💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda tanımlı karesel fonksiyonlar ve nitelik özellikleri Çözümlü Örnekler

Bu soruda, karesel bir fonksiyonun denklemi verilmiş ve bu fonksiyonun kökleri sorulmaktadır. Kökler, fonksiyonun grafiğinin x eksenini kestiği noktalardır. Yani, \( f(x) = 0 \) denklemini sağlayan x değerleridir. 1. Denklemi Sıfıra Eşitleme: Verilen fonksiyon denklemini sıfıra eşitleriz:
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] 2. Çarpanlara Ayırma Yöntemi: Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları +3, toplamları -4 olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar -1 ve -3'tür.
\[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] 3. Kökleri Bulma: Elde ettiğimiz çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek x değerlerini buluruz.
* \( x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1 \) * \( x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3 \) Sonuç olarak, \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) karesel fonksiyonunun kökleri 1 ve 3'tür. ✅

Tepe noktası bilinen bir karesel fonksiyonun genel denklemi şu şekildedir: \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), burada \( (h, k) \) tepe noktasının koordinatlarıdır. 1. Tepe Noktasını Yerine Koyma: Soruda tepe noktasının \( T(2, -1) \) olduğu verilmiş. Bu durumda \( h = 2 \) ve \( k = -1 \)'dir.
Denklemimiz şu hale gelir: \( f(x) = a(x - 2)^2 - 1 \) 2. y-eksenini Kestiği Noktayı Kullanma: Fonksiyonun \( y \)-eksenini 5 noktasında kestiği bilgisi, \( x = 0 \) iken \( f(x) = 5 \) olduğu anlamına gelir. Bu bilgiyi denklemde yerine koyarak 'a' katsayısını bulabiliriz.
\( 5 = a(0 - 2)^2 - 1 \) \( 5 = a(-2)^2 - 1 \) \( 5 = 4a - 1 \) 3. 'a' Katsayısını Bulma: Denklemdeki 'a' değerini çözeriz.
\( 5 + 1 = 4a \) \( 6 = 4a \) \( a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \) 4. Fonksiyon Denklemini Yazma: Bulduğumuz 'a' değerini tepe noktası formülündeki yerine yazarız.
\( f(x) = \frac{3}{2}(x - 2)^2 - 1 \) Bu karesel fonksiyonun denklemi \( f(x) = \frac{3}{2}(x - 2)^2 - 1 \)'dir. 👉

Bu problem, karesel fonksiyonların tepe noktasının yorumlanması ile ilgilidir. Topun yüksekliğini veren \( h(t) \) fonksiyonu bir karesel fonksiyondur ve grafiği bir parabol belirtir. Maksimum yükseklik, bu parabolün tepe noktasının \( y \)-koordinatıdır. 1. Fonksiyonu Standart Forma Getirme: Fonksiyonumuz \( h(t) = -5t^2 + 20t \). Bu fonksiyon \( at^2 + bt + c \) formundadır, burada \( a = -5 \), \( b = 20 \) ve \( c = 0 \)'dır. 2. Tepe Noktasının Zaman Koordinatını Bulma: Parabolün tepe noktasının \( t \) (zaman) koordinatı \( t = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
\[ t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2 \] Bu, topun maksimum yüksekliğe 2 saniye sonra ulaşacağı anlamına gelir. 3. Maksimum Yüksekliği Hesaplama: Bulduğumuz zaman değerini \( t = 2 \) fonksiyonunda yerine koyarak maksimum yüksekliği buluruz.
\[ h(2) = -5(2)^2 + 20(2) \] \[ h(2) = -5(4) + 40 \] \[ h(2) = -20 + 40 \] \[ h(2) = 20 \] Top, havadaki kalma süresi boyunca 20 metre maksimum yüksekliğe ulaşabilir. 🚀

