💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların nitelik özellikleri Çözümlü Örnekler

Fonksiyonlarda bir değer bulmak için, tanım kümesindeki bağımsız değişken (x) yerine istenen sayı yazılır:

• Verilen fonksiyon: \( f(x) = 5x - 12 \)
• Bizden istenen değer \( x = 4 \) içindir.
• Denklemde x gördüğümüz yere 4 yazalım:
• \( f(4) = 5 \times 4 - 12 \)
• \( f(4) = 20 - 12 \)
• \( f(4) = 8 \)

✅ Sonuç olarak \( f(4) = 8 \) bulunur.

Birim fonksiyonun tanımını hatırlayalım:

• Birim Fonksiyon: Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur, yani \( f(x) = x \) olmalıdır.
• Bu durumda \( x \)'li terimin katsayısı 1, sabit terim ise 0 olmalıdır.
• \( a - 3 = 1 \) ise \( a = 4 \) olur.
• \( b + 7 = 0 \) ise \( b = -7 \) olur.
• Bizden istenen: \( a \times b \)
• \( 4 \times (-7) = -28 \)

✅ Cevap: \( -28 \)

Sabit fonksiyonun özelliklerini uygulayalım:

• Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki aynı elemana götüren fonksiyondur. İçinde \( x \) değişkeni bulunmaz.
• Bu nedenle \( x \)'li terimin katsayısı 0 olmalıdır:
• \( 2k - 8 = 0 \)
• \( 2k = 8 \)
• \( k = 4 \)
• Şimdi \( k \) değerini fonksiyonda yerine yazarak sabit değeri bulalım:
• \( f(x) = 0 \times x + 4 + 5 \)
• \( f(x) = 9 \)
• Sabit fonksiyon olduğu için \( x \) yerine ne yazılırsa yazılsın sonuç değişmez.

✅ Bu durumda \( f(100) = 9 \) olur.

Doğrusal fonksiyonların genel formu \( f(x) = ax + b \) şeklindedir.

• İlk bilgiyi kullanalım: \( f(0) = 4 \)
• \( a \times 0 + b = 4 \) ise buradan \( b = 4 \) bulunur.
• İkinci bilgiyi kullanalım: \( f(2) = 10 \)
• \( a \times 2 + 4 = 10 \)
• \( 2a = 10 - 4 \)
• \( 2a = 6 \)
• \( a = 3 \)
• Bulduğumuz \( a \) ve \( b \) değerlerini genel formda yerine yazalım.

✅ Fonksiyonun kuralı: \( f(x) = 3x + 4 \) olarak bulunur.

Parçalı fonksiyonlarda, parantez içindeki değerin hangi aralığa girdiğine bakılır:

• f(1) için: \( 1 < 3 \) olduğu için üstteki kural kullanılır.
• \( f(1) = 2 \times 1 + 5 = 7 \)
• f(4) için: \( 4 \ge 3 \) olduğu için alttaki kural kullanılır.
• \( f(4) = 4^2 - 1 = 16 - 1 = 15 \)
• Bizden istenen toplam: \( 7 + 15 = 22 \)

✅ Sonuç: \( 22 \)

Bu durum bir doğrusal fonksiyon modelidir:

• Sabit ücret (Açılış): 20 TL (Bu bizim fonksiyonumuzun sabit terimidir).
• Değişken ücret: Her km için 15 TL (Bu bizim x'in katsayısıdır).
• Fonksiyon: \( f(x) = 15x + 20 \)
• 10 km için \( x = 10 \) yazalım:
• \( f(10) = 15 \times 10 + 20 \)
• \( f(10) = 150 + 20 = 170 \) TL

✅ Yolcu toplam 170 TL ödeme yapar.

Kullanıcının ödeyeceği tutarı adım adım kurgulayalım:

• Kullanıcı zaten 100 GB'a kadar 200 TL ödemeyi garantilemiştir.
• Kota aşım miktarı: \( x - 100 \) GB'dır.
• Bu aşım miktarının her bir birimi 5 TL ile çarpılacaktır.
• Toplam Ücret = Sabit Ücret + (Aşım Miktarı \(\times\) Birim Aşım Ücreti)
• \( f(x) = 200 + (x - 100) \times 5 \)
• Denklemi düzenleyelim:
• \( f(x) = 200 + 5x - 500 \)
• \( f(x) = 5x - 300 \)

✅ Fonksiyon kuralı: \( f(x) = 5x - 300 \) (x > 100 için geçerlidir).

Rasyonel (kesirli) ifadelerde fonksiyonun tanımlı olabilmesi için temel bir kural vardır:

• Kural: Bir kesrin paydası asla 0 olamaz. Payda 0 olursa ifade tanımsız olur.
• Fonksiyonun paydasını 0 yapan değeri bulalım:
• \( x - 6 = 0 \)
• \( x = 6 \)
• Bu durumda \( x = 6 \) değeri için fonksiyon tanımsızdır.
• En geniş tanım kümesi, tüm gerçek sayılardan bu sorunlu değerin çıkarılmasıyla bulunur.
• Tanım Kümesi = \( R - \{6\} \)

✅ Fonksiyon \( x = 6 \) değeri için tanımlı değildir.