📄 10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyon Ve Nitel Özellikleri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Fonksiyonumuz \(f(x) = x^2 - 8x + 12\) şeklindedir. Burada \(a = 1\), \(b = -8\) ve \(c = 12\)'dir.
1. Tepe Noktasının Apsisi (r):
\(r = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2 \times 1} = \frac{8}{2} = 4\)
2. Tepe Noktasının Ordinatı (k):
\(k = f(r) = f(4) = (4)^2 - 8(4) + 12 = 16 - 32 + 12 = -4\)
Bu durumda tepe noktasının koordinatları \((4, -4)\)'tür.
3. x-eksenini Kestiği Noktalar:
x-eksenini kestiği noktaları bulmak için \(f(x) = 0\) denklemini çözeriz:
\(x^2 - 8x + 12 = 0\)
Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz:
\((x - 2)(x - 6) = 0\)
Buradan \(x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2\) ve \(x - 6 = 0 \Rightarrow x_2 = 6\) bulunur.
Parabol x-eksenini \((2, 0)\) ve \((6, 0)\) noktalarında keser.

💡 Çözüm Adımları:

Fonksiyonumuz \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\) şeklindedir. Burada \(a = -1\), \(b = 6\) ve \(c = -5\)'tir.
Bir karesel fonksiyonun \(a\) katsayısı negatif (\(a < 0\)) olduğunda, parabolün kolları aşağı doğru açılır. Bu durumda parabolün bir en yüksek noktası vardır ve bu nokta tepe noktasıdır. Dolayısıyla fonksiyon alabileceği en büyük değeri tepe noktasının ordinatında alır.
1. Tepe Noktasının Apsisi (r):
\(r = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \times (-1)} = \frac{-6}{-2} = 3\)
2. En Büyük Değer (k):
\(k = f(r) = f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4\)
Fonksiyonun alabileceği en büyük değer 4'tür.
Bu değer, \(a = -1 < 0\) olduğu için parabolün kollarının aşağı doğru olması nedeniyle tepe noktasında ulaşılan maksimum değerdir.

💡 Çözüm Adımları:

Bir parabolün x-eksenine teğet olması demek, parabolün x-eksenini sadece bir noktada kesmesi demektir. Bu durum, karesel denklemin çift katlı kökü olduğu anlamına gelir ve bu da diskriminantın (\(\Delta\)) sıfıra eşit olması (\(\Delta = 0\)) koşuluyla sağlanır.
Verilen fonksiyon \(y = x^2 - (m+1)x + 9\) şeklindedir.
Burada \(a = 1\), \(b = -(m+1)\) ve \(c = 9\)'dur.
Diskriminant formülü \(\Delta = b^2 - 4ac\) olduğuna göre:
\(\Delta = (-(m+1))^2 - 4 \times 1 \times 9\)
\(\Delta = (m+1)^2 - 36\)
Parabolün x-eksenine teğet olması için \(\Delta = 0\) olmalıdır:
\((m+1)^2 - 36 = 0\)
\((m+1)^2 = 36\)
Bu denklemi çözdüğümüzde iki olası durum vardır:
1. \(m+1 = 6\)
\(m = 6 - 1\)
\(m = 5\)
2. \(m+1 = -6\)
\(m = -6 - 1\)
\(m = -7\)
Dolayısıyla, \(m\) değerinin alabileceği değerler 5 ve -7'dir.