💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonların Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler

• a) \( f(x) = x \) Fonksiyonu:
• Bu fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşlediği için bir birim fonksiyondur. ✅
• Farklı \( x \) değerleri için farklı \( f(x) \) değerleri elde edildiğinden, aynı zamanda birebirdir. ✅
• Değer kümesi \(\mathbb{R}\) olduğu ve görüntü kümesi de \(\mathbb{R}\) olduğu için örtendir. ✅
• b) \( g(x) = 5 \) Fonksiyonu:
• Bu fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı sabit bir değere (5'e) eşlediği için bir sabit fonksiyondur. ✅
• Farklı \( x \) değerleri için aynı \( g(x) \) değeri elde edildiğinden, birebir değildir. ❌
• Değer kümesi \(\mathbb{R}\) iken, görüntü kümesi sadece \(\{5\}\) olduğundan, değer kümesinde eşlenmeyen elemanlar vardır. Bu yüzden örten değildir, içinedir. ✅
• c) \( h(x) = x+1 \) Fonksiyonu:
• Bu fonksiyon, tanım kümesi \(\mathbb{N}\) (doğal sayılar) ve değer kümesi \(\mathbb{N}\) olduğu için özel bir durumdur.
• Farklı doğal sayıların görüntüleri de farklı doğal sayılar olacağından, birebirdir. ✅
• Değer kümesi \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, ...\}\) iken, bu fonksiyonun görüntü kümesi \(\{1, 2, 3, ...\}\) olur (çünkü \(x \in \mathbb{N}\) için \(x+1 \ge 1\)). 0 elemanı değer kümesinde olmasına rağmen eşlenmemiştir. Bu nedenle örten değildir, içinedir. ✅

• a) \( f(x) = x^2 \) Fonksiyonu:
• Örneğin, \( f(2) = 2^2 = 4 \) ve \( f(-2) = (-2)^2 = 4 \).
• Burada \( 2 \neq -2 \) iken \( f(2) = f(-2) \) olduğu için bu fonksiyon birebir değildir. ❌
• b) \( g(x) = |x| \) Fonksiyonu:
• Örneğin, \( g(3) = |3| = 3 \) ve \( g(-3) = |-3| = 3 \).
• Burada \( 3 \neq -3 \) iken \( g(3) = g(-3) \) olduğu için bu fonksiyon birebir değildir. ❌
• c) \( h(x) = 3x - 2 \) Fonksiyonu:
• Farz edelim ki \( h(x_1) = h(x_2) \). Bu durumda:
\[ 3x_1 - 2 = 3x_2 - 2 \] \[ 3x_1 = 3x_2 \] \[ x_1 = x_2 \]
• Bu eşitlik yalnızca \( x_1 = x_2 \) olduğunda sağlanır. Bu nedenle, \( h(x) = 3x - 2 \) fonksiyonu birebirdir. ✅

• a) \( f(x) = x^2 + 1 \) Fonksiyonu:
• Tanım kümesi \(\mathbb{R}\) ve değer kümesi \(\mathbb{R}\).
• \( x^2 \ge 0 \) olduğundan, \( x^2 + 1 \ge 1 \) olur.
• Yani, bu fonksiyonun alabileceği en küçük değer 1'dir. Görüntü kümesi \( [1, \infty) \) aralığıdır.
• Değer kümesi olan \(\mathbb{R}\) içindeki 0, -5 gibi sayılar bu fonksiyon tarafından hiçbir zaman alınamaz.
• Bu nedenle, \( f(x) = x^2 + 1 \) fonksiyonu örten değildir, içinedir. ❌
• b) \( g(x) = 2^x \) Fonksiyonu:
• Tanım kümesi \(\mathbb{R}\) ve değer kümesi \(\mathbb{R}^+\) (pozitif gerçek sayılar).
• Üstel fonksiyon olan \( 2^x \), tüm pozitif gerçek sayı değerlerini alabilir. Yani görüntü kümesi \( (0, \infty) = \mathbb{R}^+ \) dir.
• Görüntü kümesi değer kümesine eşit olduğu için, \( g(x) = 2^x \) fonksiyonu örtendir. ✅
• c) \( h(x) = x+1 \) Fonksiyonu:
• Tanım kümesi \(\mathbb{Z}\) (tam sayılar) ve değer kümesi \(\mathbb{Z}\).
• Herhangi bir tam sayı \(y\) için, \(y = x+1\) olacak şekilde bir \(x = y-1\) tam sayısı bulabiliriz.
• Örneğin, eğer \(y=5\) ise, \(x=4\) için \(h(4)=5\)'tir. Eğer \(y=-2\) ise, \(x=-3\) için \(h(-3)=-2\)'dir.
• Görüntü kümesi tüm \(\mathbb{Z}\) olduğu için, \( h(x) = x+1 \) fonksiyonu örtendir. ✅

