💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda tanımlı karesel fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Birbirinden farklı iki gerçek sayının kareleri toplamının en küçük değerini bulunuz.
Bu soruyu bir karesel fonksiyon mantığıyla ele alalım.
Çözüm ve Açıklama
İki farklı gerçek sayıya \(x\) ve \(y\) diyelim.
Bu sayıların kareleri toplamı \(f(x, y) = x^2 + y^2\) fonksiyonu ile ifade edilebilir.
Ancak, biz tek değişkenli karesel fonksiyonlara odaklanacağız. Bu tür sorularda, genellikle sayılar arasındaki ilişkiyi kurarak tek değişkene indirgemek gerekir.
Eğer sayılar birbirine yakın olursa, kareleri toplamı da küçülür.
İki farklı gerçek sayının kareleri toplamının en küçük değeri, sayılar birbirine yaklaştıkça sıfıra yaklaşır ancak sıfır olmaz.
En küçük değeri bulmak için sayılar arasındaki farkı minimuma indirmemiz gerekir.
Bunu, tek bir karesel fonksiyon olarak düşünmek yerine, iki sayının toplamı sabitken kareleri toplamının minimum olduğu durumu inceleyebiliriz.
Ancak, soruda sayılar arasındaki ilişki verilmemiş. Bu durumda, "birbirinden farklı" olma şartı önemlidir.
Eğer sayılar \(a\) ve \(b\) ise, \(a \neq b\) olmak üzere \(a^2 + b^2\) ifadesini minimize etmeye çalışıyoruz.
Sıfıra en yakın farklı iki gerçek sayıya örnek olarak \(0.00001\) ve \(-0.00001\) gibi sayıları düşünebiliriz. Bunların kareleri toplamı çok küçük pozitif bir sayı olur.
Kesin bir minimum değer vermek yerine, bu toplamın sıfıra çok yakın pozitif bir değer olabileceğini söyleyebiliriz.
Eğer sayılar \(a\) ve \(a+d\) şeklinde olsaydı, \(a^2 + (a+d)^2\) fonksiyonunu inceleyebilirdik.
Sorunun bu haliyle, kesin bir sayısal cevap vermek yerine, mantığını anlamak önemlidir: Farklı sayılar için kareleri toplamı her zaman pozitif bir değer alacaktır ve sıfıra çok yaklaşabilir.
💡 Anahtar Nokta: Farklı gerçek sayılar için kareleri toplamı daima pozitif olur ve sıfıra çok yaklaşabilir.
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
\(f(x) = x^2 - 4x + 7\) karesel fonksiyonunun en küçük değerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bu karesel fonksiyonun en küçük değerini bulmak için tepe noktasının ordinatını kullanabiliriz.
Fonksiyon \(f(x) = ax^2 + bx + c\) genel formundadır. Burada \(a=1\), \(b=-4\) ve \(c=7\)'dir.
Karesel fonksiyonun tepe noktasının apsisi \(x_0 = -\frac{b}{2a}\) formülü ile bulunur.
Fonksiyonun en büyük değeri (çünkü \(a<0\)), tepe noktasının ordinatıdır: \(g(x_0)\).
\(g(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4\).
✅ Sonuç olarak, \(g(x) = -x^2 + 6x - 5\) karesel fonksiyonunun en büyük değeri 4'tür.
4
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir firma, ürettiği bir ürünün satış fiyatını belirlerken maliyet ve talep ilişkisini göz önünde bulunduruyor. Ürün başına \(x\) TL'den satıldığında, firmanın elde edeceği toplam kâr \(K(x)\) fonksiyonu aşağıdaki gibidir:
\[ K(x) = -2x^2 + 24x - 40 \]
Bu firma, en yüksek kârı elde etmek için ürünü kaç TL'den satmalıdır?
Çözüm ve Açıklama
En yüksek kârı bulmak için kâr fonksiyonunun tepe noktasının apsisini hesaplamalıyız.
Kâr fonksiyonu \(K(x) = -2x^2 + 24x - 40\)'tür. Bu bir karesel fonksiyondur ve \(a=-2\), \(b=24\), \(c=-40\)'tir.
