💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

Fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın değer kümesindeki karşılıklarına görüntü denir.
Fonksiyonun görüntü kümesi, tanım kümesindeki elemanların eşleştiği değerler kümesidir.
Verilenlere göre:

• \( f(1) = a \)
• \( f(2) = c \)
• \( f(3) = a \)

Bu eşleşmeler sonucunda değer kümesinde \( a \) ve \( c \) elemanları görüntü olarak elde edilmiştir.
Dolayısıyla, fonksiyonun görüntü kümesi \( G(f) = \{a, c\} \) olur. ✅

Fonksiyonun kuralı \( f(x) = 3x - 5 \) şeklindedir.
Bize \( f(4) \) değeri soruluyor. Bu, fonksiyonda \( x \) yerine 4 yazmamız gerektiği anlamına gelir.

• \( f(4) = 3 \times 4 - 5 \)
• \( f(4) = 12 - 5 \)
• \( f(4) = 7 \)

Sonuç olarak, \( f(4) = 7 \) bulunur. ✨

Fonksiyonun kuralı \( f(x) = \frac{x+1}{2} \) şeklindedir.
Bize \( f(a) = 5 \) olduğu bilgisi verilmiş.
Bu, fonksiyonda \( x \) yerine \( a \) yazdığımızda sonucun 5'e eşit olması demektir.

• \( f(a) = \frac{a+1}{2} = 5 \)
• Denklemi çözmek için her iki tarafı 2 ile çarparız: \( a+1 = 5 \times 2 \)
• \( a+1 = 10 \)
• \( a = 10 - 1 \)
• \( a = 9 \)

Bu durumda \( a \) değeri 9'dur. 💡

Bileşke fonksiyon \( (f \circ g)(x) \) demek, \( f(g(x)) \) demektir.
Önce \( g(2) \) değerini bulmalıyız:

• \( g(2) = 2 \times 2 - 3 \)
• \( g(2) = 4 - 3 \)
• \( g(2) = 1 \)

Şimdi bulduğumuz \( g(2) \) değerini \( f \) fonksiyonunda yerine yazmalıyız:

• \( (f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(1) \)
• \( f(1) = 1^2 + 1 \)
• \( f(1) = 1 + 1 \)
• \( f(1) = 2 \)

Sonuç olarak, \( (f \circ g)(2) = 2 \) bulunur. 💯

Fonksiyonumuz \( G(x) = -x^2 + 20x \) olup, \( x \) mağaza sayısını göstermektedir.
Bizden 5 mağazada satıldığında elde edilecek geliri bulmamız isteniyor. Yani \( G(5) \) değerini hesaplayacağız.

• \( G(5) = -(5)^2 + 20 \times 5 \)
• \( G(5) = -25 + 100 \)
• \( G(5) = 75 \)

Bu durumda, uygulama 5 mağazada satıldığında aylık 75 TL gelir elde edilecektir. 💰

Basım maliyeti fonksiyonu \( M(n) = 5n + 1000 \) şeklindedir.
\( n \) basılacak kitap sayısını temsil eder.
Bizden 200 kitap basıldığında toplam maliyet isteniyor, yani \( M(200) \) hesaplanmalıdır.

• \( M(200) = 5 \times 200 + 1000 \)
• \( M(200) = 1000 + 1000 \)
• \( M(200) = 2000 \)

Dolayısıyla, 200 kitap basıldığında toplam maliyet 2000 TL olacaktır. 💸

Gideceği mesafeye göre ödenecek ücreti \( Ü(x) \) ile gösterelim, burada \( x \) gidilen mesafeyi kilometre cinsinden temsil etsin.
Açılış ücreti sabit olduğu için bu, fonksiyonun sabit terimi olacaktır.
Kilometre başına alınan ücret ise değişken terimi oluşturur.
Fonksiyonun kuralı şu şekilde olur:

• \( Ü(x) = 3x + 5 \)

Şimdi 10 km'lik bir yolculuk için ödenecek ücreti hesaplayalım:

• \( Ü(10) = 3 \times 10 + 5 \)
• \( Ü(10) = 30 + 5 \)
• \( Ü(10) = 35 \)

Yani, 10 km'lik bir yolculuk için 35 TL ödenmesi gerekecektir. 🧾

Her iki tarifeyi de ayrı ayrı hesaplayalım:
Tarife A için fonksiyon:
Aylık ücreti \( T_A(x) \) ile gösterelim, burada \( x \) GB cinsinden veri kullanımıdır.

• \( T_A(x) = 2x + 50 \)

15 GB kullanım için Tarife A maliyeti:

• \( T_A(15) = 2 \times 15 + 50 \)
• \( T_A(15) = 30 + 50 \)
• \( T_A(15) = 80 \) TL

Tarife B için fonksiyon:
Tarife B'nin sabit bir ücreti vardır ve kullanım miktarına bağlı değildir.

• \( T_B(x) = 80 \) TL

15 GB kullanım için Tarife B maliyeti:

• \( T_B(15) = 80 \) TL

Sonuç olarak, 15 GB kullanım için her iki tarife de aynı maliyete (80 TL) sahiptir. ⚖️