Bu problemde, depocunun elde edeceği geliri bir karesel fonksiyon olarak modelleyip, bu fonksiyonun maksimum değerini bulmamız gerekiyor. 1. Değişkenleri Tanımlama: * Başlangıç ürün sayısı: 100 adet * Başlangıç satış fiyatı: 10 TL * Her 1 TL'lik fiyat artışında azalan ürün sayısı: 2 adet * Fiyat artışı miktarı: \( x \) TL olsun. 2. Ürün Sayısı ve Satış Fiyatı Fonksiyonlarını Oluşturma: * Satış fiyatı: \( P(x) = 10 + x \) (TL) * Satılan ürün sayısı: \( Q(x) = 100 - 2x \) (adet) 3. Gelir Fonksiyonunu Oluşturma: Toplam gelir, satış fiyatı ile satılan ürün sayısının çarpımıdır.
\( G(x) = P(x) \times Q(x) \) \( G(x) = (10 + x)(100 - 2x) \) Bu ifadeyi açalım:
\( G(x) = 10 \times 100 + 10 \times (-2x) + x \times 100 + x \times (-2x) \) \( G(x) = 1000 - 20x + 100x - 2x^2 \) \( G(x) = -2x^2 + 80x + 1000 \) 4. Maksimum Geliri Sağlayan Fiyatı Bulma: Gelir fonksiyonu \( G(x) \) karesel bir fonksiyondur ve grafiği aşağı doğru açılan bir paraboldür (çünkü \( x^2 \)'nin katsayısı negatiftir). Maksimum gelir, bu parabolün tepe noktasında elde edilir. Tepe noktasının \( x \)-koordinatı, fiyat artışı miktarını verir.
\( x = -\frac{b}{2a} \) formülünü kullanalım, burada \( a = -2 \) ve \( b = 80 \).
\[ x = -\frac{80}{2 \times (-2)} = -\frac{80}{-4} = 20 \] Bu, fiyatın 20 TL artırılması gerektiğini gösterir. 5. Maksimum Geliri Sağlayan Satış Fiyatını Hesaplama:
Satış Fiyatı = Başlangıç Fiyatı + Fiyat Artışı
Satış Fiyatı = \( 10 + x = 10 + 20 = 30 \) TL Depocunun elde edeceği toplam gelirin maksimum olmasını sağlayan satış fiyatı 30 TL'dir. 📈

Bu soruda, karesel fonksiyonun tepe noktasının hem fonksiyonun denklemi hem de verilen doğrunun denklemi tarafından belirlendiği bilgisi kullanılacaktır. 1. Fonksiyonun Tepe Noktasının Koordinatlarını Bulma: Verilen fonksiyon \( f(x) = x^2 - 6x + k \). Bu fonksiyonun tepe noktasının \( x \)-koordinatı şu formülle bulunur:
\[ x_T = -\frac{b}{2a} \] Burada \( a = 1 \) ve \( b = -6 \)'dır.
\[ x_T = -\frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 \] Tepe noktasının \( y \)-koordinatını bulmak için, \( x_T = 3 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız:
\[ y_T = f(3) = (3)^2 - 6(3) + k \] \[ y_T = 9 - 18 + k \] \[ y_T = -9 + k \] Dolayısıyla, tepe noktasının koordinatları \( T(3, -9 + k) \)'dır. 2. Tepe Noktasının Doğru Üzerinde Olmasını Kullanma: Tepe noktası \( T(3, -9 + k) \), \( y = -x + 5 \) doğrusu üzerindedir. Bu, tepe noktasının koordinatlarının doğru denkleminde sağlanacağı anlamına gelir. Tepe noktasının \( x \) ve \( y \) değerlerini doğru denkleminde yerine koyalım: \( y_T = -x_T + 5 \)
\[ -9 + k = -(3) + 5 \] \[ -9 + k = -3 + 5 \] \[ -9 + k = 2 \] 3. k Değerini Hesaplama: Denklemdeki \( k \) değerini yalnız bırakarak çözeriz.
\[ k = 2 + 9 \] \[ k = 11 \] Bu karesel fonksiyon için \( k \) değeri 11'dir. 💯

