💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Fonksiyon Olma Şartları ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler

Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün, değer kümesinde YALNIZCA BİR tane elemanla eşleşmesi gerekir. 👉 Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• A seçeneğinde tanım kümesindeki 1 elemanı hem 2 hem de 4 ile eşleşmiştir. Bu bir fonksiyon değildir. ❌
• B seçeneğinde tanım kümesindeki a, b, c elemanlarının her birinin değer kümesinde yalnızca birer görüntüsü vardır (a'nın x, b'nin y, c'nin x). Bu bir fonksiyondur. ✅
• C seçeneğinde tanım kümesindeki 3 elemanı hem 5 hem de 7 ile eşleşmiştir. Bu bir fonksiyon değildir. ❌
• D seçeneğinde tanım kümesindeki p elemanı hem m hem de o ile eşleşmiştir. Bu bir fonksiyon değildir. ❌
• E seçeneğinde tanım kümesindeki 7 elemanı hem 8 hem de 9 ile eşleşmiştir. Bu bir fonksiyon değildir. ❌

Dolayısıyla, doğru cevap B seçeneğidir. 💡

Fonksiyonun kuralı \( f(x) = 2x + 1 \) olarak verilmiş. 📌 Bizden istenen \( f(3) \) değeri. Bu, fonksiyonda \( x \) yerine 3 yazmamız gerektiği anlamına gelir. 👉 Şimdi hesaplayalım:

• \( f(3) = 2 \times (3) + 1 \)
• \( f(3) = 6 + 1 \)
• \( f(3) = 7 \)

Sonuç olarak, \( f(3) \) değeri 7'dir. ✅

Fonksiyonun özelliklerini inceleyelim: 👉

• Birebir Fonksiyon: Bir fonksiyonun birebir olabilmesi için tanım kümesindeki farklı elemanların görüntülerinin de farklı olması gerekir. Yani, \( x_1 \neq x_2 \) iken \( f(x_1) \neq f(x_2) \) olmalıdır.
• Bu fonksiyonda, \( f(1) = a \) ve \( f(3) = a \) 'dır. Tanım kümesindeki 1 ve 3 farklı elemanlar olmasına rağmen görüntüleri aynıdır (a). Bu nedenle fonksiyon birebir değildir. ❌
• Örten Fonksiyon: Bir fonksiyonun örten olabilmesi için değer kümesindeki her elemanın, tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olması gerekir. Yani, değer kümesi ile görüntü kümesi aynı olmalıdır.
• Değer kümesi \( B = \{a, b, c, d\} \) iken, fonksiyonun görüntü kümesi \( G = \{f(1), f(2), f(3)\} = \{a, b, a\} = \{a, b\} \) 'dir.
• Değer kümesindeki c ve d elemanlarının hiçbir tanım kümesi elemanıyla eşleşmediğini görüyoruz. Bu nedenle fonksiyon örten değildir. ❌

Özetle, verilen fonksiyon ne birebirdir ne de örtendir. 💡

Fonksiyonun kuralı \( f(x) = 5 \) olarak verilmiş. Bu, tanım kümesindeki hangi elemanı alırsak alalım, sonucun her zaman 5 olacağı anlamına gelir. 👉 Şimdi fonksiyonun türlerini inceleyelim:

• Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü aynı sabit bir sayı ise bu fonksiyon sabittir.
• Burada, \( f(x) \) her zaman 5'tir. Bu nedenle bu fonksiyon bir sabit fonksiyondur. ✅
• Birim Fonksiyon: Birim fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur. Yani \( f(x) = x \) şeklindedir.
• Bu fonksiyon \( f(x) = 5 \) olduğu için birim fonksiyon değildir. ❌
• Örten Fonksiyon: Değer kümesindeki her elemanın tanım kümesindeki bir elemanın görüntüsü olması gerekir.
• Değer kümesi tam sayılar (\(\mathbb{Z}\)) iken, bu fonksiyonun görüntü kümesi sadece {5}'tir. Değer kümesindeki diğer tüm tam sayılar (örneğin 1, 2, 3, -1, -2...) eşlenmemiş olur. Bu nedenle fonksiyon örten değildir. ❌
• Birebir Fonksiyon: Farklı elemanların görüntüleri de farklı olmalıdır.
• Örneğin, \( f(1) = 5 \) ve \( f(2) = 5 \)'tir. Tanım kümesindeki 1 ve 2 farklı olmasına rağmen görüntüleri aynıdır. Bu nedenle fonksiyon birebir değildir. ❌

Sonuç olarak, verilen fonksiyon sadece bir sabit fonksiyondur. 💡

Bu problemi bir fonksiyon problemi olarak modelleyebiliriz. Yol mesafesini \( x \) (km) ve ödenecek ücreti \( f(x) \) (TL) ile gösterelim. 👉 Fonksiyonun kuralını iki farklı durumda incelememiz gerekiyor:

• Durum 1: 100 km'ye kadar olan mesafeler
• Bu durumda, yol mesafesi \( x \le 100 \) iken, ödenecek sabit ücret 50 TL'dir.
• Yani, \( f(x) = 50 \) , eğer \( x \le 100 \) ise. ✅
• Durum 2: 100 km'den sonraki mesafeler
• Bu durumda, yol mesafesi \( x > 100 \) iken, 100 km için 50 TL ve 100 km'den sonraki \( (x - 100) \) km için kilometre başına 0.5 TL ek ücret alınır.
• Yani, \( f(x) = 50 + 0.5 \times (x - 100) \) , eğer \( x > 100 \) ise.
• Bu ifadeyi sadeleştirebiliriz: \( f(x) = 50 + 0.5x - 50 = 0.5x \)
• Ancak, bu sadeleştirme sadece 100 km'den sonraki ek ücreti gösterir. Toplam ücreti doğru ifade etmek için başlangıçtaki 50 TL'yi de hesaba katmalıyız.
• Doğru ifade: \( f(x) = 50 + 0.5 \times (x - 100) \) , eğer \( x > 100 \) ise.
• Bu ifadeyi de \( f(x) = 50 + 0.5x - 50 = 0.5x \) olarak sadeleştirmek yerine, kuralı parçalı fonksiyon olarak yazmak daha anlaşılır olacaktır.
• Doğru kural: \( f(x) = \begin{cases} 50 & \text{eğer } x \le 100 \\ 50 + 0.5(x-100) & \text{eğer } x > 100 \end{cases} \) ✅

Şimdi tanım ve değer kümelerini belirleyelim:

• Tanım Kümesi: Yol mesafesi negatif olamayacağı için ve 0 km'den başlayıp sonsuza kadar gidebileceği için, tanım kümesi \( [0, \infty) \) veya \( \{ x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0 \} \) olmalıdır. Gerçekçi bir senaryoda, bir otobüsün gidebileceği maksimum bir mesafe olabilir ancak matematiksel olarak sonsuz kabul edebiliriz. 💡
• Değer Kümesi: Bu fonksiyonun alabileceği en küçük değer 100 km'ye kadar olan 50 TL'dir. 100 km'den sonra mesafe arttıkça ücret de artacaktır. Dolayısıyla, değer kümesi \( [50, \infty) \) veya \( \{ y \in \mathbb{R} \mid y \ge 50 \} \) olmalıdır. ✅

Sonuç olarak, fonksiyonun kuralı parçalı bir fonksiyon olarak ifade edilir ve tanım kümesi negatif olmayan reel sayılar, değer kümesi ise 50 ve daha büyük reel sayılardır. 💡

Bir fonksiyonun hem birebir hem de örten olabilmesi için bazı özel şartları sağlaması gerekir. 👉 \( f(x) = ax + b \) doğrusal fonksiyonunu inceleyelim:

• Birebir Olma Şartı: Bir doğrusal fonksiyonun birebir olabilmesi için eğiminin, yani \( a \) katsayısının sıfırdan farklı olması gerekir. Eğer \( a = 0 \) olursa, fonksiyon \( f(x) = b \) olur ki bu bir sabit fonksiyondur ve birebir değildir.
• Dolayısıyla, birebir olması için \( a \neq 0 \) olmalıdır. ✅
• Örten Olma Şartı: Reel sayılardan reel sayılara tanımlı bir doğrusal fonksiyonun örten olabilmesi için yine eğiminin, yani \( a \) katsayısının sıfırdan farklı olması gerekir. Eğer \( a \neq 0 \) ise, doğrunun grafiği x eksenine paralel olmaz ve değer kümesindeki her reel sayıyı kapsar.
• Bu şart da \( a \neq 0 \) olmasını gerektirir. ✅

Peki \( b \) katsayısı hakkında ne söyleyebiliriz?

• Eğer \( a \neq 0 \) ise, \( f(x) = ax + b \) fonksiyonu hem birebir hem de örten olur, b'nin her reel sayı değeri için. Fonksiyonun grafiği y eksenini \( (0, b) \) noktasında keser ve eğimi sıfırdan farklı olduğu için tüm reel sayıları kapsar. 💡

Sonuç olarak, \( f(x) = ax + b \) fonksiyonunun hem birebir hem de örten olabilmesi için \( a \neq 0 \) olmalıdır. \( b \) katsayısı ise herhangi bir reel sayı olabilir. 📌

Evet, bu durumu bir fonksiyon olarak modelleyebiliriz. 👉 Tanım kümesi, müşterinin seçebileceği garanti paketlerini temsil etsin. Değer kümesi ise bu paketler için ödenen ek ücreti temsil etsin.

