🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyon Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyon Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\(f(x) = 3x^2 - 5x + 7\) karesel fonksiyonu için a, b ve c katsayılarını belirleyip, parabolün yönünü açıklayınız. 🎯
Çözüm:
- 👉 Bir karesel fonksiyonun genel formu \(f(x) = ax^2 + bx + c\) şeklindedir.
- ✅ Verilen fonksiyon \(f(x) = 3x^2 - 5x + 7\) olduğundan:
- a katsayısı: \(x^2\) teriminin önündeki sayıdır. Bu durumda \(a = 3\)'tür.
- b katsayısı: \(x\) teriminin önündeki sayıdır. Bu durumda \(b = -5\)'tir.
- c katsayısı: Sabit terimdir. Bu durumda \(c = 7\)'dir.
- 📌 Parabolün yönü a katsayısına bağlıdır.
- Eğer \(a > 0\) ise parabolün kolları yukarı doğrudur.
- Eğer \(a < 0\) ise parabolün kolları aşağı doğrudur.
- Bu örnekte \(a = 3\) ve \(3 > 0\) olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur. ⬆️
Örnek 2:
\(f(x) = x^2 - 6x + 5\) karesel fonksiyonunun tepe noktasının koordinatlarını ve simetri ekseninin denklemini bulunuz. 🤔
Çözüm:
- 💡 Bir karesel fonksiyonun tepe noktası \(T(r, k)\) ile gösterilir.
- r değeri \(r = \frac{-b}{2a}\) formülü ile bulunur.
- k değeri ise \(k = f(r)\) formülü ile bulunur.
- Verilen fonksiyon \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) ise, \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\)'tir.
- 👉 Öncelikle r değerini hesaplayalım:
- \[r = \frac{-(-6)}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3\]
- 👉 Şimdi k değerini hesaplayalım:
- \[k = f(3) = (3)^2 - 6(3) + 5\]
- \[k = 9 - 18 + 5\]
- \[k = -9 + 5 = -4\]
- ✅ Yani, tepe noktasının koordinatları \(T(3, -4)\)'tür.
- 📌 Simetri ekseni, tepe noktasından geçen ve y eksenine paralel olan doğrudur. Denklemi \(x = r\) şeklindedir.
- Bu durumda simetri ekseninin denklemi \(x = 3\)'tür. ✨
Örnek 3:
\(f(x) = x^2 + 2x - 3\) karesel fonksiyonunun y eksenini kestiği noktayı ve x eksenini kestiği noktaları (varsa) bulunuz. ✂️
Çözüm:
- 💡 Bir fonksiyonun y eksenini kestiği noktayı bulmak için \(x = 0\) yazılır.
- \[f(0) = (0)^2 + 2(0) - 3\]
- \[f(0) = -3\]
- ✅ Fonksiyon y eksenini \((0, -3)\) noktasında keser.
- 💡 Bir fonksiyonun x eksenini kestiği noktaları bulmak için \(f(x) = 0\) denklemi çözülür.
- \[x^2 + 2x - 3 = 0\]
- Bu denklemi çarpanlara ayırma yöntemiyle çözebiliriz:
- \[(x + 3)(x - 1) = 0\]
- Buradan iki farklı kök elde ederiz:
- \[x + 3 = 0 \implies x_1 = -3\]
- \[x - 1 = 0 \implies x_2 = 1\]
- ✅ Fonksiyon x eksenini \((-3, 0)\) ve \((1, 0)\) noktalarında keser. 📊
Örnek 4:
\(f(x) = -2x^2 - 8x + 1\) karesel fonksiyonunun alabileceği en büyük veya en küçük değeri bulunuz. Bu değerin hangi x noktasında alındığını belirtiniz. 📈📉
Çözüm:
- 💡 Karesel bir fonksiyonun alabileceği en büyük veya en küçük değer, parabolün tepe noktasının y koordinatıdır (\(k\)).
- Fonksiyon \(f(x) = ax^2 + bx + c\) formunda iken, eğer \(a > 0\) ise parabolün kolları yukarı doğrudur ve fonksiyonun bir en küçük değeri vardır.