Tepe noktası, karesel fonksiyonun grafiğinin en yüksek veya en alçak noktasıdır. Bu noktanın koordinatlarını bulmak için standart formülleri kullanacağız. 1. Tepe Noktasının x-Koordinatını Hesaplama: Bir \( ax^2 + bx + c \) şeklindeki karesel fonksiyon için tepe noktasının \( x \)-koordinatı şu formülle bulunur: \( x_T = -\frac{b}{2a} \).
Verilen fonksiyonda \( g(x) = 2x^2 + 4x - 1 \), katsayılar \( a = 2 \), \( b = 4 \) ve \( c = -1 \)'dir.
\[ x_T = -\frac{4}{2 \times 2} = -\frac{4}{4} = -1 \] 2. Tepe Noktasının y-Koordinatını Hesaplama: Tepe noktasının \( y \)-koordinatını bulmak için, hesapladığımız \( x_T = -1 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( y_T = g(x_T) \).
\[ y_T = g(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) - 1 \] \[ y_T = 2(1) - 4 - 1 \] \[ y_T = 2 - 4 - 1 \] \[ y_T = -3 \] Tepe noktasının koordinatları \( (-1, -3) \)'tür. 👇

Bu problemde, köprü kemerinin şeklini veren karesel fonksiyonun denklemini, verilen geometrik bilgilere dayanarak oluşturacağız. 1. Koordinat Sistemini Belirleme: Köprünün ayaklarını \( x \)-ekseni üzerinde ve kemerin simetri eksenini \( y \)-ekseni üzerinde kabul edelim. Bu durumda tepe noktası \( y \)-ekseni üzerinde olacaktır. 2. Tepe Noktasını Belirleme: Kemerin en yüksek noktası (tepe noktası) yerden 50 metre yüksekliktedir ve köprünün ayaklarının tam ortasındadır. Simetri eksenini \( y \)-ekseni kabul ettiğimiz için tepe noktasının \( x \)-koordinatı 0'dır. Dolayısıyla tepe noktası \( T(0, 50) \)'dir. 3. Fonksiyonun Tepe Noktası Formunu Kullanma: Tepe noktası \( (h, k) \) olan bir karesel fonksiyonun denklemi \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) şeklindedir. Tepe noktamız \( T(0, 50) \) olduğuna göre, \( h = 0 \) ve \( k = 50 \)'dir. Denklemimiz şu hale gelir:
\( f(x) = a(x - 0)^2 + 50 \) \( f(x) = ax^2 + 50 \) 4. Köprü Ayaklarının Konumunu Kullanma: Köprünün ayakları arasındaki mesafe 200 metredir ve bu ayaklar \( x \)-ekseni üzerindedir. Simetri ekseni \( y \)-ekseni olduğundan, ayaklar \( x = -100 \) ve \( x = 100 \) noktalarında yer alır. Bu noktalarda kemerin yüksekliği 0'dır (ayakların yerden yüksekliği 0 kabul edildiği için). Bu bilgiyi kullanarak 'a' katsayısını bulabiliriz. \( x = 100 \) iken \( f(x) = 0 \) olmalıdır.
\( 0 = a(100)^2 + 50 \) \( 0 = 10000a + 50 \) 5. 'a' Katsayısını Hesaplama:
\( -50 = 10000a \) \[ a = -\frac{50}{10000} = -\frac{1}{200} \] 6. Fonksiyon Denklemini Yazma: Bulduğumuz 'a' değerini denklemde yerine koyalım.
\( f(x) = -\frac{1}{200}x^2 + 50 \) Köprü kemerinin şeklini veren karesel fonksiyonun denklemi \( f(x) = -\frac{1}{200}x^2 + 50 \)'dir. 🏗️

