💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyonlar Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler

Bir karesel fonksiyonun genel formu \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindedir. Parabolün kolları, \( x^2 \) teriminin katsayısı olan \( a \) değerine göre yön belirler. 📈

• Eğer \( a > 0 \) ise parabolün kolları yukarı doğrudur. (U şekli)
• Eğer \( a < 0 \) ise parabolün kolları aşağı doğrudur. (Ters U şekli)

Şimdi verilen fonksiyonları inceleyelim:

• ✅ a) \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \)
  Burada \( a = 2 \)'dir. \( 2 > 0 \) olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur.
• ✅ b) \( g(x) = -x^2 + 3x - 5 \)
  Burada \( a = -1 \)'dir. \( -1 < 0 \) olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur.
• ✅ c) \( h(x) = 0.5x^2 + 7 \)
  Burada \( a = 0.5 \)'tir. \( 0.5 > 0 \) olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur.

Bir parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaları bulmak için iki farklı durumu incelememiz gerekir:

• 👉 Y eksenini kestiği nokta:
  Y eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) yazılır. \[ f(0) = (0)^2 - 5(0) + 6 \] \[ f(0) = 6 \] Yani parabol y eksenini \( (0, 6) \) noktasında keser. ✅


• 👉 X eksenini kestiği noktalar:
  X eksenini kestiği noktaları bulmak için \( f(x) = 0 \) denklemini çözmemiz gerekir. \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz: \[ (x - 2)(x - 3) = 0 \] Buradan \( x - 2 = 0 \) ise \( x = 2 \) veya \( x - 3 = 0 \) ise \( x = 3 \) bulunur. Yani parabol x eksenini \( (2, 0) \) ve \( (3, 0) \) noktalarında keser. ✅

Bir karesel fonksiyonun genel formu \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindedir. Tepe noktası \( V(r, k) \) ile gösterilir ve simetri ekseni \( x = r \) doğrusudur.

• 👉 \( r \) değerini bulma:
  \( r \) değeri \( \frac{-b}{2a} \) formülü ile bulunur. Verilen fonksiyon \( f(x) = x^2 + 4x - 3 \) olduğundan, \( a = 1 \), \( b = 4 \) ve \( c = -3 \)'tür. \[ r = \frac{-4}{2(1)} = \frac{-4}{2} = -2 \] Simetri ekseni \( x = -2 \) doğrusudur. ✅


• 👉 \( k \) değerini bulma:
  \( k \) değeri, \( r \) değerini fonksiyonda yerine yazarak bulunur: \( k = f(r) \). \[ k = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 3 \] \[ k = 4 - 8 - 3 \] \[ k = -7 \] Tepe noktasının koordinatları \( V(-2, -7) \)'dir. ✅

Bir karesel fonksiyonun alabileceği en büyük veya en küçük değer, parabolün tepe noktasının y koordinatı olan \( k \) değeridir.

Fonksiyonun genel formu \( f(x) = ax^2 + bx + c \) olduğunda:

• Eğer \( a > 0 \) ise parabolün kolları yukarı doğrudur ve tepe noktasında bir en küçük değer alır.
• Eğer \( a < 0 \) ise parabolün kolları aşağı doğrudur ve tepe noktasında bir en büyük değer alır.

Verilen fonksiyon \( f(x) = -2x^2 + 8x + 1 \)'dir. Burada \( a = -2 \)'dir.
\( a < 0 \) olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur ve fonksiyonun bir en büyük değeri vardır. Bu değer tepe noktasının y koordinatı olan \( k \)'dir.

Önce \( r \) değerini bulalım: \[ r = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{2(-2)} = \frac{-8}{-4} = 2 \] Şimdi \( r = 2 \) değerini fonksiyonda yerine yazarak \( k \) değerini (en büyük değeri) bulalım: \[ k = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) + 1 \] \[ k = -2(4) + 16 + 1 \] \[ k = -8 + 16 + 1 \] \[ k = 9 \] Buna göre, \( f(x) \) karesel fonksiyonunun alabileceği en büyük değer 9'dur. ✅

Tepe noktası \( V(r, k) \) bilinen bir parabolün denklemi genellikle \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) şeklinde yazılır.

Verilen bilgilere göre:

• Tepe noktası \( V(1, 4) \) olduğundan \( r = 1 \) ve \( k = 4 \)'tür.
• Fonksiyon \( (0, 3) \) noktasından geçmektedir, yani \( f(0) = 3 \)'tür.

Şimdi bu değerleri genel denklemde yerine yazalım: \[ f(x) = a(x - 1)^2 + 4 \] Fonksiyonun \( (0, 3) \) noktasından geçtiğini kullanarak \( a \) değerini bulalım: \[ 3 = a(0 - 1)^2 + 4 \] \[ 3 = a(-1)^2 + 4 \] \[ 3 = a(1) + 4 \] \[ 3 = a + 4 \] Şimdi \( a \) değerini yalnız bırakalım: \[ a = 3 - 4 \] \[ a = -1 \] Bulduğumuz \( a \) değerini denklemde yerine yazarak karesel fonksiyonun denklemini elde ederiz: \[ f(x) = -1(x - 1)^2 + 4 \] \[ f(x) = -(x^2 - 2x + 1) + 4 \] \[ f(x) = -x^2 + 2x - 1 + 4 \] \[ f(x) = -x^2 + 2x + 3 \] Buna göre, istenen karesel fonksiyonun denklemi \( f(x) = -x^2 + 2x + 3 \)'tür. ✅

X eksenini kestiği noktaları \( (x_1, 0) \) ve \( (x_2, 0) \) olan bir parabolün denklemi genellikle \( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \) şeklinde yazılır.