- Eğer \(a < 0\) ise parabolün kolları aşağı doğrudur ve fonksiyonun bir en büyük değeri vardır.
- Verilen fonksiyon \(f(x) = -2x^2 - 8x + 1\) olduğundan, \(a = -2\)'dir.
- \(a < 0\) olduğu için bu fonksiyonun bir en büyük değeri vardır.
- 👉 Öncelikle tepe noktasının x koordinatını (\(r\)) bulalım:
- \[r = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2 \times (-2)} = \frac{8}{-4} = -2\]
- 👉 Şimdi bu x değerini fonksiyonda yerine koyarak y koordinatını (\(k\)) yani en büyük değeri bulalım:
- \[k = f(-2) = -2(-2)^2 - 8(-2) + 1\]
- \[k = -2(4) + 16 + 1\]
- \[k = -8 + 16 + 1\]
- \[k = 9\]
- ✅ Fonksiyonun alabileceği en büyük değer 9'dur ve bu değer \(x = -2\) noktasında alınır. 🎉
Örnek 5:
\(f(x) = x^2 - 4x + m - 1\) karesel fonksiyonunun x eksenini farklı iki noktada kesmesi için m değeri hangi aralıkta olmalıdır? 🤔
Çözüm:
- 💡 Bir karesel fonksiyonun x eksenini farklı iki noktada kesmesi için diskriminantın (\(\Delta\)) sıfırdan büyük olması gerekir.
- Diskriminant formülü \(\Delta = b^2 - 4ac\)'dir.
- Verilen fonksiyon \(f(x) = x^2 - 4x + m - 1\) ise, \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = m - 1\)'dir.
- 👉 Diskriminantı hesaplayalım:
- \[\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times (m - 1)\]
- \[\Delta = 16 - 4(m - 1)\]
- \[\Delta = 16 - 4m + 4\]
- \[\Delta = 20 - 4m\]
- 👉 Fonksiyonun x eksenini farklı iki noktada kesmesi için \(\Delta > 0\) olmalıdır.
- \[20 - 4m > 0\]
- \[20 > 4m\]
- Her iki tarafı 4'e bölelim:
- \[5 > m\] veya \(m < 5\)
- ✅ Buna göre, m değeri \(m < 5\) aralığında olmalıdır. Bu da \((-\infty, 5)\) aralığına denk gelir. 🚀
Örnek 6:
Aşağıda grafiği verilen \(y = ax^2 + bx + c\) parabolü için a, b ve c katsayılarının işaretlerini belirleyiniz.
(Parabolün kolları aşağı doğru, y eksenini pozitif tarafta kesiyor ve tepe noktası y ekseninin sağında yer alıyor.) 📊
(Parabolün kolları aşağı doğru, y eksenini pozitif tarafta kesiyor ve tepe noktası y ekseninin sağında yer alıyor.) 📊
Çözüm:
- 📌 a'nın İşareti: Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan a < 0'dır. (Kollar yukarı olsaydı \(a > 0\) olurdu.)
- 📌 c'nin İşareti: Parabolün y eksenini kestiği nokta \(x=0\) için \(y=c\) değeridir. Grafik y eksenini pozitif tarafta kestiği için c > 0'dır.
- 📌 b'nin İşareti: Tepe noktasının x koordinatı \(r = \frac{-b}{2a}\) formülü ile bulunur.
- Grafikte tepe noktası y ekseninin sağında yer aldığından \(r > 0\)'dır.
- Yani \(\frac{-b}{2a} > 0\) olmalıdır.
- Biz a < 0 olduğunu biliyoruz (negatif). Bu durumda \(2a\) da negatif olacaktır.
- \(\frac{-b}{\text{negatif}} > 0\) eşitsizliğinin sağlanması için \(-b\) teriminin de negatif olması gerekir.
- Eğer \(-b < 0\) ise, her iki tarafı \(-1\) ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir: \(b > 0\).
