💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Karekök Fonksiyonlar Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler

Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Bu nedenle, karekökün içi sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır.

• \( 2x - 6 \ge 0 \) olmalıdır.
• Bu eşitsizliği çözelim:
• \( 2x \ge 6 \)
• Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x \ge 3 \)
• Bu durumda, fonksiyonun en geniş tanım kümesi \( [3, \infty) \) aralığıdır. ✅

Karekök içindeki ifade negatif olamaz, yani \( x^2 - 4x - 12 \ge 0 \) olmalıdır.

• Önce eşitsizliğin köklerini bulalım:
• \( x^2 - 4x - 12 = 0 \)
• Çarpanlara ayıralım: \( (x - 6)(x + 2) = 0 \)
• Kökler \( x_1 = 6 \) ve \( x_2 = -2 \) dir.
• Şimdi bir işaret tablosu oluşturalım:
• \( x^2 - 4x - 12 \) ifadesinde baş katsayı (x²'nin katsayısı) pozitif olduğu için köklerin dışında pozitif, arasında negatif işaret alır.
• Yani, \( (-\infty, -2] \) aralığında ifade \( \ge 0 \).
• \( [-2, 6] \) aralığında ifade \( < 0 \).
• \( [6, \infty) \) aralığında ifade \( \ge 0 \).
• Biz \( x^2 - 4x - 12 \ge 0 \) olan yerleri aradığımız için tanım kümesi \( (-\infty, -2] \cup [6, \infty) \) olur. ✅

Karekök içindeki sayıları \( a^2 \cdot b \) şeklinde yazarak kök dışına çıkaralım:

• \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \)
• \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \)
• \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \)

Şimdi bu ifadeleri yerine yazıp toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım:

• \( 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \)
• Kök içleri aynı olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz:
• \( (2 + 5 - 3)\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \)

İfadenin değeri \( 4\sqrt{3} \) tür. ✅

Önce karekök içindeki sayıları çarpanlarına ayıralım ve kök dışına çıkaralım:

• \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \)

Şimdi bu değerleri orijinal ifadeye yerine yazalım:

• \[ \frac{(3\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2})}{6\sqrt{2}} \]

Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım:

• \( 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = (3 \cdot 5) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 15 \cdot 2 = 30 \)

İfade şimdi şu hale geldi:

• \[ \frac{30}{6\sqrt{2}} \]

Sadeleştirme yapalım:

• \[ \frac{5}{\sqrt{2}} \]

Paydayı rasyonel hale getirmek için (eşleniği ile çarparak) pay ve paydayı \( \sqrt{2} \) ile çarpalım:

• \[ \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \]

İfadenin en sade hali \( \frac{5\sqrt{2}}{2} \) dir. ✅

Denklemi çözmek için her iki tarafın karesini alalım:

• \( (\sqrt{3x + 1})^2 = 4^2 \)
• \( 3x + 1 = 16 \)

Şimdi \( x \) değerini bulmak için denklemi çözelim:

• \( 3x = 16 - 1 \)
• \( 3x = 15 \)
• \( x = 5 \)

💡 Önemli Not: Kareköklü denklemlerde bulduğumuz kökü mutlaka orijinal denklemde yerine koyarak sağlamasını yapmalıyız. Çünkü kare alma işlemi "yalancı kök" üretebilir.

• \( x = 5 \) için orijinal denklemi kontrol edelim:
• \( \sqrt{3(5) + 1} = \sqrt{15 + 1} = \sqrt{16} = 4 \)
• Sonuç \( 4 \) olduğu için \( x = 5 \) denklemi sağlar.

Çözüm kümesi \( \{5\} \) dir. ✅

Önce kare şeklindeki bahçenin çevresini bulalım:

• Karenin bir kenarı \( a = 3\sqrt{2} \) metredir.
• Karenin çevresi = \( 4a = 4 \cdot (3\sqrt{2}) = 12\sqrt{2} \) metredir.

Bahçenin etrafına 3 sıra tel çekileceği için toplam tel uzunluğunu hesaplayalım:

• Toplam tel uzunluğu = \( 3 \cdot (\text{Karenin çevresi}) = 3 \cdot (12\sqrt{2}) = 36\sqrt{2} \) metredir.

Bu toplam tel uzunluğu, dikdörtgenin çevresine eşittir:

• Dikdörtgenin çevresi = \( 36\sqrt{2} \) metredir.

Dikdörtgenin çevresi \( 2 \cdot (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar}) \) formülüyle bulunur. Kısa kenarı \( \sqrt{2} \) metre ve uzun kenarı \( y \) metre olsun:

• \( 2 \cdot (\sqrt{2} + y) = 36\sqrt{2} \)

Şimdi bu denklemi çözerek \( y \) değerini bulalım:

• Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( \sqrt{2} + y = \frac{36\sqrt{2}}{2} \)
• \( \sqrt{2} + y = 18\sqrt{2} \)
• \( y = 18\sqrt{2} - \sqrt{2} \)
• \( y = (18 - 1)\sqrt{2} \)
• \( y = 17\sqrt{2} \) metredir.

Dikdörtgenin uzun kenarı \( 17\sqrt{2} \) metredir. ✅

Verilen değerleri sarkaç periyot formülünde yerine koyalım:

• İp uzunluğu \( L = 0.4 \) metre
• Yer çekimi ivmesi \( g = 10 \text{ m/s}^2 \)
• \( \pi \) değeri \( 3 \) olarak alınacaktır.

Formülümüz: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \)

• Değerleri yerine yazalım:
• \( T = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{\frac{0.4}{10}} \)

Önce karekök içindeki işlemi yapalım:

• \( \frac{0.4}{10} = \frac{4/10}{10} = \frac{4}{100} \)

Şimdi karekökü alalım:

• \( \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = 0.2 \)

Son olarak \( T \) değerini hesaplayalım:

• \( T = 2 \cdot 3 \cdot 0.2 \)
• \( T = 6 \cdot 0.2 \)
• \( T = 1.2 \) saniye

İp uzunluğu \( 0.4 \) metre olan sarkacın salınım periyodu yaklaşık \( 1.2 \) saniyedir. ✅

Karekök içeren sayıları sıralamak için, tüm sayıları karekök içine alarak karşılaştırmak en kolay yoldur. Bu sayede kök içindeki değerlere göre doğrudan sıralama yapabiliriz.

• Her bir sayıyı kök içine alalım:
• \( a = 2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20} \)
• \( b = 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18} \)
• \( c = \sqrt{23} \) (Bu sayı zaten kök içinde.)
• Şimdi kök içindeki sayıları karşılaştıralım:
• Kök içindeki değerler: \( 18, 20, 23 \).
• Bu değerlerin sıralaması: \( 18 < 20 < 23 \)
• Bu durumda, sayıların küçükten büyüğe sıralaması şu şekildedir:
• \( \sqrt{18} < \sqrt{20} < \sqrt{23} \)
• Yani, \( b < a < c \) dir. ✅