Verilen bilgilere göre:

• X eksenini \( (-1, 0) \) ve \( (3, 0) \) noktalarında kestiğinden \( x_1 = -1 \) ve \( x_2 = 3 \)'tür.
• Fonksiyon \( (0, 6) \) noktasından geçmektedir, yani \( f(0) = 6 \)'dır.

Şimdi bu değerleri genel denklemde yerine yazalım: \[ f(x) = a(x - (-1))(x - 3) \] \[ f(x) = a(x + 1)(x - 3) \] Fonksiyonun \( (0, 6) \) noktasından geçtiğini kullanarak \( a \) değerini bulalım: \[ 6 = a(0 + 1)(0 - 3) \] \[ 6 = a(1)(-3) \] \[ 6 = -3a \] Şimdi \( a \) değerini yalnız bırakalım: \[ a = \frac{6}{-3} \] \[ a = -2 \] Bulduğumuz \( a \) değerini denklemde yerine yazarak karesel fonksiyonun denklemini elde ederiz: \[ f(x) = -2(x + 1)(x - 3) \] Parantezleri açalım: \[ f(x) = -2(x^2 - 3x + x - 3) \] \[ f(x) = -2(x^2 - 2x - 3) \] \[ f(x) = -2x^2 + 4x + 6 \] Buna göre, istenen karesel fonksiyonun denklemi \( f(x) = -2x^2 + 4x + 6 \)'dır. ✅

Bu bir optimizasyon problemidir ve karesel fonksiyonlar yardımıyla çözülebilir.

• 1️⃣ Değişkenleri tanımlama:
  Dikdörtgenin duvar olmayan iki kısa kenarına \( x \) metre diyelim. Uzun kenarına ise \( y \) metre diyelim.


• 2️⃣ Çevre ve alan bağıntılarını kurma:
  Tel çitin toplam uzunluğu 20 metredir. Duvar kenarına çit çekilmediği için iki kısa kenar ve bir uzun kenar çit ile çevrilecektir. \[ 2x + y = 20 \] Bahçenin alanı \( A = x \cdot y \) formülüyle bulunur.


• 3️⃣ Alan fonksiyonunu tek değişkene indirme:
  Çevre denkleminden \( y \)'yi çekerek alan denkleminde yerine yazalım: \[ y = 20 - 2x \] Şimdi bu \( y \) ifadesini alan denklemine yerleştirelim: \[ A(x) = x(20 - 2x) \] \[ A(x) = 20x - 2x^2 \] Bu ifadeyi standart karesel fonksiyon formunda yazarsak: \[ A(x) = -2x^2 + 20x \] Bu bir karesel fonksiyondur ve \( a = -2 \), \( b = 20 \), \( c = 0 \)'dır.


• 4️⃣ Maksimum alanı bulma:
  \( a = -2 < 0 \) olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur ve tepe noktasında bir maksimum değer alır. Bu maksimum değer, tepe noktasının y koordinatı olan \( k \)'dir. Önce \( r \) değerini bulalım: \[ r = \frac{-b}{2a} = \frac{-20}{2(-2)} = \frac{-20}{-4} = 5 \] Şimdi \( r = 5 \) değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak maksimum alanı (k değerini) bulalım: \[ A_{max} = A(5) = -2(5)^2 + 20(5) \] \[ A_{max} = -2(25) + 100 \] \[ A_{max} = -50 + 100 \] \[ A_{max} = 50 \] Buna göre, bahçenin alanı en fazla 50 metrekare olabilir. ✅

Bu problem, bir karesel fonksiyonun tepe noktasının bulunmasıyla çözülür. Fonksiyon \( h(t) = -5t^2 + 20t \) şeklindedir. Burada \( a = -5 \), \( b = 20 \) ve \( c = 0 \)'dır.

• 👉 a) Topun yerden maksimum yüksekliği kaç metredir?
  Fonksiyonun \( a = -5 \) katsayısı negatif olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur ve tepe noktasında bir maksimum değer alır. Bu maksimum değer, tepe noktasının y koordinatı olan \( k \)'dir. Önce \( r \) (yani burada \( t \)) değerini bulalım: \[ t = \frac{-b}{2a} = \frac{-20}{2(-5)} = \frac{-20}{-10} = 2 \] Bu \( t \) değeri, topun maksimum yüksekliğe ulaştığı zamandır. Şimdi bu \( t = 2 \) saniye değerini yükseklik fonksiyonunda yerine yazarak maksimum yüksekliği (\( k \) değerini) bulalım: \[ h_{max} = h(2) = -5(2)^2 + 20(2) \] \[ h_{max} = -5(4) + 40 \] \[ h_{max} = -20 + 40 \] \[ h_{max} = 20 \] Topun yerden maksimum yüksekliği 20 metredir. ✅


• 👉 b) Top maksimum yüksekliğe kaç saniyede ulaşır?
  Yukarıdaki hesaplamada \( r \) değerini bulurken, bu değerin maksimum yüksekliğe ulaşılan zaman olduğunu belirtmiştik. \[ t = \frac{-b}{2a} = \frac{-20}{2(-5)} = 2 \] Top maksimum yüksekliğe 2 saniyede ulaşır. ✅