Bir fonksiyonun grafiğinin geçtiği noktayı bulmak için, o noktanın koordinatlarını fonksiyonda yerine koyduğumuzda denklemin sağlanması gerekir. Yani, noktanın \( x \) ve \( y \) değerleri fonksiyonun \( x \) ve \( f(x) \) değerlerini vermelidir. 1. Seçenekleri Kontrol Etme: Genellikle bu tür sorularda şıklardan gidilir. Ancak şıklar verilmediği için, fonksiyona uygun birkaç nokta deneyebiliriz. Bir noktanın grafikten geçip geçmediğini anlamak için, noktanın \( x \) değerini fonksiyonda yerine koyup elde ettiğimiz \( y \) değerinin, noktanın \( y \) değeriyle aynı olup olmadığını kontrol ederiz. 2. Örnek Bir Nokta Deneme: Örneğin, \( x = 2 \) noktasını deneyelim.
\( h(2) = -(2)^2 + 8 \) \( h(2) = -4 + 8 \) \( h(2) = 4 \) Bu durumda, \( x = 2 \) iken \( y = 4 \) olmalıdır. Yani, fonksiyon (2, 4) noktasından geçer. 3. Başka Bir Örnek Nokta Deneme: Şimdi \( x = 0 \) noktasını deneyelim.
\( h(0) = -(0)^2 + 8 \) \( h(0) = 0 + 8 \) \( h(0) = 8 \) Bu durumda, \( x = 0 \) iken \( y = 8 \) olmalıdır. Yani, fonksiyon (0, 8) noktasından geçer. Bu nokta aynı zamanda \( y \)-eksenini kestiği noktadır. Örnek olarak, bu karesel fonksiyon (2, 4) ve (0, 8) gibi noktalardan geçer. 📍

Bu soruda, karesel fonksiyonun kökleri ve tepe noktasının bir koordinatı verilmiş. Bu bilgilerle fonksiyonun denklemini oluşturacağız. 1. Kökler Formunu Kullanma: Kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) olan bir karesel fonksiyon, \( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \) şeklinde yazılabilir. Verilen kökler \( x_1 = -3 \) ve \( x_2 = 5 \)'tir.
\[ f(x) = a(x - (-3))(x - 5) \] \[ f(x) = a(x + 3)(x - 5) \] 2. Tepe Noktasının x-Koordinatını Bulma: Kökleri bilinen bir parabolün tepe noktasının \( x \)-koordinatı, köklerin ortalamasıdır.
\[ x_T = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] 3. Tepe Noktasının y-Koordinatını Kullanarak 'a'yı Bulma: Tepe noktasının \( x \)-koordinatını \( x_T = 1 \) olarak bulduk. Soruda tepe noktasının \( y \)-koordinatının 8 olduğu verilmiş. Yani, \( f(1) = 8 \) olmalıdır.
Bu bilgiyi kökler formundaki denklemimizde yerine koyalım:
\[ f(1) = a(1 + 3)(1 - 5) = 8 \] \[ a(4)(-4) = 8 \] \[ -16a = 8 \] \[ a = \frac{8}{-16} = -\frac{1}{2} \] 4. Fonksiyon Denklemini Yazma: Bulduğumuz \( a = -\frac{1}{2} \) değerini kökler formundaki denklemimize yerleştirelim.
\[ f(x) = -\frac{1}{2}(x + 3)(x - 5) \] İsteğe bağlı olarak bu denklemi standart \( ax^2 + bx + c \) formuna da getirebiliriz:
\[ f(x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 5x + 3x - 15) \] \[ f(x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x - 15) \] \[ f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{15}{2} \] Karesel fonksiyonun denklemi \( f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{15}{2} \)'dir. ✨