- ✅ Sonuç olarak: a < 0, b > 0, c > 0'dır. ✨
Örnek 7:
Bir çiftçi, 100 metre uzunluğundaki tel örgüyü kullanarak dikdörtgen şeklinde bir tarla etrafına çit çekmek istiyor. Tarlanın alanının en büyük olması için dikdörtgenin kenar uzunlukları ne olmalıdır ve bu durumda maksimum alan kaç metrekare olur? 🌾
Çözüm:
- 💡 Dikdörtgenin kenar uzunlukları x ve y olsun.
- Çevre uzunluğu 100 metre olduğuna göre, \(2x + 2y = 100\)'dür.
- Bu denklemi basitleştirirsek \(x + y = 50\) elde ederiz. Buradan \(y = 50 - x\) diyebiliriz.
- Tarlanın alanı \(A = x \times y\) formülüyle bulunur.
- 👉 y yerine \(50 - x\) yazarak alanı x cinsinden bir karesel fonksiyon olarak ifade edelim:
- \[A(x) = x \times (50 - x)\]
- \[A(x) = 50x - x^2\]
- Bu bir karesel fonksiyondur: \(A(x) = -x^2 + 50x\). Burada \(a = -1\), \(b = 50\), \(c = 0\)'dır.
- \(a < 0\) olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur, yani bir maksimum alan değeri vardır.
- Bu maksimum değer, fonksiyonun tepe noktasının x koordinatında alınır.
- 👉 Tepe noktasının x koordinatını (\(r\)) bulalım:
- \[r = \frac{-b}{2a} = \frac{-50}{2 \times (-1)} = \frac{-50}{-2} = 25\]
- Yani, dikdörtgenin bir kenar uzunluğu \(x = 25\) metre olmalıdır.
- 👉 Diğer kenar uzunluğu y'yi bulalım:
- \[y = 50 - x = 50 - 25 = 25\] metre.
- ✅ Alanın en büyük olması için dikdörtgenin kenar uzunlukları 25 metreye 25 metre, yani bir kare olmalıdır.
- 👉 Maksimum alanı hesaplayalım:
- \[A_{maks} = A(25) = 25 \times (50 - 25) = 25 \times 25 = 625\] metrekare.
- ✅ Maksimum alan 625 metrekare olur. 🚜
Örnek 8:
Bir lunaparktaki hız treninin rayının yerden yüksekliği metre cinsinden \(h(x) = -x^2 + 10x - 16\) fonksiyonu ile modellenmiştir. Burada \(x\) yataydaki uzaklığı (metre cinsinden) göstermektedir.
Buna göre, hız treninin rayının yerden en yüksek noktasının kaç metre olduğunu ve bu yüksekliğe ulaşmak için yatayda kaç metre ilerlemesi gerektiğini bulunuz. 🎢
Buna göre, hız treninin rayının yerden en yüksek noktasının kaç metre olduğunu ve bu yüksekliğe ulaşmak için yatayda kaç metre ilerlemesi gerektiğini bulunuz. 🎢
Çözüm:
- 💡 Verilen fonksiyon \(h(x) = -x^2 + 10x - 16\) bir karesel fonksiyondur.
- Bu fonksiyonda \(a = -1\), \(b = 10\), \(c = -16\)'dır.
- \(a < 0\) olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur ve fonksiyonun bir en büyük değeri vardır. Bu en büyük değer, hız treninin rayının yerden en yüksek noktasını temsil eder.
- 👉 En yüksek noktaya ulaşmak için yatayda ilerlemesi gereken uzaklık, tepe noktasının x koordinatıdır (\(r\)).
- \[r = \frac{-b}{2a} = \frac{-10}{2 \times (-1)} = \frac{-10}{-2} = 5\]
- ✅ Yani, hız treni yatayda 5 metre ilerlediğinde en yüksek noktasına ulaşır.
- 👉 Rayın yerden en yüksek noktasını (maksimum yüksekliği) bulmak için x = 5 değerini fonksiyonda yerine koyarız:
- \[h(5) = -(5)^2 + 10(5) - 16\]
- \[h(5) = -25 + 50 - 16\]
- \[h(5) = 25 - 16\]
- \[h(5) = 9\]
- ✅ Hız treninin rayının yerden en yüksek noktası 9 metredir. ✨
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-gercek-sayilarda-tanimli-karesel-fonksiyon-ve-nitel-ozellikleri/sorular