💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda karekök fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

Gerçek sayılarda karekök fonksiyonu, negatif olmayan bir reel sayının karekökünü alır.

1. \( \sqrt{16} \): Hangi sayının karesi 16'dır? Bu sayı 4'tür. Dolayısıyla, \( \sqrt{16} = 4 \). 💡
2. \( \sqrt{144} \): Hangi sayının karesi 144'tür? Bu sayı 12'dir. Dolayısıyla, \( \sqrt{144} = 12 \). ✅
3. \( \sqrt{0} \): Hangi sayının karesi 0'dır? Bu sayı 0'dır. Dolayısıyla, \( \sqrt{0} = 0 \). 📌

Karekök fonksiyonunun tanım kümesi gerçek sayılar için negatif olmayan reel sayılardır.

1. \( \sqrt{-9} \): Karekök içindeki sayı negatiftir (-9). Bu nedenle, bu ifade gerçek sayılar kümesinde tanımlı değildir. ❌
2. \( \sqrt{25} \): Karekök içindeki sayı pozitiftir (25). Bu ifade gerçek sayılar kümesinde tanımlıdır ve \( \sqrt{25} = 5 \)'tir. 👍

Öncelikle her bir karekökün değerini hesaplayalım:

• \( \sqrt{36} = 6 \) (Çünkü \( 6^2 = 36 \))
• \( \sqrt{49} = 7 \) (Çünkü \( 7^2 = 49 \))
• \( \sqrt{81} = 9 \) (Çünkü \( 9^2 = 81 \))

Şimdi bu değerleri yerine koyarak işlemi tamamlayalım: \( 6 + 7 - 9 = 13 - 9 = 4 \) Sonuç: \( 4 \) 💡

Karekök içindeki ifadenin karesi alındığında, sonuç her zaman pozitif olmalıdır. \( \sqrt{x^2} = |x| \) şeklinde ifade edilir. Burada \( x = -5 \) olduğundan, \( \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} \) \( \sqrt{25} = 5 \) Ayrıca, mutlak değer tanımından \( |-5| = 5 \) olarak bulunur. Sonuç: \( 5 \) ✅

Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun karesine eşittir. Alan \( A \) ve kenar uzunluğu \( a \) ise, \( A = a^2 \) formülü kullanılır. Çiftçinin tarlasının alanı \( A = 256 \) metrekare olarak verilmiş. Karenin bir kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü almalıyız: \( a = \sqrt{A} \) \( a = \sqrt{256} \) Hangi sayının karesi 256'dır? Bu sayıyı bulmak için deneme yanılma yapabiliriz veya bildiğimiz kareleri düşünebiliriz. \( 10^2 = 100 \), \( 20^2 = 400 \). Sayı 10 ile 20 arasında olmalı. \( 15^2 = 225 \), \( 16^2 = 256 \). Dolayısıyla, \( \sqrt{256} = 16 \). Çiftçi, tarlasının bir kenar uzunluğunu \( 16 \) metre olarak bulmuştur. 📏

Bu tür işlemlerde, karekök içindeki sayıları en sade hale getirmek için çarpanlarına ayırırız. Amaç, karekök dışına çıkabilen tam kare çarpanlar bulmaktır.

• \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)

Şimdi bu sadeleştirilmiş ifadeleri orijinal işlemde yerine koyalım: \( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \) Karekökleri aynı olan terimleri toplayıp çıkarabiliriz: \( (3 + 5 - 2)\sqrt{2} = (8 - 2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) Sonuç: \( 6\sqrt{2} \) 💡

Verilen formül \( A = \pi r^2 \) ve alan \( A = 72 \) cm², \( \pi \approx 3 \) olarak verilmiş. Yarıçapı \( r \) bulmak için formülü düzenleyelim: \( r^2 = \frac{A}{\pi} \) Verilen değerleri yerine koyalım: \( r^2 = \frac{72}{3} \) \( r^2 = 24 \) Şimdi yarıçapı bulmak için \( r^2 \)'nin karekökünü almalıyız: \( r = \sqrt{24} \) \( \sqrt{24} \) ifadesini en sade hale getirelim: \( \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = \sqrt{4} \times \sqrt{6} = 2\sqrt{6} \) Yarıçap yaklaşık olarak \( 2\sqrt{6} \) cm olmalıdır. Bu da yaklaşık \( 2 \times 2.45 \approx 4.9 \) cm'dir. Mühendisin yarıçapı yaklaşık \( 2\sqrt{6} \) cm olarak hesaplaması gerekir. 🏗️

Karekök içindeki ifadeyi inceleyelim: \( x^2 - 6x + 9 \). Bu ifade, tam kare bir ifadenin açılımıdır. \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) formülünü hatırlayalım. Burada \( a = x \) ve \( b = 3 \) alırsak: \( (x - 3)^2 = x^2 - 2(x)(3) + 3^2 = x^2 - 6x + 9 \) Yani, karekök içindeki ifade \( (x - 3)^2 \) olarak yazılabilir. Şimdi ifadeyi yeniden yazalım: \( \sqrt{(x - 3)^2} \) \( \sqrt{y^2} = |y| \) olduğunu biliyoruz. Bu durumda \( y = x - 3 \). Dolayısıyla, ifadenin en sade hali \( |x - 3| \) olur. Bu, \( x \) değerine bağlı olarak \( x - 3 \) veya \( -(x - 3) = 3 - x \) olabilir. Sonuç: \( |x - 3| \) 🔑