Fonksiyonun tepe noktasının apsisi \(x_0 = -\frac{b}{2a}\) formülü ile bulunur.
Bu değer, en yüksek kârı elde etmek için ürünün satış fiyatını (\(x\)) temsil eder.
👉 Firmanın en yüksek kârı elde edebilmesi için ürünü 6 TL'den satması gerekmektedir.
💡 Ek Bilgi: Bu durumda elde edilecek en yüksek kârı bulmak için \(K(6)\) hesaplanabilir: \(K(6) = -2(6)^2 + 24(6) - 40 = -2(36) + 144 - 40 = -72 + 144 - 40 = 32\) TL.
5
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Tepe noktası \(T(3, 5)\) olan ve kolları aşağı doğru olan karesel fonksiyonun denklemini yazınız.
Çözüm ve Açıklama
Kolları aşağı doğru olan bir karesel fonksiyonun baş katsayısı (\(a\)) negatiftir.
Karesel fonksiyonun tepe noktası \(T(x_0, y_0)\) ise, fonksiyonun genel denklemi \(f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0\) şeklinde yazılabilir.
Verilen tepe noktası \(T(3, 5)\) olduğundan, \(x_0 = 3\) ve \(y_0 = 5\)'tir.
Fonksiyon denklemi \(f(x) = a(x - 3)^2 + 5\) olur.
Kolları aşağı doğru olduğu için \(a < 0\) olmalıdır.
Bizden sadece bir denklem istendiği için, \(a\) için negatif herhangi bir değer seçebiliriz. Örneğin \(a = -1\) seçelim.
Bu durumda fonksiyon denklemi \(f(x) = -1(x - 3)^2 + 5\) olur.
✅ Dolayısıyla, tepe noktası \(T(3, 5)\) olan ve kolları aşağı doğru olan bir karesel fonksiyonun denklemi \(f(x) = -x^2 + 6x - 4\) veya \(f(x) = -1(x - 3)^2 + 5\) şeklinde olabilir.
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir futbolcu, topa vurduğunda topun havada izlediği yol yaklaşık olarak bir karesel fonksiyon tarafından modellenebilir. Eğer topun yerden yüksekliğini metre cinsinden gösteren fonksiyon \(h(t) = -5t^2 + 20t\) ise (burada \(t\) saniye cinsinden geçen zamandır), topun havada ulaşabileceği en yüksek noktanın yerden yüksekliği kaç metredir?
Çözüm ve Açıklama
Topun havada ulaşabileceği en yüksek noktayı bulmak için karesel fonksiyonun tepe noktasının ordinatını hesaplamamız gerekiyor.
Yükseklik fonksiyonu \(h(t) = -5t^2 + 20t\)'dir. Bu fonksiyonda \(a=-5\), \(b=20\) ve \(c=0\)'dır.
Fonksiyonun tepe noktasının apsisi (bu durumda zaman \(t\)), \(t_0 = -\frac{b}{2a}\) formülü ile bulunur.
👉 Bu durumda, topun havada ulaşabileceği en yüksek noktanın yerden yüksekliği 20 metredir.
💡 İlginç Bilgi: Bu tür hareketler, fizik derslerinde parabolik hareket olarak incelenir ve karesel fonksiyonlar bu hareketleri modellemek için kullanılır.
7
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Karesel fonksiyon \(f(x) = x^2 - 6x + k\) fonksiyonunun grafiği, x-eksenine teğet olduğuna göre, \(k\) değerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bir karesel fonksiyonun grafiğinin x-eksenine teğet olması demek, fonksiyonun yalnızca bir tane kökü olması demektir. Bu durum, karesel denklemin diskriminantının (Δ) sıfır olmasıyla ifade edilir.
Fonksiyonumuz \(f(x) = x^2 - 6x + k\)'dir. Bu, \(ax^2 + bx + c = 0\) denkleminde \(a=1\), \(b=-6\) ve \(c=k\)'ya karşılık gelir.
Teğet olma şartı \(\Delta = 0\) olmasını gerektirir.
Şimdi \(a, b, c\) değerlerini formülde yerine koyalım:
\(\Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 36 - 4k\).
