🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Rasyonel Fonksiyonların Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Rasyonel Fonksiyonların Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Rasyonel Fonksiyonun Tanımı: \( f(x) = \frac{x+5}{x-3} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 💡
Çözüm:
- Rasyonel bir fonksiyonun tanımsız olması için paydasının sıfır olması gerekir.
- Paydayı sıfıra eşitleyelim: \( x - 3 = 0 \)
- Buradan \( x = 3 \) bulunur.
- Demek ki bu fonksiyon \( x = 3 \) değerinde tanımsızdır.
- Sonuç: Tanım kümesi \( R - \{3\} \) kümesidir. ✅
Örnek 2:
Tanımsızlık Durumu: \( g(x) = \frac{2x}{x^2 - 16} \) fonksiyonunu tanımsız yapan \( x \) değerlerini bulunuz. 📌
Çözüm:
- Payda olan \( x^2 - 16 \) ifadesini sıfıra eşitleyelim.
- \( x^2 - 16 = 0 \) denklemi iki kare farkı kuralı ile \( (x-4)(x+4) = 0 \) şeklinde yazılır.
- Buradan \( x = 4 \) ve \( x = -4 \) değerleri bulunur.
- Sonuç: Fonksiyonu tanımsız yapan değerler \( 4 \) ve \( -4 \) tür. ✅
Örnek 3:
Günlük Hayat: Bir havuzun dolma hızı \( v(t) = \frac{100}{t+2} \) fonksiyonu ile modellenmiştir. Havuzun dolması için geçen süre \( t \) saat olduğuna göre, başlangıç anında (\( t=0 \)) havuzun dolma hızı nedir? 💧
Çözüm:
- Başlangıç anı için \( t = 0 \) değerini fonksiyonda yerine yazmalıyız.
- \( v(0) = \frac{100}{0+2} \)
- \( v(0) = \frac{100}{2} = 50 \)
- Sonuç: Başlangıç anında hız saatte 50 birimdir. ✅
Örnek 4:
Fonksiyon Değeri: \( h(x) = \frac{x^2 - 9}{x+3} \) fonksiyonu için \( h(2) \) değerini hesaplayınız. 🔢
Çözüm:
- Fonksiyonda \( x \) gördüğümüz yere \( 2 \) yazalım.
- \( h(2) = \frac{2^2 - 9}{2+3} \)
- \( h(2) = \frac{4 - 9}{5} \)
- \( h(2) = \frac{-5}{5} = -1 \)
- Sonuç: Fonksiyonun \( 2 \) noktasındaki değeri \( -1 \) dir. ✅
Örnek 5:
Sadeleşebilen Fonksiyon: \( f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x-2} \) fonksiyonunun en sade halini bulunuz. ✂️
Çözüm:
- Pay kısmındaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım: \( x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \)
- Fonksiyonu şu şekilde yazabiliriz: \( f(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{x-2} \)
- \( x \) değeri \( 2 \) den farklı olmak şartıyla \( (x-2) \) terimleri sadeleşir.
- Sonuç: Fonksiyonun en sade hali \( f(x) = x-3 \) (x ≠ 2 şartıyla) olur. ✅
Örnek 6:
Beceri Temelli: Bir şirketin birim maliyet fonksiyonu \( C(x) = \frac{5000 + 20x}{x} \) olarak belirlenmiştir. Üretim miktarı \( x \) arttıkça birim maliyetin nasıl değiştiğini yorumlayınız. 📈
Çözüm:
- Fonksiyonu parçalı şekilde yazalım: \( C(x) = \frac{5000}{x} + \frac{20x}{x} = \frac{5000}{x} + 20 \)
- \( x \) değeri büyüdükçe \( \frac{5000}{x} \) ifadesi küçülür.
- Bu durum, üretim miktarı arttıkça birim maliyetin azaldığını gösterir.
- Sonuç: Üretim arttıkça birim maliyet 20 TL değerine yaklaşarak azalır. ✅
Örnek 7:
Tanım Kümesi Analizi: \( f(x) = \frac{x+1}{x^2 - ax + 9} \) fonksiyonunun her gerçel sayı için tanımlı olması için \( a \) hangi aralıkta olmalıdır? 🔍
Çözüm:
- Fonksiyonun her gerçel sayı için tanımlı olması demek, paydanın hiçbir zaman sıfır olmaması demektir.
- Payda olan \( x^2 - ax + 9 = 0 \) denkleminin kökü olmamalıdır.
- Diskriminant (\( \Delta \)) sıfırdan küçük olmalıdır: \( \Delta = b^2 - 4ac < 0 \)
- \( (-a)^2 - 4 \times 1 \times 9 < 0 \)
- \( a^2 - 36 < 0 \)
- \( (a-6)(a+6) < 0 \)
- Sonuç: \( a \) değeri \( (-6, 6) \) aralığında olmalıdır. ✅
Örnek 8:
Günlük Hayat: Bir aracın bir yolu tamamlama süresi \( t(v) = \frac{480}{v} \) saat olarak veriliyor. Hız (\( v \)) arttıkça sürenin nasıl değiştiğini açıklayınız. 🚗
Çözüm:
- Bu bir ters orantı fonksiyonudur.
- Hız (\( v \)) paydada olduğu için \( v \) arttıkça \( t(v) \) değeri azalır.
- Örneğin hız 60 km/s ise \( t = 8 \) saat, hız 80 km/s ise \( t = 6 \) saat olur.
- Sonuç: Hız arttıkça varış süresi kısalır, bu durum rasyonel fonksiyonların ters orantı karakterini gösterir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-gercek-sayilarda-rasyonel-fonksiyonlarin-nitel-ozellikleri/sorular