Bu durumda, b ve c şıkları örten fonksiyondur.

• a) \( f(x) = x^3 - 2x \) Fonksiyonu:
• \( f(-x) = (-x)^3 - 2(-x) = -x^3 + 2x \)
• \( -f(x) = -(x^3 - 2x) = -x^3 + 2x \)
• Görüldüğü gibi \( f(-x) = -f(x) \) eşitliği sağlanmaktadır.
• Bu nedenle, \( f(x) = x^3 - 2x \) fonksiyonu tek fonksiyondur. ✅
• b) \( g(x) = x^2 + 1 \) Fonksiyonu:
• \( g(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 \)
• \( -g(x) = -(x^2 + 1) = -x^2 - 1 \)
• Burada \( g(-x) \neq -g(x) \) ve \( g(-x) = g(x) \) olduğu için bu fonksiyon çift fonksiyondur.
• Bu nedenle, \( g(x) = x^2 + 1 \) fonksiyonu tek fonksiyon değildir. ❌
• c) \( h(x) = x^3 + x^2 \) Fonksiyonu:
• \( h(-x) = (-x)^3 + (-x)^2 = -x^3 + x^2 \)
• \( -h(x) = -(x^3 + x^2) = -x^3 - x^2 \)
• Görüldüğü gibi \( h(-x) \neq -h(x) \) ve \( h(-x) \neq h(x) \).
• Bu nedenle, \( h(x) = x^3 + x^2 \) fonksiyonu ne tek ne de çift fonksiyondur. ❌

• a) \( f(x) = x^4 - 3x^2 + 5 \) Fonksiyonu:
• \( f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 5 \)
• \( f(-x) = x^4 - 3x^2 + 5 \)
• Görüldüğü gibi \( f(-x) = f(x) \) eşitliği sağlanmaktadır.
• Bu nedenle, \( f(x) = x^4 - 3x^2 + 5 \) fonksiyonu çift fonksiyondur. ✅
• b) \( g(x) = x^5 + x \) Fonksiyonu:
• \( g(-x) = (-x)^5 + (-x) = -x^5 - x \)
• \( f(x) = x^5 + x \)
• Burada \( g(-x) = -(x^5+x) = -g(x) \) olduğu için bu fonksiyon tek fonksiyondur.
• Bu nedenle, \( g(x) = x^5 + x \) fonksiyonu çift fonksiyon değildir. ❌
• c) \( h(x) = (x+1)^2 \) Fonksiyonu:
• Önce ifadeyi açalım: \( h(x) = x^2 + 2x + 1 \)
• \( h(-x) = (-x)^2 + 2(-x) + 1 = x^2 - 2x + 1 \)
• Görüldüğü gibi \( h(-x) \neq h(x) \) ve \( h(-x) \neq -h(x) \).
• Bu nedenle, \( h(x) = (x+1)^2 \) fonksiyonu ne tek ne de çift fonksiyondur. ❌

