💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda karesel fonksiyonlar nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda karesel fonksiyonlar nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
Bir karesel fonksiyonun grafiği, parabol denilen bir eğridir. \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiğini inceleyelim.
Bu fonksiyonun grafiği orijinden geçen ve yukarı doğru açılan bir paraboldür.
Fonksiyonun tepe noktası orijindedir, yani \( (0,0) \) noktasıdır.
Simetri ekseni y-eksenidir, yani \( x=0 \) doğrusudur.
Fonksiyonun en küçük değeri (minimum değer) 0'dır.
Bu fonksiyonun reel kökleri sadece \( x=0 \) noktasıdır.
👉 Bu temel parabol, diğer tüm karesel fonksiyon grafiklerinin temelini oluşturur.
\( f(x) = x^2 \) Fonksiyonunun Grafiği ve Özellikleri:
- Grafik Şekli: Yukarı doğru açılan bir paraboldür.
- Tepe Noktası: \( T(0,0) \) (Orijin).
- Simetri Ekseni: \( x=0 \) (y-ekseni).
- Minimum Değer: Fonksiyonun alabileceği en küçük değer 0'dır.
- Kökler: Fonksiyonun grafiğinin x-eksenini kestiği noktalardır. \( x^2 = 0 \) denkleminin tek kökü \( x=0 \) 'dır.
- Tanım Kümesi: Tüm reel sayılar ( \( \mathbb{R} \) ).
- Görüntü Kümesi: \( [0, \infty) \) (0'dan büyük veya eşit reel sayılar).
💡 Bu, en basit karesel fonksiyondur ve diğerlerinin anlaşılması için iyi bir başlangıç noktasıdır.
Şimdi kaydırılmış bir parabolü inceleyelim: \( g(x) = (x-2)^2 \).
Bu fonksiyon, \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiğinin x-ekseni boyunca sağa doğru 2 birim kaydırılmış halidir.
📌 Grafiğin şekli aynı kalır, ancak konumu değişir.
\( g(x) = (x-2)^2 \) Fonksiyonunun Özellikleri:
- Grafik Şekli: Yukarı doğru açılan bir paraboldür.
- Tepe Noktası: \( T(2,0) \). (x-2=0 ise x=2, y=0).
- Simetri Ekseni: \( x=2 \) doğrusudur.
- Minimum Değer: 0'dır.
- Kökler: \( (x-2)^2 = 0 \) denkleminin tek kökü \( x=2 \) 'dir.
- Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} \).
- Görüntü Kümesi: \( [0, \infty) \).
👉 Tepe noktasının x-koordinatı, simetri eksenini ve kökü verir.
Bir de yukarı doğru kaydırılmış bir parabol düşünelim: \( h(x) = x^2 + 3 \).
Bu fonksiyon, \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiğinin y-ekseni boyunca yukarı doğru 3 birim kaydırılmış halidir.
\( h(x) = x^2 + 3 \) Fonksiyonunun Özellikleri:
- Grafik Şekli: Yukarı doğru açılan bir paraboldür.
- Tepe Noktası: \( T(0,3) \). (x=0, y=3).
- Simetri Ekseni: \( x=0 \) (y-ekseni).
- Minimum Değer: 3'tür. (Çünkü \( x^2 \ge 0 \) olduğundan \( x^2 + 3 \ge 3 \) olur.)
- Kökler: \( x^2 + 3 = 0 \) denkleminin reel kökü yoktur. ( \( x^2 = -3 \) denkleminin reel çözümü yoktur.)
- Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} \).
- Görüntü Kümesi: \( [3, \infty) \).
💡 Sabit terim, grafiğin y-ekseni boyunca kaymasını sağlar.
Şimdi aşağı doğru açılan bir parabol inceleyelim: \( k(x) = -x^2 \).
Bu fonksiyon, \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiğinin x-eksenine göre simetriğidir.
Grafik aşağı doğru açılır.
\( k(x) = -x^2 \) Fonksiyonunun Özellikleri:
- Grafik Şekli: Aşağı doğru açılan bir paraboldür.
- Tepe Noktası: \( T(0,0) \) (Orijin).
- Simetri Ekseni: \( x=0 \) (y-ekseni).
- Maksimum Değer: 0'dır. (Çünkü \( -x^2 \le 0 \) olduğundan fonksiyonun alabileceği en büyük değer 0'dır.)
