🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda tanımlı karekök fonksiyonları ve nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda tanımlı karekök fonksiyonları ve nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki ifadelerin gerçek sayılarda tanımlı olup olmadığını belirleyiniz:
- \( \sqrt{16} \)
- \( \sqrt{-9} \)
- \( \sqrt{0} \)
Çözüm:
Karekök fonksiyonunun gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani kök içi her zaman \( \ge 0 \) olmalıdır.
- \( \sqrt{16} \): Kök içi 16'dır ve \( 16 \ge 0 \) olduğundan bu ifade tanımlıdır. Sonucu 4'tür. ✅
- \( \sqrt{-9} \): Kök içi -9'dur ve \( -9 < 0 \) olduğundan bu ifade tanımsızdır. 💡
- \( \sqrt{0} \): Kök içi 0'dır ve \( 0 \ge 0 \) olduğundan bu ifade tanımlıdır. Sonucu 0'dır. ✅
Örnek 2:
\( f(x) = \sqrt{x-5} \) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için karekök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
- \( x-5 \ge 0 \)
- Bu eşitsizliği sağlayan x değerleri için: \( x \ge 5 \)
Örnek 3:
\( g(x) = \sqrt{2x+8} \) fonksiyonunun tanımlı olduğu en küçük tam sayı değerini bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyonun tanımlı olması için kök içindeki ifade \( \ge 0 \) olmalıdır.
- \( 2x+8 \ge 0 \)
- \( 2x \ge -8 \)
- \( x \ge -4 \)
Örnek 4:
Bir kenar uzunluğu \( a \) cm olan bir karenin alanı \( A = a^2 \) formülü ile hesaplanır. Eğer bir karenin alanı 25 \( cm^2 \) ise, bu karenin bir kenar uzunluğunu karekök fonksiyonunu kullanarak bulunuz.
Çözüm:
Karenin alanı \( A = a^2 \) ve \( A = 25 \, cm^2 \) olarak verilmiş. Bir kenar uzunluğu \( a \) idi.
- \( a^2 = 25 \)
- Bir kenar uzunluğu pozitif olacağından, her iki tarafın karekökünü alırız: \( a = \sqrt{25} \)
- \( a = 5 \) cm
Örnek 5:
Aşağıdaki karekök ifadelerinin değerlerini hesaplayınız:
- \( \sqrt{81} \)
- \( \sqrt{144} \)
- \( \sqrt{1} \)
Çözüm:
Karekök, kendisinden önceki sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemidir.
- \( \sqrt{81} = 9 \) çünkü \( 9^2 = 81 \) ✅
- \( \sqrt{144} = 12 \) çünkü \( 12^2 = 144 \) ✅
- \( \sqrt{1} = 1 \) çünkü \( 1^2 = 1 \) ✅
Örnek 6:
\( h(x) = \sqrt{10-2x} \) fonksiyonunun tanımlı olduğu en büyük tam sayı değerini bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyonun tanımlı olması için kök içi \( \ge 0 \) olmalıdır.
- \( 10-2x \ge 0 \)
- \( 10 \ge 2x \)
- \( 5 \ge x \) veya \( x \le 5 \)
Örnek 7:
Bir çiftçi, tarlasının kare şeklinde olduğunu ve alanının 100 \( m^2 \) olduğunu biliyor. Çiftçinin tarlasının bir kenar uzunluğunu bulması gerekmektedir. Bu uzunluğu karekök fonksiyonunu kullanarak nasıl bulur?
Çözüm:
Karenin alanı \( A = a^2 \) formülü ile verilir, burada \( a \) bir kenar uzunluğudur.
- Alan \( A = 100 \, m^2 \)
- \( a^2 = 100 \, m^2 \)
- Bir kenar uzunluğu pozitif olmalıdır, bu yüzden her iki tarafın karekökünü alırız: \( a = \sqrt{100 \, m^2} \)
- \( a = 10 \, m \)
Örnek 8:
Bir teknoloji mağazasında satılan bir televizyonun ekran boyutu köşegen uzunluğu ile ifade edilir. Eğer bir televizyonun ekranı 20 inç'lik bir köşegene sahipse ve bu ekran tam olarak kare bir yapıya sahipse (bu durum gerçekçi olmasa da bir matematiksel egzersiz için), ekranın bir kenar uzunluğunu yaklaşık olarak nasıl bulabiliriz? (Pisagor teoremini hatırlayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( c \) köşegendir.)
Çözüm:
Ekran kare olduğundan, kenar uzunlukları \( a \) ve \( b \) eşittir. Köşegen \( c = 20 \) inç'tir.
- Pisagor teoremine göre: \( a^2 + a^2 = c^2 \)
- \( 2a^2 = 20^2 \)
- \( 2a^2 = 400 \)
- \( a^2 = \frac{400}{2} \)
- \( a^2 = 200 \)
- Bir kenar uzunluğu \( a \) pozitif olacağından: \( a = \sqrt{200} \)
- \( a = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \) inç
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-gercek-sayilarda-tanimli-karekok-fonksiyonlari-ve-nitel-ozellikleri/sorular