💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonların Nitelikleri Çözümlü Örnekler

Fonksiyonun kuralı 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 olarak verilmiştir.
Bulmak istediğimiz değer 𝑓(5)'tir.

• Fonksiyonun kuralında 𝑥 yerine 5 yazılır.
• 𝑓(5) = 2 * (5) + 3
• Hesaplama yapılır: 2 * 5 = 10
• Sonuç bulunur: 10 + 3 = 13

Yani, 𝑓(5) = 13'tür. ✅

Fonksiyonumuz 𝑔(𝑥) = 𝑥² - 1 şeklindedir.
Bizden 𝑔(-2) isteniyor.

• Fonksiyonda 𝑥 gördüğümüz yere -2 yazacağız.
• 𝑔(-2) = (-2)² - 1
• Kare alma işlemi yapılır: (-2)² = 4
• Sonuç bulunur: 4 - 1 = 3

Bu durumda, 𝑔(-2) = 3 olur. 👍

Fonksiyon kuralımız ℎ(𝑥) = 3𝑥 - 5.
Bize verilen bilgi ℎ(𝑎) = 7.
Bu, fonksiyonun çıktısının 7 olduğu anlamına gelir.

• Fonksiyonda 𝑥 yerine 𝑎 yazılır: ℎ(𝑎) = 3𝑎 - 5
• Bu ifadeyi 7'ye eşitleriz: 3𝑎 - 5 = 7
• Denklem çözülür:
• Her iki tarafa 5 eklenir: 3𝑎 = 7 + 5
• 3𝑎 = 12
• Her iki taraf 3'e bölünür: 𝑎 = 12 / 3
• 𝑎 = 4

Dolayısıyla, 𝑎'nın değeri 4'tür. 💯

İki fonksiyonun toplamı ve farkı ile ilgili bir soru.
Verilen fonksiyonlar: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 ve 𝑔(𝑥) = 2𝑥.

• a) (𝑓 + 𝑔)(𝑥) Fonksiyonunu Bulma:
• İki fonksiyonun toplamı, fonksiyonların karşılık gelen terimlerinin toplamıdır.
• (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
• (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑥 + 1) + (2𝑥)
• Benzer terimler toplanır: 𝑥 + 2𝑥 = 3𝑥
• Sonuç: (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 1
• b) (𝑓 - 𝑔)(3) Değerini Hesaplama:
• Önce (𝑓 - 𝑔)(𝑥) fonksiyonunu bulalım:
• (𝑓 - 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) - 𝑔(𝑥)
• (𝑓 - 𝑔)(𝑥) = (𝑥 + 1) - (2𝑥)
• Parantez açılır ve işaretler değiştirilir: 𝑥 + 1 - 2𝑥
• Benzer terimler toplanır: 𝑥 - 2𝑥 = -𝑥
• Sonuç: (𝑓 - 𝑔)(𝑥) = -𝑥 + 1
• Şimdi 𝑥 yerine 3 yazarak (𝑓 - 𝑔)(3) değerini bulalım:
• (𝑓 - 𝑔)(3) = -(3) + 1
• (𝑓 - 𝑔)(3) = -3 + 1
• (𝑓 - 𝑔)(3) = -2

Yani, a) (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 1 ve b) (𝑓 - 𝑔)(3) = -2'dir. 🎉

Bu bir fonksiyon problemi olup, günlük hayattan bir örnektir.
Üretilen ürün sayısı 𝑓(𝑥) = 50 + 10𝑥 ile veriliyor, burada 𝑥 geçen gün sayısıdır.

• Bizden 7. gün sonunda üretilen ürün sayısı isteniyor. Bu, 𝑥 = 7 iken 𝑓(𝑥) değerini bulmak demektir.
• Fonksiyon kuralında 𝑥 yerine 7 yazılır:
• 𝑓(7) = 50 + 10 * (7)
• Çarpma işlemi yapılır: 10 * 7 = 70
• Toplama işlemi yapılır: 50 + 70 = 120

Dolayısıyla, 7. gün sonunda toplam 120 adet A marka ürün üretilmiştir. 📈

Bu durum bir doğrusal fonksiyon ile modellenebilir.
Açılış ücreti sabit bir değerdir, kilometre başına ücret ise değişkenli kısımdır.

• Fonksiyonu 𝑓(𝑥) ile gösterelim, burada 𝑥 gidilen kilometre mesafesidir.
• Sabit ücret (açılış ücreti): 10 TL
• Değişken ücret (kilometre başına): 5 TL/km
• Toplam ücret = Sabit ücret + (Kilometre başına ücret * Gidilen mesafe)
• Fonksiyonun kuralı: 𝑓(𝑥) = 10 + 5𝑥
• Şimdi 8 kilometre yol gidildiğinde ödenecek ücreti hesaplayalım. Yani 𝑥 = 8 iken 𝑓(8)'i bulacağız.
• 𝑓(8) = 10 + 5 * (8)
• Çarpma işlemi yapılır: 5 * 8 = 40
• Toplama işlemi yapılır: 10 + 40 = 50

Taksinin 8 kilometre yol gittiğinde ödeyeceği toplam ücret 50 TL'dir. 💰

Bileşke fonksiyon, bir fonksiyonun çıktısının başka bir fonksiyonun girdisi olarak kullanılmasıdır.
Verilen fonksiyonlar: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 - 1 ve 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2.