- Kökler: \( -x^2 = 0 \) denkleminin tek kökü \( x=0 \) 'dır.
- Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} \).
- Görüntü Kümesi: \( (-\infty, 0] \) (0'dan küçük veya eşit reel sayılar).
👉 Katsayı (a) negatif olduğunda parabol aşağı doğru açılır.
Genel bir karesel fonksiyon olan \( p(x) = 2x^2 - 4x + 5 \) fonksiyonunun özelliklerini bulalım.
Bu fonksiyonun grafiği de bir paraboldür.
Katsayılar: \( a=2 \), \( b=-4 \), \( c=5 \).
a'nın işareti (2 > 0) parabolün yukarı doğru açıldığını gösterir. 💡
\( p(x) = 2x^2 - 4x + 5 \) Fonksiyonunun Özellikleri:
- Grafik Şekli: Yukarı doğru açılan bir paraboldür (a=2 > 0).
- Tepe Noktası: Tepe noktasının x-koordinatı \( x_T = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
\( x_T = -\frac{-4}{2 \times 2} = -\frac{-4}{4} = 1 \)
Tepe noktasının y-koordinatı ise \( p(x_T) \) olarak bulunur.
\( y_T = p(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 2 - 4 + 5 = 3 \)
Tepe Noktası: \( T(1,3) \). - Simetri Ekseni: \( x = x_T \) doğrusudur, yani \( x=1 \) doğrusudur.
- Minimum Değer: Tepe noktasının y-koordinatı olan 3'tür (parabol yukarı doğru açıldığı için).
- Kökler: Diskriminantı ( \( \Delta = b^2 - 4ac \) ) hesaplayalım.
\( \Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 5 = 16 - 40 = -24 \)
Diskriminant negatif ( \( \Delta < 0 \) ) olduğu için fonksiyonun reel kökü yoktur. Grafik x-eksenini kesmez. - Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} \).
- Görüntü Kümesi: \( [3, \infty) \) (Tepe noktasının y-koordinatından başlar).
👉 Genel formdaki karesel fonksiyonların tepe noktası ve kökleri için bu formülleri kullanmak önemlidir.
Bir sporcu, basketbol topunu yerden h = -0.5t^2 + 3t formülü ile verilen yükseklikte (metre cinsinden) t saniye sonra havada olduğunu göstermektedir.
Bu formül, topun hareketini bir karesel fonksiyon ile modellemektedir.
Bu topun ulaşabileceği en yüksek yükseklik ne kadardır ve bu yüksekliğe kaç saniye sonra ulaşır?
👉 Bu soruyu çözmek için tepe noktasının özelliklerini kullanacağız.
Basketbol Topunun Hareketini Modelleyen Karesel Fonksiyon:
- Fonksiyon: \( h(t) = -0.5t^2 + 3t \)
- Bu bir karesel fonksiyondur ve grafiği aşağı doğru açılan bir paraboldür ( \( a = -0.5 < 0 \) ).
- En yüksek yükseklik, parabolün tepe noktasının y-koordinatı ile bulunur.
- Tepe noktasının x-koordinatı (burada t-koordinatı), en yüksek yüksekliğe ulaşılacak zamanı verir.
- t-koordinatı (zaman): \( t_T = -\frac{b}{2a} \)
- \( t_T = -\frac{3}{2 \times (-0.5)} = -\frac{3}{-1} = 3 \) saniye.
- Yani top, 3 saniye sonra en yüksek yüksekliğe ulaşacaktır.
- En Yüksek Yükseklik (h-koordinatı): \( h(3) \) değerini hesaplayalım.
- \( h(3) = -0.5(3)^2 + 3(3) = -0.5(9) + 9 = -4.5 + 9 = 4.5 \) metre.
✅ Sonuç olarak, top 3 saniye sonra en yüksek yüksekliğe ulaşır ve bu yükseklik 4.5 metredir.
Bir köprünün eğimli kablolarının veya bir su sıçramasının izlediği yol, genellikle bir parabol şeklindedir.
Örneğin, bir fıskiyeden çıkan suyun havada izlediği yolun denklemi \( y = -x^2 + 4x \) şeklinde verilebilir. Burada x, yatay mesafeyi (metre) ve y, dikey yüksekliği (metre) temsil etmektedir.
Bu su sıçramasının ulaşabileceği en yüksek noktanın yerden yüksekliği nedir?
📌 Bu, karesel fonksiyonların günlük hayattaki bir uygulamasıdır.