Bu diskriminantı sıfıra eşitleyelim: \(36 - 4k = 0\).
Denklemi \(k\) için çözelim: \(36 = 4k \implies k = \frac{36}{4} = 9\).
✅ Dolayısıyla, karesel fonksiyonun x-eksenine teğet olması için \(k\) değeri 9 olmalıdır.
📌 Hatırlatma: Diskriminant \(\Delta > 0\) ise iki farklı kök, \(\Delta = 0\) ise bir kök (teğet), \(\Delta < 0\) ise reel kök yoktur.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir çiftçi, tarlasının çevresini bir çit ile çevirmek istiyor. Elinde 100 metre uzunluğunda bir çit bulunmaktadır. Çiftçi, tarlayı en geniş alanı kapsayacak şekilde kare veya dikdörtgen biçiminde yapmak istemektedir. Bu durumda, tarlanın kenar uzunlukları ne olmalıdır?
Bu problemi, alanın maksimize edildiği karesel fonksiyonlar aracılığıyla çözebiliriz.
Çözüm ve Açıklama
Çiftçinin tarlasının çevresi 100 metre olduğuna göre, tarlanın kenar uzunluklarına göre alanı maksimize etmeliyiz.
Tarlanın kenar uzunlukları \(x\) ve \(y\) olsun. Çevre formülü \(2x + 2y = 100\) olur.
Bu denklemi sadeleştirirsek \(x + y = 50\) elde ederiz.
Tarlanın alanı \(A = x \times y\)'dir.
Bizim amacımız alanı maksimize etmektir. \(y = 50 - x\) ifadesini alan denkleminde yerine koyarak tek değişkenli bir fonksiyona indirgeyebiliriz:
\(A(x) = x(50 - x) = 50x - x^2\).
Bu, \(A(x) = -x^2 + 50x\) şeklinde bir karesel fonksiyondur. Bu fonksiyonun en büyük değerini bulmalıyız.
Fonksiyonun baş katsayısı \(a = -1\), \(b = 50\)'dir.
En büyük alanı veren \(x\) değerini bulmak için tepe noktasının apsisini hesaplarız: \(x_0 = -\frac{b}{2a}\).
Bu \(x\) değeri, tarlanın bir kenar uzunluğunu temsil eder. Diğer kenar uzunluğunu \(y = 50 - x\) denkleminden bulabiliriz:
\(y = 50 - 25 = 25\).
👉 Çiftçi, en geniş alanı elde etmek için tarlasını 25 metreye 25 metre şeklinde kare bir alan olarak tasarlamalıdır.
💡 Sonuç: Sabit bir çevre uzunluğu ile en büyük alanı veren şekil daima bir karedir. Bu, karesel fonksiyonların optimizasyon problemlerinde nasıl kullanıldığının güzel bir örneğidir.
Fonksiyonun grafiğinin geçtiği noktaları bulmak için fonksiyonda \(x\) yerine farklı değerler koyarak \(f(x)\) (yani \(y\)) değerlerini hesaplayabiliriz.
Fonksiyonun denklemi \(f(x) = (x+3)^2 - 4\)'tür.
Örneğin, \(x=0\) için:
\(f(0) = (0+3)^2 - 4 = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5\).
Bu durumda fonksiyon, \((0, 5)\) noktasından geçer.
Başka bir örnek olarak, \(x=-3\) koyalım (bu, tepe noktasının apsisidir):
\(f(-3) = (-3+3)^2 - 4 = 0^2 - 4 = -4\).
Bu durumda fonksiyon, \((-3, -4)\) noktasından geçer (bu, tepe noktasıdır).
Bir başka örnek, \(x=1\) için:
\(f(1) = (1+3)^2 - 4 = 4^2 - 4 = 16 - 4 = 12\).
Bu durumda fonksiyon, \((1, 12)\) noktasından geçer.
👉 Fonksiyon, örneğin (0, 5), (-3, -4) veya (1, 12) gibi noktalardan geçer. Sorunun bu şekilde sorulması, herhangi bir geçerli nokta bulmamızı istemektedir.