• Tanım Kümesi: Müşterinin seçebileceği seçenekler bellidir: Paket A ve Paket B.
• Tanım Kümesi = \{ Paket A, Paket B \} ✅
• Değer Kümesi: Bu paketler için ödenen ek ücretler şunlardır:
• Paket A için ek ücret: 0 TL
• Paket B için ek ücret: 300 TL
• Değer Kümesi = \{ 0 TL, 300 TL \} ✅

Bu durumu bir \( f \) fonksiyonu ile gösterirsek:

• \( f(\text{Paket A}) = 0 \)
• \( f(\text{Paket B}) = 300 \)

Bu fonksiyon, seçilen pakete göre ödenen ek ücreti net bir şekilde göstermektedir. 💡 Bu fonksiyon, her bir paketin yalnızca bir tane ek ücrete karşılık geldiği için bir fonksiyon olma şartını sağlar. Ayrıca, tanım kümesindeki her elemanın farklı bir değere karşılık gelmesi nedeniyle bu fonksiyon aynı zamanda birebirdir. Örtendir çünkü değer kümesindeki her eleman (0 TL ve 300 TL) tanım kümesindeki bir elemanın görüntüsüdür. 📌

Verilen fonksiyon \( f(x) = \sqrt{x} \) ve tanım kümesi pozitif reel sayılar (\(\mathbb{R}^+\)). Değer kümesi ise reel sayılar (\(\mathbb{R}\)). 👉 Şimdi fonksiyonun özelliklerini inceleyelim:

• Birebir Olma Şartı: Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri farklı olmalıdır.
• Pozitif reel sayılar kümesinde, örneğin \( x_1 = 4 \) ve \( x_2 = 9 \) alalım.
• \( f(4) = \sqrt{4} = 2 \)
• \( f(9) = \sqrt{9} = 3 \)
• Burada \( x_1 \neq x_2 \) iken \( f(x_1) \neq f(x_2) \) 'dir.
• Genel olarak, pozitif reel sayılar için \( \sqrt{x_1} = \sqrt{x_2} \) olması ancak \( x_1 = x_2 \) olmasıyla mümkündür.
• Bu nedenle fonksiyon birebirdir. ✅
• Örten Olma Şartı: Değer kümesindeki her elemanın tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olması gerekir.
• Değer kümemiz tüm reel sayılar (\(\mathbb{R}\)).
• Ancak, \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun sonucu (yani görüntü kümesi) her zaman negatif olmayan reel sayılardır (\( [0, \infty) \)).
• Örneğin, değer kümesinde bulunan -2 gibi bir reel sayının, tanım kümesindeki pozitif reel sayılardan herhangi birinin görüntüsü olamaz, çünkü karekök negatif bir sonuç vermez.
• Bu nedenle fonksiyon örten değildir. ❌

Sonuç olarak, \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonu pozitif reel sayılardan reel sayılara tanımlı olduğunda birebirdir ancak örten değildir. 💡

Verilen fonksiyon \( f(x) = x^2 \) ve tanım ile değer kümeleri reel sayılardır (\(\mathbb{R}\)). 👉 Şimdi fonksiyonun özelliklerini inceleyelim:

• Birebir Olma Şartı: Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri farklı olmalıdır.
• Reel sayılar kümesinde, örneğin \( x_1 = -2 \) ve \( x_2 = 2 \) alalım.
• \( f(-2) = (-2)^2 = 4 \)
• \( f(2) = (2)^2 = 4 \)
• Burada \( x_1 \neq x_2 \) olmasına rağmen \( f(x_1) = f(x_2) \) 'dir. Farklı iki elemanın görüntüsü aynıdır.
• Bu nedenle fonksiyon birebir değildir. ❌
• Örten Olma Şartı: Değer kümesindeki her elemanın tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olması gerekir.
• Değer kümemiz tüm reel sayılar (\(\mathbb{R}\)).
• Ancak, \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun sonucu (yani görüntü kümesi) her zaman negatif olmayan reel sayılardır (\( [0, \infty) \)).
• Örneğin, değer kümesinde bulunan -3 gibi bir reel sayının, tanım kümesindeki reel sayılardan herhangi birinin görüntüsü olamaz, çünkü bir reel sayının karesi asla negatif olmaz.
• Bu nedenle fonksiyon örten değildir. ❌

Sonuç olarak, \( f(x) = x^2 \) fonksiyonu reel sayılardan reel sayılara tanımlı olduğunda ne birebirdir ne de örtendir. 💡 Eğer tanım kümesi pozitif reel sayılar olsaydı (yani \( f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \)), o zaman birebir olurdu ama yine de örten olmazdı (çünkü değer kümesindeki 0'ı kapsamazdı). Eğer tanım ve değer kümesi pozitif reel sayılar ve 0'ı içerseydi (yani \( f: [0, \infty) \to [0, \infty) \)), o zaman hem birebir hem de örten olurdu. 📌