• 1. \( f \) fonksiyonu \( [-4, -2] \) aralığında artandır.
• Grafik, \( x \) değeri \(-4\)'ten \(-2\)'ye giderken \( y \) değerlerinin \(0\)'dan \(2\)'ye yükseldiğini göstermektedir. Yani bu aralıkta fonksiyonun eğrisi yukarı doğru gitmektedir.
• Bu ifade doğrudur. ✅
• 2. \( f \) fonksiyonu \( [0, 2] \) aralığında azalandır.
• Grafik, \( x \) değeri \(0\)'dan \(2\)'ye giderken \( y \) değerlerinin \(-2\)'den \(0\)'a yükseldiğini göstermektedir. Yani bu aralıkta fonksiyonun eğrisi yukarı doğru gitmektedir.
• Bu ifade yanlıştır, bu aralıkta fonksiyon artandır. ❌
• 3. \( f \) fonksiyonunun minimum değeri \(-2\)'dir.
• Grafikteki en düşük \( y \) değeri \((0, -2)\) noktasında görülmektedir. Fonksiyonun aldığı en küçük değer \(-2\)'dir.
• Bu ifade doğrudur. ✅
• 4. \( f \) fonksiyonu birebirdir.
• Birebir fonksiyon testini uygulamak için yatay doğru testi yaparız. Eğer yatay bir doğru, grafiği birden fazla noktada keserse, fonksiyon birebir değildir.
• Örneğin, \( y = 0 \) doğrusu grafiği \( (-4, 0) \) ve \( (2, 0) \) noktalarında kesmektedir. Yani \( f(-4) = 0 \) ve \( f(2) = 0 \) iken \( -4 \neq 2 \) dir.
• Bu nedenle, fonksiyon birebir değildir. ❌

Sonuç olarak, 1 ve 3 numaralı ifadeler doğrudur. 👉

• Fonksiyonun Tanımı:
• Açılış ücreti: 15 TL
• Kilometre başına ücret: 8 TL
• Gidilen yol: \( x \) kilometre
• Ödenecek toplam tutar: \( f(x) = 8x + 15 \)
• Bu fonksiyonun tanım kümesi genellikle \( x \ge 0 \) olan gerçek sayılar (\( \mathbb{R}^+ \cup \{0\} \)) olarak alınabilir, çünkü negatif mesafe gidilemez. Değer kümesi de pozitif gerçek sayılar olacaktır.
• Nitel Özelliklerin Yorumlanması:
• Birebir midir?
• Evet, farklı mesafeler için farklı ücretler ödenecektir. Örneğin, 1 km için \( 8(1)+15 = 23 \) TL, 2 km için \( 8(2)+15 = 31 \) TL ödenir. Aynı ücreti ödeyen iki farklı yolculuk mesafesi olamaz. Bu nedenle fonksiyon birebirdir. ✅
• Örten midir?
• Eğer değer kümemiz tüm pozitif gerçek sayılar ise, fonksiyon örten değildir. Çünkü ödenen ücretler 15 TL'den başlar ve 8 TL'nin katları şeklinde artar (eğer \(x\) tam sayı ise). Örneğin, 10 TL ödenemez. Eğer değer kümesini sadece fonksiyonun alabileceği değerler kümesi olarak tanımlarsak (yani görüntü kümesi = değer kümesi yaparsak), o zaman örten olabilir. Ancak genel \(\mathbb{R}^+\) için örten değildir, içinedir. ❌
• Artan mıdır, Azalan mıdır?
• Gidilen kilometre (\(x\)) arttıkça ödenen toplam tutar (\(f(x)\)) da artmaktadır. Bu fonksiyonun eğimi (8) pozitif olduğu için fonksiyon artandır. ✅
• Sabit fonksiyon mudur?
• Hayır, gidilen mesafeye göre ücret değiştiği için sabit fonksiyon değildir. ❌
• Birim fonksiyon mudur?
• Hayır, \( f(x) = x \) değildir. Bu nedenle birim fonksiyon değildir. ❌