10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda tanımlı karesel fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirinden farklı iki gerçek sayının kareleri toplamının en küçük değerini bulunuz.
Bu soruyu bir karesel fonksiyon mantığıyla ele alalım.
Çözüm:
İki farklı gerçek sayıya \(x\) ve \(y\) diyelim.
Bu sayıların kareleri toplamı \(f(x, y) = x^2 + y^2\) fonksiyonu ile ifade edilebilir.
Ancak, biz tek değişkenli karesel fonksiyonlara odaklanacağız. Bu tür sorularda, genellikle sayılar arasındaki ilişkiyi kurarak tek değişkene indirgemek gerekir.
Eğer sayılar birbirine yakın olursa, kareleri toplamı da küçülür.
İki farklı gerçek sayının kareleri toplamının en küçük değeri, sayılar birbirine yaklaştıkça sıfıra yaklaşır ancak sıfır olmaz.
En küçük değeri bulmak için sayılar arasındaki farkı minimuma indirmemiz gerekir.
Bunu, tek bir karesel fonksiyon olarak düşünmek yerine, iki sayının toplamı sabitken kareleri toplamının minimum olduğu durumu inceleyebiliriz.
Ancak, soruda sayılar arasındaki ilişki verilmemiş. Bu durumda, "birbirinden farklı" olma şartı önemlidir.
Eğer sayılar \(a\) ve \(b\) ise, \(a \neq b\) olmak üzere \(a^2 + b^2\) ifadesini minimize etmeye çalışıyoruz.
Sıfıra en yakın farklı iki gerçek sayıya örnek olarak \(0.00001\) ve \(-0.00001\) gibi sayıları düşünebiliriz. Bunların kareleri toplamı çok küçük pozitif bir sayı olur.
Kesin bir minimum değer vermek yerine, bu toplamın sıfıra çok yakın pozitif bir değer olabileceğini söyleyebiliriz.
Eğer sayılar \(a\) ve \(a+d\) şeklinde olsaydı, \(a^2 + (a+d)^2\) fonksiyonunu inceleyebilirdik.
Sorunun bu haliyle, kesin bir sayısal cevap vermek yerine, mantığını anlamak önemlidir: Farklı sayılar için kareleri toplamı her zaman pozitif bir değer alacaktır ve sıfıra çok yaklaşabilir.
💡 Anahtar Nokta: Farklı gerçek sayılar için kareleri toplamı daima pozitif olur ve sıfıra çok yaklaşabilir.
Örnek 2:
\(f(x) = x^2 - 4x + 7\) karesel fonksiyonunun en küçük değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu karesel fonksiyonun en küçük değerini bulmak için tepe noktasının ordinatını kullanabiliriz.
Fonksiyon \(f(x) = ax^2 + bx + c\) genel formundadır. Burada \(a=1\), \(b=-4\) ve \(c=7\)'dir.
Karesel fonksiyonun tepe noktasının apsisi \(x_0 = -\frac{b}{2a}\) formülü ile bulunur.
Fonksiyonun en büyük değeri (çünkü \(a<0\)), tepe noktasının ordinatıdır: \(g(x_0)\).
\(g(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4\).
✅ Sonuç olarak, \(g(x) = -x^2 + 6x - 5\) karesel fonksiyonunun en büyük değeri 4'tür.
Örnek 4:
Bir firma, ürettiği bir ürünün satış fiyatını belirlerken maliyet ve talep ilişkisini göz önünde bulunduruyor. Ürün başına \(x\) TL'den satıldığında, firmanın elde edeceği toplam kâr \(K(x)\) fonksiyonu aşağıdaki gibidir:
\[ K(x) = -2x^2 + 24x - 40 \]
Bu firma, en yüksek kârı elde etmek için ürünü kaç TL'den satmalıdır?
Çözüm:
En yüksek kârı bulmak için kâr fonksiyonunun tepe noktasının apsisini hesaplamalıyız.
Kâr fonksiyonu \(K(x) = -2x^2 + 24x - 40\)'tür. Bu bir karesel fonksiyondur ve \(a=-2\), \(b=24\), \(c=-40\)'tir.