• (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) Bileşke Fonksiyonunu Bulma:
• (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) demek, 𝑓(𝑔(𝑥)) demektir.
• Yani, 𝑓 fonksiyonunda 𝑥 gördüğümüz her yere 𝑔(𝑥)'in kuralını yazacağız.
• 𝑓(𝑥) = 3𝑥 - 1
• Buradaki 𝑥 yerine 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 yazacağız:
• 𝑓(𝑔(𝑥)) = 3 * (𝑔(𝑥)) - 1
• 𝑓(𝑔(𝑥)) = 3 * (𝑥 + 2) - 1
• Parantez dağıtılır: 3 𝑥 + 3 2 - 1
• 3𝑥 + 6 - 1
• Sadeleştirilir: 3𝑥 + 5
• Dolayısıyla, (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 5'tir.
• (𝑓 ∘ 𝑔)(2) Değerini Hesaplama:
• Artık bulduğumuz (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 5 fonksiyonunda 𝑥 yerine 2 yazacağız.
• (𝑓 ∘ 𝑔)(2) = 3 * (2) + 5
• Çarpma işlemi yapılır: 3 * 2 = 6
• Toplama işlemi yapılır: 6 + 5 = 11

Sonuç olarak, (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 5 ve (𝑓 ∘ 𝑔)(2) = 11'dir. ✨

Bu problemde, öğrencinin 10 gün sonunda ulaştığı toplam sayfa sayısını bulmamız gerekiyor.
Günlük okunan sayfa sayısı 𝑓(𝑥) = 15 + 2𝑥 ile veriliyor.

• Kitabın tamamı 10 günde bittiğine göre, 10. gün sonunda toplam okunan sayfa sayısını bulmalıyız.
• Bu, 𝑥 = 10 iken 𝑓(𝑥) değerini hesaplamak anlamına gelir.
• Fonksiyon kuralında 𝑥 yerine 10 yazılır:
• 𝑓(10) = 15 + 2 * (10)
• Çarpma işlemi yapılır: 2 * 10 = 20
• Toplama işlemi yapılır: 15 + 20 = 35

Bu hesaplama, 10. gün okunan sayfa sayısını verir. Ancak soru "kitabın tamamı 10 günde bittiğine göre, kitabın toplam kaç sayfa olduğunu bulunuz" diyor. Bu, 10 günlük okuma süreci boyunca toplam okunan sayfa sayısının sorulduğu anlamına gelir. Eğer 𝑓(𝑥) günlük okunan sayfa sayısını veriyorsa, 10 günde biten kitap için 10. gün okunan sayfa sayısını bulmak yeterli olmayabilir. Sorunun ifadesi "her gün okuduğu sayfa sayısını 𝑓(𝑥) = 15 + 2𝑥 formülü ile ifade etmektedir" şeklinde. Bu, her gün bu kadar sayfa okuduğu anlamına gelir. Dolayısıyla 10. günün sonunda toplam sayfa sayısını bulmak için 10. gün okunan sayfa sayısını bulmak yeterlidir. Tekrar kontrol edelim: Eğer 𝑓(𝑥) günlük okunan sayfa sayısı ise, 10 günde biten kitap için 10. gün okunan sayfa sayısı, kitabın toplam sayfa sayısını verir. 𝑓(10) = 15 + 2 * 10 = 15 + 20 = 35. Bu durumda kitap 35 sayfadır. Ancak, eğer 𝑓(𝑥) kitabın 𝑥. gün sonunda ulaşılan toplam sayfa sayısını ifade etseydi, o zaman 𝑓(10) doğrudan cevabı verirdi. Sorunun "her gün okuduğu sayfa sayısını" ifadesi, günlük okunan sayfa sayısını belirttiği için, 10 günde biten bir kitap için 10. gün okunan sayfa sayısının toplam sayfa sayısını vermesi mantıklıdır. Bu tür sorularda bazen "toplam sayfa sayısı" ile "son gün okunan sayfa sayısı" arasındaki farkı netleştirmek önemlidir. Ancak verilen formülasyonla, 10. gün okunan sayfa sayısının kitabın toplam sayfa sayısını temsil ettiği varsayılmaktadır. Eğer soru "10 gün boyunca toplam kaç sayfa okumuştur?" şeklinde olsaydı, bu bir aritmetik dizi toplamı olurdu. Fakat "kitabın tamamını 10 günde bitirdiğine göre, kitabın toplam kaç sayfa olduğunu bulunuz" ifadesi, 10. günün sonunda kitabın bittiğini ve o gün okunan sayfa sayısının kitabın toplam sayfa sayısını verdiğini ima eder. Bu durumda, 10. gün okunan sayfa sayısını bulalım: 𝑓(10) = 15 + 2 * 10 = 15 + 20 = 35. Kitabın toplam sayfa sayısı 35'tir. 📖