💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda karesel fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

Tepe noktasını bulmak için öncelikle karesel fonksiyonun genel formunu hatırlayalım: \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Bu fonksiyonumuzda \( a = 1 \), \( b = -4 \) ve \( c = 3 \) değerleridir. 1. Adım:* Tepe noktasının apsisini (x-koordinatını) hesaplayalım. Bunun için \( x_t = -\frac{b}{2a} \) formülünü kullanırız. \( x_t = -\frac{-4}{2 \times 1} = -\frac{-4}{2} = 2 \) 2. Adım:* Bulduğumuz apsis değerini fonksiyonda yerine koyarak tepe noktasının ordinatını (y-koordinatını) bulalım. \( f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \) 3. Adım:* Tepe noktasının koordinatlarını yazalım. Tepe noktası \( T(2, -1) \) olur. ✅

Bir karesel fonksiyonun grafiğinin x eksenini kestiği noktalar, fonksiyonun kökleridir. Yani \( g(x) = 0 \) denkleminin çözümleridir. 1. Adım:* Fonksiyonu sıfıra eşitleyelim. \( -x^2 + 6x - 5 = 0 \) 2. Adım:* Denklemi daha kolay çözmek için her terimi -1 ile çarpalım. \( x^2 - 6x + 5 = 0 \) 3. Adım:* Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözelim. Çarpımları 5, toplamları -6 olan iki sayı -1 ve -5'tir. \( (x - 1)(x - 5) = 0 \) 4. Adım:* Her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek x değerlerini bulalım. \( x - 1 = 0 \implies x_1 = 1 \) \( x - 5 = 0 \implies x_2 = 5 \) 5. Adım:* Grafiğin x eksenini kestiği noktalar \( (1, 0) \) ve \( (5, 0) \) noktalarıdır. 👉

Bir fonksiyonun grafiğinin y eksenini kestiği nokta, x'in 0'a eşit olduğu noktadır. Yani \( h(0) \) değerini hesaplamamız gerekir. 1. Adım:* Fonksiyonda x yerine 0 yazalım. \( h(0) = (0)^2 + 2(0) + 5 \) 2. Adım:* Hesaplamayı yapalım. \( h(0) = 0 + 0 + 5 = 5 \) 3. Adım:* Grafiğin y eksenini kestiği nokta \( (0, 5) \) noktasıdır. ✅

Fonksiyonun grafiğinin y eksenini kestiği nokta \( (0, 9) \) olduğuna göre, bu nokta fonksiyonun denklemini sağlamalıdır. 1. Adım:* Fonksiyon denkleminde x yerine 0, y yerine 9 yazalım. \( 9 = (0)^2 - 6(0) + k \) 2. Adım:* Denklemdeki bilinen değerleri hesaplayalım. \( 9 = 0 - 0 + k \) \( 9 = k \) 3. Adım:* Bu durumda k'nin değeri 9'dur. Fonksiyon \( y = x^2 - 6x + 9 \) şeklindedir. 💡

Topun havadaki kalma süresi, topun yere düştüğü anlara karşılık gelir. Yani \( H(t) = 0 \) olduğu zamanları bulmalıyız. 1. Adım:* Yükseklik fonksiyonunu sıfıra eşitleyelim. \( -5t^2 + 20t = 0 \) 2. Adım:* Ortak çarpan parantezine alarak denklemi çözelim. Ortak çarpan \( -5t \)'dir. \( -5t(t - 4) = 0 \) 3. Adım:* Her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek t değerlerini bulalım. \( -5t = 0 \implies t_1 = 0 \) (Bu topun havaya atıldığı an) \( t - 4 = 0 \implies t_2 = 4 \) (Bu topun yere düştüğü an) 4. Adım:* Topun havadaki kalma süresi, yere düştüğü an ile havaya atıldığı an arasındaki farktır. Süre = \( t_2 - t_1 = 4 - 0 = 4 \) saniye. ✅ Top en fazla 4 saniye havada kalır.

Depodaki su miktarını bulmak için verilen zaman değerini (3 saniye) fonksiyonun içindeki t yerine yazmalıyız. 1. Adım:* Fonksiyonda t yerine 3 yazalım. \( V(3) = 2(3)^2 + 3(3) \) 2. Adım:* İşlemleri adım adım yapalım. \( V(3) = 2(9) + 9 \) \( V(3) = 18 + 9 \) \( V(3) = 27 \) 3. Adım:* 3 saniye sonunda depoda 27 litre su olur. 💡

Bir karesel fonksiyonun grafiğinin x eksenine teğet olup olmadığını anlamak için diskriminant ( \( \Delta = b^2 - 4ac \) ) değerine bakarız. 1. Adım:* Fonksiyonun katsayılarını belirleyelim: \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = 16 \). 2. Adım:* Diskriminantı hesaplayalım. \( \Delta = (-8)^2 - 4(1)(16) \) \( \Delta = 64 - 64 \) \( \Delta = 0 \) 3. Adım:* Diskriminantın değerini yorumlayalım. Eğer \( \Delta = 0 \) ise, karesel fonksiyonun denkleminin yalnızca bir tane (çakışık) kökü vardır. Bu da grafiğin x eksenini yalnızca bir noktada kestiği, yani x eksenine teğet olduğu anlamına gelir. ✅ Bu nedenle, \( f(x) = x^2 - 8x + 16 \) fonksiyonunun grafiği x eksenine teğettir.

Tepe noktası bilinen karesel fonksiyonların genel denklemi \( f(x) = a(x - x_t)^2 + y_t \) şeklindedir. Burada \( (x_t, y_t) \) tepe noktasının koordinatlarıdır. 1. Adım:* Verilen tepe noktası \( T(-1, 5) \) bilgilerini genel denklemde yerine koyalım. \( x_t = -1 \) ve \( y_t = 5 \) \( f(x) = a(x - (-1))^2 + 5 \) \( f(x) = a(x + 1)^2 + 5 \) 2. Adım:* Fonksiyonun y eksenini \( (0, 6) \) noktasında kestiği bilgisi, bu noktanın fonksiyonu sağladığı anlamına gelir. Yani \( f(0) = 6 \). Bu bilgiyi kullanarak 'a' katsayısını bulalım. \( 6 = a(0 + 1)^2 + 5 \) \( 6 = a(1)^2 + 5 \) \( 6 = a + 5 \) 3. Adım:* 'a' katsayısını bulmak için denklemi çözelim. \( a = 6 - 5 \) \( a = 1 \) 4. Adım:* Bulduğumuz 'a' değerini tepe noktası formundaki denklemde yerine yazarak fonksiyonun denklemini oluşturalım. \( f(x) = 1(x + 1)^2 + 5 \) \( f(x) = (x + 1)^2 + 5 \) İstenirse bu ifade açılabilir: \( f(x) = x^2 + 2x + 1 + 5 = x^2 + 2x + 6 \). ✅ Karesel fonksiyonun denklemi \( f(x) = (x + 1)^2 + 5 \) veya \( f(x) = x^2 + 2x + 6 \) olur.