💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda tanımlı karekök fonksiyonlar ve nitel özellikler Çözümlü Örnekler

Gerçek sayılar kümesinde bir sayının karekökünün alınabilmesi için sayının negatif olmaması gerekir. 💡 a) \( \sqrt{25} \): 25'in karekökü, karesi 25 olan pozitif sayıdır. Bu sayı 5'tir. * \( \sqrt{25} = 5 \) ✅ b) \( \sqrt{-9} \): Negatif bir sayının reel sayılar kümesinde karekökü tanımsızdır. * \( \sqrt{-9} \) reel sayılar kümesinde tanımlı değildir. ❌ c) \( \sqrt{0} \): 0'ın karekökü 0'dır. * \( \sqrt{0} = 0 \) ✅

Mutlak değer kavramı, karekök fonksiyonunun önemli bir özelliğidir. 👉 * Eğer \( a \ge 0 \) ise, \( a \) sayısı zaten pozitiftir veya sıfırdır. Bu durumda karesinin karekökü kendisine eşittir. * \( \sqrt{a^2} = a \) ( \( a \ge 0 \) için) ✅ * Eğer \( a < 0 \) ise, \( a \) sayısı negatiftir. Karesi \( a^2 \) pozitif olacaktır. Pozitif bir sayının karekökü pozitif olmalıdır. Bu yüzden \( \sqrt{a^2} \) ifadesi \( a \) değil, \( -a \) (yani \( a \)'nın pozitif değeri) olur. Bu da \( |a| \) olarak ifade edilir. * \( \sqrt{a^2} = -a \) ( \( a < 0 \) için) ✅ * Genel olarak, \( \sqrt{a^2} = |a| \) olarak yazılır. 📌

Her bir karekökü ayrı ayrı hesaplayıp sonra toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım. ➕➖ 1. \( \sqrt{16} \): Karesi 16 olan pozitif sayı 4'tür. \( \sqrt{16} = 4 \) 2. \( \sqrt{81} \): Karesi 81 olan pozitif sayı 9'dur. \( \sqrt{81} = 9 \) 3. \( \sqrt{49} \): Karesi 49 olan pozitif sayı 7'dir. \( \sqrt{49} = 7 \) Şimdi bu değerleri yerine koyalım: * \( 4 + 9 - 7 \) * \( 13 - 7 \) * \( 6 \) ✅ Sonuç: \( 6 \)

Bir karekök ifadenin reel sayılarda tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani, kök içi \( \ge 0 \) olmalıdır. 💡 Bu soruda kök içi \( 3 \cdot x \) ifadesidir. O halde: * \( 3 \cdot x \ge 0 \) Eşitsizliğin her iki tarafını 3'e bölersek (3 pozitif olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez): * \( x \ge 0 \) Bu, \( x \) sayısının 0'a eşit veya 0'dan büyük olması gerektiği anlamına gelir. Soruda bizden "en küçük pozitif tam sayı" isteniyor. 0 pozitif bir sayı değildir. 0'dan büyük en küçük tam sayı 1'dir. ✅ Bu nedenle, \( x \) yerine yazılabilecek en küçük pozitif tam sayı 1'dir.

\( \sqrt{100} \) ifadesi, karesi 100 olan pozitif sayıyı bulmak demektir. 🔢 * \( 10 \times 10 = 100 \) * \( (-10) \times (-10) = 100 \) Karekök fonksiyonu tanımı gereği daima pozitif sonucu verir. Bu nedenle \( \sqrt{100} \) ifadesinin değeri 10'dur. * \( \sqrt{100} = 10 \) ✅ Bu tam bir karedir ve yaklaşık değer yerine kesin değeri bulunur.

Kare şeklindeki bir bahçenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpımıdır. Yani, alan = \( kenar \times kenar \) veya alan = \( kenar^2 \) formülüyle bulunur. 🏡 Bahçenin alanı 144 metrekare olarak verilmiş. O halde: * \( kenar^2 = 144 \, m^2 \) Bahçenin kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü almalıyız: * \( kenar = \sqrt{144 \, m^2} \) 144'ün karekökü, karesi 144 olan pozitif sayıdır. Bu sayı 12'dir. * \( kenar = 12 \, m \) ✅ Bahçenin kenar uzunluğu 12 metredir.

Soruda verilen bilgileri matematiksel ifadelere dökelim. 💻 * Ürünün fiyatı: \( x \) TL * Fiyatının karekökü: \( \sqrt{x} \) TL * Bu karekök değerinin 8 TL olduğu belirtilmiş: \( \sqrt{x} = 8 \) Şimdi \( x \) değerini bulmak için her iki tarafın karesini alalım: * \( (\sqrt{x})^2 = 8^2 \) * \( x = 64 \) ✅ Ürünün gerçek fiyatı 64 TL'dir.

Karekök fonksiyonlarının tanımlı olması demek, kök içlerinin negatif olmaması demektir. 💡 * \( \sqrt{a} \) tanımlı ise, \( a \ge 0 \) olmalıdır. * \( \sqrt{b} \) tanımlı ise, \( b \ge 0 \) olmalıdır. Bu iki koşul sağlandığında, \( a \) ve \( b \) sayıları negatif olamaz. Eğer \( a \) ve \( b \) negatif olamıyorsa, çarpımları olan \( a \cdot b \) de negatif olamaz. Yani, \( a \cdot b \ge 0 \) olur. ✅ Bu durumda, \( \sqrt{a \cdot b} \) ifadesi de gerçek sayılar kümesinde tanımlı olur. Soruda bizden \( \sqrt{a \cdot b} \) ifadesinin alabileceği "en küçük tam sayı değeri" isteniyor. * \( a \) ve \( b \) en küçük 0 olabilir (çünkü \( a \ge 0 \) ve \( b \ge 0 \)). * Eğer \( a = 0 \) ve \( b = 0 \) alırsak, \( a \cdot b = 0 \cdot 0 = 0 \) olur. * Bu durumda \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{0} = 0 \) olur. Bu, \( \sqrt{a \cdot b} \) ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeridir. 📌 Sonuç: 0