📄 10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Karekök Fonksiyonlar Ve Nitel Özellikleri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bir karekök fonksiyonunun gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için karekök içindeki ifadenin negatif olmaması, yani sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması gerekir.
Bu durumda \(x^2 - 7x + 10 \ge 0\) eşitsizliğini çözmeliyiz.
Öncelikle \(x^2 - 7x + 10 = 0\) denkleminin köklerini bulalım:
Denklemi çarpanlara ayırırsak: \((x-2)(x-5) = 0\)
Bu denklemin kökleri \(x_1 = 2\) ve \(x_2 = 5\) tir.
Şimdi \(x^2 - 7x + 10\) ifadesinin işaretini incelemek için bir işaret tablosu oluşturalım:
\(\begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & & 2 & & 5 & & +\infty \\

x^2-7x+10 & & + & 0 & - & 0 & + & \\
\end{array}\)
Tablodan da görüldüğü gibi, \(x^2 - 7x + 10 \ge 0\) eşitsizliğini sağlayan aralıklar \((-\infty, 2]\) ve \([5, \infty)\) dir.
Dolayısıyla, \(f(x)\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi \((-\infty, 2] \cup [5, \infty)\) dir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen ifadeyi adım adım sadeleştirelim:
1. \(\sqrt{(-3)^2}\): Karekök içindeki bir ifadenin karesi alındığında, sonuç mutlak değer olarak dışarı çıkar. Yani \(\sqrt{a^2} = |a|\) dır.
Bu durumda, \(\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3\) olur.
2. \(\sqrt{12}\): Karekök içindeki sayıyı çarpanlarına ayırarak tam kare olanları dışarı çıkaralım.
\(12 = 4 \cdot 3\) olduğundan, \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\) olur.
3. \(\sqrt{27}\): Aynı şekilde \(27 = 9 \cdot 3\) olduğundan,
\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\) olur.
Şimdi bu sadeleştirilmiş terimleri ana ifadede yerine yazalım:
\(3 + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3}\)
Benzer terimleri (karekökleri aynı olanları) bir araya getirelim:
\(3 + (2-3)\sqrt{3}\)
\(3 - 1\sqrt{3}\)
\(3 - \sqrt{3}\)
İşlemin sonucu \(3 - \sqrt{3}\) tür.

💡 Çözüm Adımları:

Bir karekök fonksiyonunun alabileceği en küçük değeri bulmak için, karekök içindeki ifadenin alabileceği en küçük değeri bulup onun karekökünü almalıyız.
Karekök içindeki ifade \(g(x) = x^2 - 4x + 7\) bir parabol denklemidir. Bu parabolün katsayısı \(x^2\) pozitif (1 > 0) olduğundan, parabolün kolları yukarı doğrudur ve bir minimum (en küçük) değeri vardır.
Parabolün tepe noktasının apsisi \(r = -\frac{b}{2a}\) formülü ile bulunur.
Burada \(a=1\) ve \(b=-4\) dir.
\(r = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2\).
Parabolün en küçük değeri, \(x=2\) için \(g(2)\) değeridir:
\(g(2) = (2)^2 - 4(2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3\).
Bu durumda, \(f(x)\) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer, karekök içindeki bu minimum değerin karekökü olacaktır:
\(f_{\text{min}} = \sqrt{3}\).
Fonksiyonun alabileceği en küçük değer \(\sqrt{3}\) tür.