💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonlar Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler

Bu tür bir soruyu çözmek için fonksiyonun tanımını ve grafik özelliklerini kullanacağız.

• Fonksiyonun grafiğinin y eksenini kestiği nokta, x koordinatının 0 olduğu noktadır.
• Yani, \(f(x)\) fonksiyonunda \(x=0\) değerini yerine koymalıyız.
• \(f(0) = 2(0) + 3\)
• \(f(0) = 0 + 3\)
• \(f(0) = 3\)

Bu durumda, fonksiyonun grafiği y eksenini \((0, 3)\) noktasında keser. ✅

Fonksiyonun grafiğinin x eksenini kestiği noktalar, fonksiyonun değerinin 0 olduğu noktalardır. Yani \(g(x) = 0\) denklemini çözmeliyiz.

• \(x^2 - 4 = 0\)
• Bu denklemi çarpanlarına ayırabiliriz: \((x - 2)(x + 2) = 0\)
• Her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek x değerlerini buluruz:
• \(x - 2 = 0 \implies x = 2\)
• \(x + 2 = 0 \implies x = -2\)

Dolayısıyla, \(g(x)\) fonksiyonunun grafiği x eksenini \(-2\) ve \(2\) apsisli noktalarda keser. Bu değerler fonksiyonun kökleridir. 👉

Sabit fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün aynı olduğu fonksiyondur.

• \(h(x) = 5\) fonksiyonunda, tanım kümesinden hangi \(x\) değerini alırsak alalım, fonksiyonun sonucu her zaman 5 olacaktır.
• Örneğin, \(h(1) = 5\), \(h(-3) = 5\), \(h(\pi) = 5\).

Bu nedenle, \(h(x) = 5\) bir sabit fonksiyondur. Çünkü tanım kümesindeki tüm girdiler için çıktı değeri sabittir. 👍

Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri özel bir şekle sahiptir.

• \(|x - 1|\) ifadesi, \(x - 1\) ifadesinin mutlak değerini alır.
• Eğer \(x - 1 \ge 0\) ise, yani \(x \ge 1\) ise, \(f(x) = x - 1\) olur. Bu, eğimi 1 olan bir doğrudur.
• Eğer \(x - 1 < 0\) ise, yani \(x < 1\) ise, \(f(x) = -(x - 1) = -x + 1\) olur. Bu da eğimi -1 olan bir doğrudur.
• Bu iki doğru parçası, \(x = 1\) noktasında birleşerek "V" şeklinde bir grafik oluşturur.

Bu "V" şekli, fonksiyonun \(x=1\) noktasında minimum bir değere (0) ulaştığını ve bu noktadan uzaklaştıkça değerlerinin arttığını gösterir. Bu tür fonksiyonlar mutlak değer fonksiyonları olarak bilinir. 🌟

Bu bir gerçek hayat problemine uyarlanmış fonksiyon örneğidir.

• Tanım Kümesi: Zaman \(t\) negatif olamaz, yani \(t \ge 0\). Ayrıca, depo boşalana kadar olan süreyi dikkate almalıyız. Depo, \(B(t) = 0\) olduğunda boşalır.
• \(50 - 8t = 0 \implies 8t = 50 \implies t = \frac{50}{8} = \frac{25}{4} = 6.25\) saat.
• Dolayısıyla, tanım kümesi \(t \in [0, 6.25]\) saat aralığıdır.
• Görüntü Kümesi: Depo başlangıçta \(B(0) = 50 - 8(0) = 50\) litre ile doludur. Depo boşaldığında ise \(B(6.25) = 0\) litre olur.
• Fonksiyon azalan olduğu için, görüntü kümesi \(B(t) \in [0, 50]\) litre aralığıdır.

Bu, aracın deposundaki benzin miktarının zamanla nasıl azaldığını gösteren bir modeldir. 🚗💨

Bu problem, bir maliyetin üzerine kar eklenerek satış fiyatının nasıl belirlendiğini gösterir.

• Maliyet \(m\) TL'dir.
• Kar miktarı, maliyetin %20'sidir. Yani, \(0.20 \times m\) TL'dir.
• Satış fiyatı, maliyet ile kar miktarının toplamıdır.
• \(S(m) = m + (0.20 \times m)\)
• Bu ifadeyi sadeleştirebiliriz: \(S(m) = 1 \times m + 0.20 \times m = (1 + 0.20) \times m = 1.20m\)

Dolayısıyla, satış fiyatını veren fonksiyon \(S(m) = 1.20m\) olur. Bu, maliyetin 1.20 katının satış fiyatına eşit olduğunu gösterir. 🛍️

Bu fonksiyonun tepe noktasını bulmak için iki yöntem kullanabiliriz: tam kareye tamamlama veya türev (ancak 10. sınıf müfredatında türev olmadığı için tam kareye tamamlama yöntemini kullanacağız).

• Verilen fonksiyon: \(f(x) = x^2 - 6x + 9\)
• Bu ifadeyi incelediğimizde, \(a^2 - 2ab + b^2\) özdeşliğine benzediğini görürüz.
• Burada \(a = x\) ve \(2ab = 6x\) olduğundan, \(2xb = 6x \implies b = 3\).
• Dolayısıyla, \(f(x) = (x - 3)^2\) şeklinde yazılabilir. Bu bir tam kare ifadedir.
• Bir tam kare ifadenin minimum değeri, kare alınan ifadenin sıfır olduğu durumda elde edilir.
• \(x - 3 = 0 \implies x = 3\).
• Bu \(x\) değerini fonksiyonda yerine koyarak tepe noktasının y koordinatını buluruz: \(f(3) = (3 - 3)^2 = 0^2 = 0\).

Bu nedenle, fonksiyonun tepe noktasının koordinatları \((3, 0)\) olur. ✅

Kesirli ifadelerde, paydanın sıfır olmaması gerekmektedir.

• Verilen fonksiyon \(f(x) = \frac{1}{x-2}\) şeklindedir.
• Bu fonksiyonda payda \((x-2)\)'dir.
• Eğer payda sıfır olursa, ifade tanımsız olur.
• Paydayı sıfıra eşitleyelim: \(x - 2 = 0\)
• Buradan \(x = 2\) elde ederiz.

Yani, \(x=2\) değeri için fonksiyon tanımsızdır. Bu nedenle, \(f(x)\) fonksiyonunun tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) yani 2 sayısı hariç tüm reel sayılardır. Bu, fonksiyonun grafiğinin \(x=2\) doğrusuna (dikey asimptot) yaklaştığını ancak bu doğru üzerinde tanımlı olmadığını gösterir. ⚠️