Fonksiyonun tepe noktasının apsisi \(x_0 = -\frac{b}{2a}\) formülü ile bulunur.
Bu değer, en yüksek kârı elde etmek için ürünün satış fiyatını (\(x\)) temsil eder.
👉 Firmanın en yüksek kârı elde edebilmesi için ürünü 6 TL'den satması gerekmektedir.
💡 Ek Bilgi: Bu durumda elde edilecek en yüksek kârı bulmak için \(K(6)\) hesaplanabilir: \(K(6) = -2(6)^2 + 24(6) - 40 = -2(36) + 144 - 40 = -72 + 144 - 40 = 32\) TL.
Örnek 5:
Tepe noktası \(T(3, 5)\) olan ve kolları aşağı doğru olan karesel fonksiyonun denklemini yazınız.
Çözüm:
Kolları aşağı doğru olan bir karesel fonksiyonun baş katsayısı (\(a\)) negatiftir.
Karesel fonksiyonun tepe noktası \(T(x_0, y_0)\) ise, fonksiyonun genel denklemi \(f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0\) şeklinde yazılabilir.
Verilen tepe noktası \(T(3, 5)\) olduğundan, \(x_0 = 3\) ve \(y_0 = 5\)'tir.
Fonksiyon denklemi \(f(x) = a(x - 3)^2 + 5\) olur.
Kolları aşağı doğru olduğu için \(a < 0\) olmalıdır.
Bizden sadece bir denklem istendiği için, \(a\) için negatif herhangi bir değer seçebiliriz. Örneğin \(a = -1\) seçelim.
Bu durumda fonksiyon denklemi \(f(x) = -1(x - 3)^2 + 5\) olur.
✅ Dolayısıyla, tepe noktası \(T(3, 5)\) olan ve kolları aşağı doğru olan bir karesel fonksiyonun denklemi \(f(x) = -x^2 + 6x - 4\) veya \(f(x) = -1(x - 3)^2 + 5\) şeklinde olabilir.
Örnek 6:
Bir futbolcu, topa vurduğunda topun havada izlediği yol yaklaşık olarak bir karesel fonksiyon tarafından modellenebilir. Eğer topun yerden yüksekliğini metre cinsinden gösteren fonksiyon \(h(t) = -5t^2 + 20t\) ise (burada \(t\) saniye cinsinden geçen zamandır), topun havada ulaşabileceği en yüksek noktanın yerden yüksekliği kaç metredir?
Çözüm:
Topun havada ulaşabileceği en yüksek noktayı bulmak için karesel fonksiyonun tepe noktasının ordinatını hesaplamamız gerekiyor.
Yükseklik fonksiyonu \(h(t) = -5t^2 + 20t\)'dir. Bu fonksiyonda \(a=-5\), \(b=20\) ve \(c=0\)'dır.
Fonksiyonun tepe noktasının apsisi (bu durumda zaman \(t\)), \(t_0 = -\frac{b}{2a}\) formülü ile bulunur.
👉 Bu durumda, topun havada ulaşabileceği en yüksek noktanın yerden yüksekliği 20 metredir.
💡 İlginç Bilgi: Bu tür hareketler, fizik derslerinde parabolik hareket olarak incelenir ve karesel fonksiyonlar bu hareketleri modellemek için kullanılır.
Örnek 7:
Karesel fonksiyon \(f(x) = x^2 - 6x + k\) fonksiyonunun grafiği, x-eksenine teğet olduğuna göre, \(k\) değerini bulunuz.
Çözüm:
Bir karesel fonksiyonun grafiğinin x-eksenine teğet olması demek, fonksiyonun yalnızca bir tane kökü olması demektir. Bu durum, karesel denklemin diskriminantının (Δ) sıfır olmasıyla ifade edilir.
Fonksiyonumuz \(f(x) = x^2 - 6x + k\)'dir. Bu, \(ax^2 + bx + c = 0\) denkleminde \(a=1\), \(b=-6\) ve \(c=k\)'ya karşılık gelir.
Teğet olma şartı \(\Delta = 0\) olmasını gerektirir.
Şimdi \(a, b, c\) değerlerini formülde yerine koyalım:
\(\Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 36 - 4k\).