Su Sıçramasının En Yüksek Noktasını Bulma:
- Verilen fonksiyon: \( y = -x^2 + 4x \)
- Bu fonksiyon, suyun izlediği parabolü temsil eder.
- Parabolün şekli aşağı doğrudur ( \( a = -1 < 0 \) ).
- En yüksek nokta, parabolün tepe noktasının y-koordinatıdır.
- Önce tepe noktasının x-koordinatını bulalım: \( x_T = -\frac{b}{2a} \)
- Burada \( a=-1 \) ve \( b=4 \).
- \( x_T = -\frac{4}{2 \times (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2 \) metre.
- Yani su sıçraması, yatayda 2 metre ilerlediğinde en yüksek noktasına ulaşır.
- Şimdi bu x değerini fonksiyonda yerine koyarak en yüksek yüksekliği bulalım: \( y_T = y(2) \)
- \( y(2) = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4 \) metre.
✅ Su sıçraması, yerden 4 metre yükseğe ulaşır.
\( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) karesel fonksiyonunun grafiği çizildiğinde:
- Grafiğin tepe noktası hangi koordinatlarda bulunur?
- Grafiğin x-eksenini kestiği noktalar (kökler) nelerdir?
- Grafiğin y-eksenini kestiği nokta neresidir?
Bu bilgileri kullanarak grafiğin nitel özelliklerini belirleyebiliriz.
\( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) Fonksiyonunun Grafiğinin Nitel Özellikleri:
- Katsayılar: \( a=1 \), \( b=-6 \), \( c=5 \).
- Grafik Şekli: Yukarı doğru açılan bir paraboldür ( \( a=1 > 0 \) ).
- Tepe Noktası:
\( x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 \)
\( y_T = f(3) = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \)
Tepe Noktası: \( T(3, -4) \). - x-eksenini Kestiği Noktalar (Kökler):
\( x^2 - 6x + 5 = 0 \) denklemini çözelim.
Çarpanlara ayırma: \( (x-1)(x-5) = 0 \)
Kökler: \( x=1 \) ve \( x=5 \).
Kökler: \( (1,0) \) ve \( (5,0) \). - y-eksenini Kestiği Nokta:
Fonksiyonda \( x=0 \) konulur.
\( f(0) = (0)^2 - 6(0) + 5 = 5 \)
y-eksenini Kestiği Nokta: \( (0,5) \). - Simetri Ekseni: \( x = 3 \)
- Minimum Değer: -4
✅ Bu bilgilerle, grafiğin genel şeklini, en alçak noktasını ve x-eksenini kestiği yerleri belirleyebiliriz.
Bir fırlatılan cismin (örneğin bir top) havada izlediği yolun yüksekliği h(t) = -5t^2 + 40t + 10 formülü ile verilmektedir. Burada t saniye cinsinden zaman ve h metre cinsinden yüksekliktir.
Bu cismin en fazla kaç metre yüksekliğe ulaşabileceğini ve bu yüksekliğe kaç saniye sonra ulaşacağını bulunuz.
Bu, karesel fonksiyonların fiziksel hareketleri modellemesindeki bir örnektir.
Fırlatılan Cismin Yüksekliğini Hesaplama:
- Verilen fonksiyon: \( h(t) = -5t^2 + 40t + 10 \)
- Bu, aşağı doğru açılan bir paraboldür ( \( a = -5 < 0 \) ).
- En yüksek yüksekliği bulmak için tepe noktasının y-koordinatını hesaplamalıyız.
- Önce tepe noktasının t-koordinatını bulalım: \( t_T = -\frac{b}{2a} \)
- Burada \( a=-5 \) ve \( b=40 \).
- \( t_T = -\frac{40}{2 \times (-5)} = -\frac{40}{-10} = 4 \) saniye.
- Cisim, 4 saniye sonra en yüksek yüksekliğe ulaşacaktır.
- Şimdi bu t değerini fonksiyonda yerine koyarak en yüksek yüksekliği bulalım: \( h_{max} = h(4) \)
- \( h(4) = -5(4)^2 + 40(4) + 10 = -5(16) + 160 + 10 = -80 + 160 + 10 = 90 \) metre.
✅ Cisim, 4 saniye sonra 90 metre yüksekliğe ulaşır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-gercek-sayilarda-karesel-fonksiyonlar-nitel-ozellikleri/sorular