🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda karekök fonksiyonları Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda karekök fonksiyonları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki kareköklerin değerlerini bulunuz:
a) \( \sqrt{36} \)
b) \( \sqrt{144} \)
c) \( \sqrt{0.25} \)
a) \( \sqrt{36} \)
b) \( \sqrt{144} \)
c) \( \sqrt{0.25} \)
Çözüm:
Bu örnekte, tam kare sayılar ve ondalık sayıların kareköklerini hesaplayacağız. 💡
- a) \( \sqrt{36} \): Hangi sayının karesi 36'dır? 6'nın karesi 36'dır. Dolayısıyla, \( \sqrt{36} = 6 \). ✅
- b) \( \sqrt{144} \): Hangi sayının karesi 144'tür? 12'nin karesi 144'tür. Dolayısıyla, \( \sqrt{144} = 12 \). ✅
- c) \( \sqrt{0.25} \): Ondalık sayının karekökünü almak için onu kesirli ifadeye çevirebiliriz: \( 0.25 = \frac{25}{100} \). Şimdi karekök alalım: \( \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0.5 \). Dolayısıyla, \( \sqrt{0.25} = 0.5 \). ✅
Örnek 2:
\( \sqrt{a^2} \) ifadesinin değeri \( a \) ve \( -a \) için ne olur?
Çözüm:
Karekök alma işlemi, sayının negatif olmayan değerini verir. Bu nedenle, \( \sqrt{a^2} \) ifadesinin sonucu her zaman \( a \)'nın mutlak değeridir. 👉
- Eğer \( a \ge 0 \) ise, \( \sqrt{a^2} = a \). Örneğin, \( \sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5 \). ✅
- Eğer \( a < 0 \) ise, \( \sqrt{a^2} = -a \). Örneğin, \( \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \). Burada \( -a = -(-5) = 5 \) olur. ✅
Örnek 3:
\( \sqrt{18} \) ifadesini sadeleştiriniz.
Çözüm:
Kök dışına çıkarılabilecek çarpanları bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayıracağız. 🚀
- 18'in asal çarpanları: \( 18 = 2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^2 \).
- Şimdi karekök alalım: \( \sqrt{18} = \sqrt{2 \times 3^2} \).
- Karekökün özelliğini kullanarak: \( \sqrt{2 \times 3^2} = \sqrt{2} \times \sqrt{3^2} = \sqrt{2} \times 3 \).
- Sadeleştirilmiş hali: \( 3\sqrt{2} \). ✅
Örnek 4:
\( 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Bu işlemde, kök kısımları aynı olan terimleri toplayabiliriz. Tıpkı benzer terimleri toplar gibi. ➕
- Kök kısımları \( \sqrt{3} \) olan terimleri bir araya getirelim: \( (5+2)\sqrt{3} \).
- Toplama işlemini yapalım: \( 7\sqrt{3} \). ✅
Örnek 5:
\( \sqrt{50} \times \sqrt{2} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Köklerin dereceleri aynı olduğu için, kök içlerini çarpabiliriz. ✖️
- Kök alma kuralı: \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \).
- Bu kuralı uygulayalım: \( \sqrt{50} \times \sqrt{2} = \sqrt{50 \times 2} \).
- Çarpma işlemini yapalım: \( \sqrt{100} \).
- Son olarak, 100'ün karekökünü alalım: \( \sqrt{100} = 10 \). ✅
Örnek 6:
Bir kenar uzunluğu \( \sqrt{72} \) cm olan karenin alanını ve çevresini hesaplayınız.
Çözüm:
Karenin alanını ve çevresini hesaplamak için kenar uzunluğunu kullanacağız. 📐
- Karenin Alanı: Alan = Kenar × Kenar = Kenar\(^2\).
- Kenar uzunluğu \( \sqrt{72} \) cm ise, alan: \( (\sqrt{72})^2 \).
- Karekökün karesi kendisine eşittir: \( (\sqrt{72})^2 = 72 \) cm\(^2\). ✅
- Karenin Çevresi: Çevre = 4 × Kenar.
- Kenar uzunluğu \( \sqrt{72} \) cm ise, çevre: \( 4 \times \sqrt{72} \).
- \( \sqrt{72} \) ifadesini sadeleştirelim: \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) cm.
- Şimdi çevreyi hesaplayalım: \( 4 \times 6\sqrt{2} = 24\sqrt{2} \) cm. ✅
Örnek 7:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini tasarlarken \( \sqrt{200} \) metre uzunluğunda bir kiriş kullanmayı planlıyor. Bu kirişin uzunluğunu daha anlaşılır bir şekilde ifade etmek için sadeleştiriniz.
Çözüm:
Mühendisin kullandığı kirişin uzunluğunu sadeleştirerek daha pratik bir değer elde edeceğiz. 🏗️
- Kirişin uzunluğu \( \sqrt{200} \) metredir.
- Sadeleştirmek için 200'ü çarpanlarına ayıralım: \( 200 = 100 \times 2 \).
- Karekök alırken tam kare çarpanları dışarı çıkarabiliriz: \( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} \).
- \( \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} \).
- \( \sqrt{100} = 10 \) olduğundan, ifade \( 10\sqrt{2} \) metre olur. ✅
Örnek 8:
\( \frac{\sqrt{72} + \sqrt{18}}{\sqrt{2}} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda, paydaki köklü ifadeleri sadeleştirip ardından bölme işlemini yapacağız. 💪
- Öncelikle paydaki ifadeleri sadeleştirelim:
- \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \)
- \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \)
- Şimdi payı toplayalım: \( 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (6+3)\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \).
- İşlemimiz şu hale geldi: \( \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \).
- Pay ve paydadaki \( \sqrt{2} \) ifadeleri sadeleşir: \( \frac{9\cancel{\sqrt{2}}}{\cancel{\sqrt{2}}} = 9 \). ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-gercek-sayilarda-karekok-fonksiyonlari/sorular