• Fonksiyonun Tanımı:
• Eğer \( 0 < t \le 1 \) ise, \( f(t) = 20 \) TL.
• Eğer \( 1 < t \le 2 \) ise, \( f(t) = 20 + 10 = 30 \) TL.
• Eğer \( 2 < t \le 3 \) ise, \( f(t) = 20 + 10 + 10 = 40 \) TL.
• Bu bir parçalı fonksiyondur ve genellikle "tavan fonksiyonu" (ceil function) ile ifade edilebilir ancak 10. sınıf müfredatında bu kavram henüz yoktur. Bu yüzden adım adım yorumlayalım.
• 1. \( f(t) \) fonksiyonu \( (0, 1] \) aralığında sabittir.
• Bu aralıkta, otoparkta 0 saatten fazla ve 1 saate kadar (1 saat dahil) kalan herkes 20 TL öder.
• Yani, \( f(0.5) = 20 \), \( f(1) = 20 \).
• Bu ifade doğrudur. ✅
• 2. \( f(t) \) fonksiyonu birebirdir.
• Birebir olması için farklı \( t \) değerlerinin farklı \( f(t) \) değerlerine sahip olması gerekir.
• Ancak, \( f(0.5) = 20 \) ve \( f(0.8) = 20 \) dir. \( 0.5 \neq 0.8 \) iken \( f(0.5) = f(0.8) \) olduğu için fonksiyon birebir değildir. ❌
• 3. \( f(t) \) fonksiyonu artandır.
• Genel olarak, otoparkta kalınan süre arttıkça ödenen ücret de artmaktadır.
• Örneğin, \( t_1 = 0.5 \) için \( f(0.5) = 20 \). \( t_2 = 1.5 \) için \( f(1.5) = 30 \). \( t_1 < t_2 \) iken \( f(t_1) < f(t_2) \) dir.
• Bu tür basamak fonksiyonları, genel olarak artan kabul edilir (kesikli de olsa).
• Bu ifade doğrudur. ✅

Sonuç olarak, 1 ve 3 numaralı ifadeler doğrudur. 👉

Verilen fonksiyon \( f(x) = (a-2)x + b+3 \)'tür.

Bu fonksiyonun \( f(x) = x \) olabilmesi için \( x \)'in katsayısının 1 olması ve sabit terimin 0 olması gerekir.

• 1. Adım: \( x \)'in katsayısını 1'e eşitleyelim.
\[ a-2 = 1 \] \[ a = 1+2 \] \[ a = 3 \]
• 2. Adım: Sabit terimi 0'a eşitleyelim.
\[ b+3 = 0 \] \[ b = -3 \]
• 3. Adım: \( a \cdot b \) çarpımını hesaplayalım.
\[ a \cdot b = 3 \cdot (-3) \] \[ a \cdot b = -9 \]

Bu durumda, \( a \cdot b \) çarpımının değeri \(-9\)'dur. ✅

Verilen fonksiyon \( f(x) = (k+1)x^2 + (m-4)x + 2k+m \)'dir.

Bu fonksiyonun sabit fonksiyon olabilmesi için \( x^2 \)'li terimin ve \( x \)'li terimin katsayıları 0 olmalıdır.

• 1. Adım: \( x^2 \)'nin katsayısını 0'a eşitleyelim.
\[ k+1 = 0 \] \[ k = -1 \]
• 2. Adım: \( x \)'in katsayısını 0'a eşitleyelim.
\[ m-4 = 0 \] \[ m = 4 \]
• 3. Adım: \( k \) ve \( m \) değerlerini fonksiyonda yerine yazarak sabit değeri bulalım.

Fonksiyonumuzun sabit değeri \( 2k+m \) idi.

\[ f(x) = 2k+m \] \[ f(x) = 2(-1) + 4 \] \[ f(x) = -2 + 4 \] \[ f(x) = 2 \]
• 4. Adım: \( f(7) \) değerini bulalım.

Fonksiyon sabit bir fonksiyon olduğu için, \( x \) yerine hangi değeri yazarsak yazalım sonuç değişmeyecektir. \( f(x) = 2 \) olduğundan,

\[ f(7) = 2 \]

Bu durumda, \( f(7) \) değeri 2'dir. ✅