = \frac{(3)^2+2(3)-3}{3-2} \)
- Payı hesaplayalım: \( 9+6-3 = 12 \)
- Paydayı hesaplayalım: \( 3-2 = 1 \)
- ✅ Sonuç: \( f(3) = \frac{12}{1} = 12 \)
2. 👉 \( f(-1) \) değerini hesaplayalım:
- \( x \) yerine -1 yazalım: \( f(-1) = \frac{(-1)^2+2(-1)-3}{-1-2} \)
- Payı hesaplayalım: \( 1-2-3 = -4 \)
- Paydayı hesaplayalım: \( -1-2 = -3 \)
- ✅ Sonuç: \( f(-1) = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3} \)
Örnek 6:
\( f(x) = \frac{2x+7}{x-1} \) rasyonel fonksiyonu için \( f(a) = 5 \) eşitliğini sağlayan \( a \) değerini bulunuz. 💡
Çözüm:
Bize verilen fonksiyonun belirli bir \( a \) değeri için 5'e eşit olduğu bilgisi var. Bu durumda, fonksiyondaki \( x \) yerine \( a \) yazıp denklemi 5'e eşitleyerek \( a \) değerini bulabiliriz.
- 1. 📌 \( f(a) = \frac{2a+7}{a-1} \) ifadesini 5'e eşitleyelim:
\[ \frac{2a+7}{a-1} = 5 \] - 2. ➡️ Denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapalım (Paydanın sıfır olmamasına dikkat edelim, yani \( a \neq 1 \) olmalı):
\( 2a+7 = 5(a-1) \) - 3. Parantezi dağıtalım:
\( 2a+7 = 5a-5 \) - 4. \( a \) değerlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
\( 7+5 = 5a-2a \)
\( 12 = 3a \) - 5. Her iki tarafı 3'e bölelim:
\( a = \frac{12}{3} \)
\( a = 4 \) - 6. ✅ Bulduğumuz \( a=4 \) değeri payda olan \( a-1 \) ifadesini sıfır yapmadığı için (\( 4-1 = 3 \neq 0 \)), bu değer geçerlidir.
Örnek 7:
Bir mühendislik firması, bir projenin maliyetini (bin TL cinsinden) \( C(n) = \frac{10n+50}{n+5} \) fonksiyonu ile modellemiştir. Burada \( n \), projenin tamamlanması için harcanan işçi gün sayısını ifade etmektedir.
Bu projede harcanan işçi gün sayısı \( n=15 \) olduğunda projenin maliyeti kaç bin TL olur? 🤔 Ayrıca, bu fonksiyonun tanım kümesini işçi gün sayısı bağlamında yorumlayınız. 💡
Bu projede harcanan işçi gün sayısı \( n=15 \) olduğunda projenin maliyeti kaç bin TL olur? 🤔 Ayrıca, bu fonksiyonun tanım kümesini işçi gün sayısı bağlamında yorumlayınız. 💡
Çözüm:
Bu problemde, verilen rasyonel fonksiyonu kullanarak maliyeti hesaplayacak ve tanım kümesini gerçek dünya bağlamında yorumlayacağız.
1. 👉 \( n=15 \) olduğunda maliyeti hesaplayalım:
2. 👉 Fonksiyonun tanım kümesini işçi gün sayısı bağlamında yorumlayalım:
1. 👉 \( n=15 \) olduğunda maliyeti hesaplayalım:
- Fonksiyonda \( n \) yerine 15 yazalım:
\[ C(15) = \frac{10(15)+50}{15+5} \] - Payı hesaplayalım: \( 150+50 = 200 \)
- Paydayı hesaplayalım: \( 15+5 = 20 \)
- ✅ Sonuç: \( C(15) = \frac{200}{20} = 10 \)
2. 👉 Fonksiyonun tanım kümesini işçi gün sayısı bağlamında yorumlayalım:
- Rasyonel fonksiyonun tanım kümesini bulmak için paydayı sıfır yapan değeri çıkarmalıyız: \( n+5 = 0 \Rightarrow n = -5 \).