Bu problem, fiziksel bir olayın (topun atılması) matematiksel bir modelle (karesel fonksiyon) açıklanmasını içerir. Topun yörüngesi, başlangıç hızına, atış açısına ve yerçekimine bağlıdır. Bu problemde, topun geçtiği belirli noktaları kullanarak karesel fonksiyonun denklemini bulacağız. 1. Topun Yörüngesinin Temel Formülü: Bir cismin atış hareketi, yerçekimi ivmesi \( g \), başlangıç hızı \( v_0 \) ve atış açısı \( \theta \) ile şu şekilde modellenebilir: \[ y = (\tan \theta) x - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \theta} x^2 \] Bu formül \( y = ax^2 + bx + c \) formundadır. Burada \( c = 0 \) çünkü top başlangıçta yerden atılır (\( x = 0 \) iken \( y = 0 \)). 2. Verilen Değerleri Yerine Koyma: * \( v_0 = 10 \, m/s \) * \( \theta = 30^\circ \) * \( g = 10 \, m/s^2 \) * \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \) * \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), dolayısıyla \( \cos^2(30^\circ) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \) 3. Katsayıları Hesaplama: * \( b = \tan \theta = \tan(30^\circ) \approx 0.577 \) * \( a = -\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \theta} = -\frac{10}{2 \times (10)^2 \times \frac{3}{4}} = -\frac{10}{2 \times 100 \times \frac{3}{4}} = -\frac{10}{200 \times \frac{3}{4}} = -\frac{10}{150} = -\frac{1}{15} \approx -0.067 \) Şu ana kadar fonksiyonumuz \( y \approx -0.067x^2 + 0.577x \) şeklindedir. 4. Potanın Konumunu Kullanarak Denklemi Ayarlama: Potanın yüksekliği 3 metre ve yatay mesafesi 8 metredir. Yani, topun \( x = 8 \) iken \( y = 3 \) olması gerekir. Bu bilgiyi kullanarak denklemimizi daha hassas hale getirebiliriz. \( 3 = a(8)^2 + b(8) \) \( 3 = 64a + 8b \) Ayrıca, topun atıldığı nokta \( (0, 0) \) olduğundan, \( c = 0 \)'dır. \( y = ax^2 + bx \) Şimdi elimizde iki denklem var: (1) \( y = ax^2 + bx \) (Genel form) (2) \( 3 = 64a + 8b \) (Potanın konumu) Yukarıdaki fiziksel yörünge formülünden elde ettiğimiz yaklaşık değerleri ( \( a \approx -0.067 \), \( b \approx 0.577 \) ) denklem (2)'de yerine koyarak kontrol edelim: \( 64(-0.067) + 8(0.577) \approx -4.288 + 4.616 \approx 0.328 \) Bu değer 3'ten oldukça farklı. Bu, fiziksel formülün basitleştirilmiş bir model olduğunu ve gerçek yörüngenin tam olarak bu formülle uyuşmayabileceğini gösterir. Bu nedenle, potanın konumunu kullanarak 'a' ve 'b'yi doğrudan bulmak daha doğru olacaktır. Ancak, bu problemde genellikle topun geçtiği üç nokta (başlangıç noktası, tepe noktası veya bir ara nokta, ve hedef nokta) verilerek denklem bulunur. Burada sadece iki nokta (başlangıç \( (0,0) \) ve pota \( (8,3) \)) ve atış açısı/hızı bilgisi var. Bu durumda, atış bilgilerini kullanarak \( b \) değerini (eğim) yaklaşık olarak bulup, pota noktasını kullanarak \( a \) değerini bulmak mantıklı bir yaklaşımdır. \( b \approx \tan(30^\circ) \approx 0.577 \) kabul edelim. Şimdi \( y = ax^2 + 0.577x \) denkleminde \( (8, 3) \) noktasını kullanalım: \( 3 = a(8)^2 + 0.577(8) \) \( 3 = 64a + 4.616 \) \( 3 - 4.616 = 64a \) \( -1.616 = 64a \) \[ a = \frac{-1.616}{64} \approx -0.02525 \] Bu durumda karesel fonksiyonun denklemi yaklaşık olarak: \[ y \approx -0.025x^2 + 0.577x \] Bu karesel fonksiyonun denklemi yaklaşık olarak \( y = -0.025x^2 + 0.577x \)'tir. 🏀