📄 10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda karekök fonksiyonları Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bir karekök fonksiyonunun gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için karekök içindeki ifadelerin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Bu fonksiyonda iki ayrı karekök ifadesi bulunduğundan, her ikisi için de koşulları sağlamalıyız.

1. İlk karekök için: \(x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2\)

2. İkinci karekök için: \(7-x \ge 0 \Rightarrow 7 \ge x \Rightarrow x \le 7\)

Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiğinden, bu iki eşitsizliğin kesişimini almalıyız.

\(x \ge 2\) ve \(x \le 7\) koşullarını birleştirdiğimizde \(2 \le x \le 7\) elde ederiz.

Bu durumda fonksiyonun en geniş tanım kümesi \([2, 7]\) kapalı aralığıdır.

💡 Çözüm Adımları:

Denklemi çözmek için her iki tarafın karesini alalım:

\((\sqrt{2x+1})^2 = (x-1)^2\)

\(2x+1 = x^2 - 2x + 1\)

Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

\(x^2 - 2x - 2x + 1 - 1 = 0\)

\(x^2 - 4x = 0\)

Denklemi çarpanlarına ayıralım:

\(x(x-4) = 0\)

Buradan \(x = 0\) veya \(x = 4\) olmak üzere iki olası çözüm bulunur.



Ancak, karekök içeren denklemlerde her zaman bulunan kökleri orijinal denklemde kontrol etmek gerekir, çünkü karesi alma işlemi yabancı kökler üretebilir.

1. \(x = 0\) için kontrol:

\(\sqrt{2(0)+1} = 0-1\)

\(\sqrt{1} = -1\)

\(1 = -1\) (Yanlış)

Bu durumda \(x=0\) bir yabancı köktür ve çözüm kümesine dahil edilemez.



2. \(x = 4\) için kontrol:

\(\sqrt{2(4)+1} = 4-1\)

\(\sqrt{8+1} = 3\)

\(\sqrt{9} = 3\)

\(3 = 3\) (Doğru)

Bu durumda \(x=4\) denklemi sağlar.



Ayrıca, karekök içindeki ifadenin \(2x+1 \ge 0\) olması ve karekökün sonucunun (sağ tarafın) negatif olmaması, yani \(x-1 \ge 0\) koşulu da sağlanmalıdır.

* \(x=0\) için: \(2(0)+1 = 1 \ge 0\) (sağlar), ancak \(0-1 = -1 < 0\) (sağlamaz). Bu yüzden \(x=0\) yabancı köktür.

* \(x=4\) için: \(2(4)+1 = 9 \ge 0\) (sağlar) ve \(4-1 = 3 \ge 0\) (sağlar).



Dolayısıyla, denklemin çözüm kümesi sadece \(\{4\}\)tür.

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle fonksiyonun tanım kümesini bulalım:

Karekök içindeki ifade sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır: \(x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3\).

Tanım kümesi: \([-3, \infty)\)



Şimdi görüntü kümesini bulalım:

\(x \ge -3\) olduğundan, \(x+3 \ge 0\).

Dolayısıyla, \(\sqrt{x+3} \ge 0\).

İfadeyi eksi ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir: \(-\sqrt{x+3} \le 0\).

Her tarafa 2 eklersek: \(-\sqrt{x+3} + 2 \le 2\).

Yani \(y \le 2\).

Görüntü kümesi: \((-\infty, 2]\)



Grafiği çizmek için bazı noktaları belirleyelim:

* \(x = -3\) için \(y = -\sqrt{-3+3} + 2 = -\sqrt{0} + 2 = 2\). Nokta: \((-3, 2)\) (Başlangıç noktası)

* \(x = -2\) için \(y = -\sqrt{-2+3} + 2 = -\sqrt{1} + 2 = -1 + 2 = 1\). Nokta: \((-2, 1)\)

* \(x = 1\) için \(y = -\sqrt{1+3} + 2 = -\sqrt{4} + 2 = -2 + 2 = 0\). Nokta: \((1, 0)\) (\(x\)-eksenini kestiği nokta)

* \(x = 6\) için \(y = -\sqrt{6+3} + 2 = -\sqrt{9} + 2 = -3 + 2 = -1\). Nokta: \((6, -1)\)



Grafik, \(y = \sqrt{x}\) fonksiyonunun grafiğinin:

1. \(x\)-ekseninde 3 birim sola ötelenmesi (\(y = \sqrt{x+3}\)).

2. \(x\)-eksenine göre yansıması (\(y = -\sqrt{x+3}\)).

3. \(y\)-ekseninde 2 birim yukarı ötelenmesi (\(y = -\sqrt{x+3} + 2\)).



Grafik, \((-3, 2)\) noktasından başlar ve sağa doğru azalarak devam eder. \(x\)-eksenini \((1, 0)\) noktasında keser. Grafiğin çizimi için bu noktalar ve dönüşümler yol göstericidir.