- Matematiksel olarak tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{-5\} \) olur.
- Ancak, \( n \) bir projenin tamamlanması için harcanan işçi gün sayısını ifade eder. İşçi gün sayısı negatif olamaz ve sıfır veya pozitif bir tam sayı olmalıdır.
- Bu nedenle, bu fonksiyonun gerçek hayattaki bağlamda tanım kümesi \( n \ge 0 \) olan tam sayılar kümesi olmalıdır. Yani, \( \{0, 1, 2, 3, \ldots\} \) kümesi.
- ✅ \( n=-5 \) değeri zaten bu fiziksel tanım kümesinin dışında kaldığı için, fonksiyonun bu bağlamda her zaman tanımlı olduğunu söyleyebiliriz.
Örnek 8:
Bir otobüs firması, şehirlerarası bir yolculukta bilet fiyatını \( F(x) = \frac{1200}{x} \) olarak belirlemiştir. Burada \( x \), otobüsteki yolcu sayısını ifade etmektedir.
Bu fonksiyonun tanım kümesini ve günlük hayattaki anlamını açıklayınız. Otobüsün kapasitesi maksimum 40 kişi olduğuna göre, \( F(x) \) fonksiyonu hangi \( x \) değerleri için gerçekçi bir bilet fiyatı verir? 🚌
Bu fonksiyonun tanım kümesini ve günlük hayattaki anlamını açıklayınız. Otobüsün kapasitesi maksimum 40 kişi olduğuna göre, \( F(x) \) fonksiyonu hangi \( x \) değerleri için gerçekçi bir bilet fiyatı verir? 🚌
Çözüm:
Bu örnekte, rasyonel bir fonksiyonun günlük hayattaki bir senaryoda nasıl kullanıldığını ve tanım kümesinin önemini inceleyeceğiz.
1. 👉 Fonksiyonun matematiksel tanım kümesini bulalım:
2. 👉 Tanım kümesini günlük hayattaki anlamıyla yorumlayalım:
3. 👉 Otobüs kapasitesi dikkate alındığında gerçekçi \( x \) değerleri:
1. 👉 Fonksiyonun matematiksel tanım kümesini bulalım:
- Rasyonel fonksiyonun tanım kümesi için paydayı sıfır yapan değeri çıkarmalıyız: \( x = 0 \).
- Matematiksel olarak tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) dir.
2. 👉 Tanım kümesini günlük hayattaki anlamıyla yorumlayalım:
- \( x \), otobüsteki yolcu sayısını ifade eder. Yolcu sayısı negatif olamaz ve kesirli olamaz (yarım yolcu olmaz, tam sayı olmalı).
- Ayrıca, \( x=0 \) olması, yani otobüste hiç yolcu olmaması durumunda \( F(0) = \frac{1200}{0} \) tanımsız olacağı için, bu durumda bilet fiyatı hesaplanamaz. Bu da mantıklıdır, çünkü yolcu yoksa bilet fiyatından bahsetmek anlamsızdır.
- Bu nedenle, günlük hayatta yolcu sayısı \( x \) pozitif bir tam sayı olmalıdır. Yani, \( x \in \{1, 2, 3, \ldots\} \).
3. 👉 Otobüs kapasitesi dikkate alındığında gerçekçi \( x \) değerleri:
- Otobüsün kapasitesi maksimum 40 kişi olduğuna göre, yolcu sayısı 1 ile 40 arasında bir tam sayı olmalıdır.
- ✅ Yani, \( F(x) \) fonksiyonu için gerçekçi \( x \) değerleri kümesi \( \{1, 2, 3, \ldots, 40\} \) olacaktır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-gercek-sayilarda-tanimli-rasyonel-fonksiyonlar-ve-nitel-ozellikleri/sorular