Bu diskriminantı sıfıra eşitleyelim: \(36 - 4k = 0\).
Denklemi \(k\) için çözelim: \(36 = 4k \implies k = \frac{36}{4} = 9\).
✅ Dolayısıyla, karesel fonksiyonun x-eksenine teğet olması için \(k\) değeri 9 olmalıdır.
📌 Hatırlatma: Diskriminant \(\Delta > 0\) ise iki farklı kök, \(\Delta = 0\) ise bir kök (teğet), \(\Delta < 0\) ise reel kök yoktur.
Örnek 8:
Bir çiftçi, tarlasının çevresini bir çit ile çevirmek istiyor. Elinde 100 metre uzunluğunda bir çit bulunmaktadır. Çiftçi, tarlayı en geniş alanı kapsayacak şekilde kare veya dikdörtgen biçiminde yapmak istemektedir. Bu durumda, tarlanın kenar uzunlukları ne olmalıdır?
Bu problemi, alanın maksimize edildiği karesel fonksiyonlar aracılığıyla çözebiliriz.
Çözüm:
Çiftçinin tarlasının çevresi 100 metre olduğuna göre, tarlanın kenar uzunluklarına göre alanı maksimize etmeliyiz.
Tarlanın kenar uzunlukları \(x\) ve \(y\) olsun. Çevre formülü \(2x + 2y = 100\) olur.
Bu denklemi sadeleştirirsek \(x + y = 50\) elde ederiz.
Tarlanın alanı \(A = x \times y\)'dir.
Bizim amacımız alanı maksimize etmektir. \(y = 50 - x\) ifadesini alan denkleminde yerine koyarak tek değişkenli bir fonksiyona indirgeyebiliriz:
\(A(x) = x(50 - x) = 50x - x^2\).
Bu, \(A(x) = -x^2 + 50x\) şeklinde bir karesel fonksiyondur. Bu fonksiyonun en büyük değerini bulmalıyız.
Fonksiyonun baş katsayısı \(a = -1\), \(b = 50\)'dir.
En büyük alanı veren \(x\) değerini bulmak için tepe noktasının apsisini hesaplarız: \(x_0 = -\frac{b}{2a}\).
Bu \(x\) değeri, tarlanın bir kenar uzunluğunu temsil eder. Diğer kenar uzunluğunu \(y = 50 - x\) denkleminden bulabiliriz:
\(y = 50 - 25 = 25\).
👉 Çiftçi, en geniş alanı elde etmek için tarlasını 25 metreye 25 metre şeklinde kare bir alan olarak tasarlamalıdır.
💡 Sonuç: Sabit bir çevre uzunluğu ile en büyük alanı veren şekil daima bir karedir. Bu, karesel fonksiyonların optimizasyon problemlerinde nasıl kullanıldığının güzel bir örneğidir.
Fonksiyonun grafiğinin geçtiği noktaları bulmak için fonksiyonda \(x\) yerine farklı değerler koyarak \(f(x)\) (yani \(y\)) değerlerini hesaplayabiliriz.
Fonksiyonun denklemi \(f(x) = (x+3)^2 - 4\)'tür.
Örneğin, \(x=0\) için:
\(f(0) = (0+3)^2 - 4 = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5\).
Bu durumda fonksiyon, \((0, 5)\) noktasından geçer.
Başka bir örnek olarak, \(x=-3\) koyalım (bu, tepe noktasının apsisidir):
\(f(-3) = (-3+3)^2 - 4 = 0^2 - 4 = -4\).
Bu durumda fonksiyon, \((-3, -4)\) noktasından geçer (bu, tepe noktasıdır).
Bir başka örnek, \(x=1\) için:
\(f(1) = (1+3)^2 - 4 = 4^2 - 4 = 16 - 4 = 12\).
Bu durumda fonksiyon, \((1, 12)\) noktasından geçer.
👉 Fonksiyon, örneğin (0, 5), (-3, -4) veya (1, 12) gibi noktalardan geçer. Sorunun bu şekilde sorulması, herhangi bir geçerli nokta bulmamızı istemektedir.