💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonun Tersi Çözümlü Örnekler

Fonksiyonun tersini bulmak için adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazalım.
  \( y = 2x + 3 \)
• Adım 2: Denklemde \( x \)'i \( y \)'nin cinsinden yalnız bırakalım.
  \( y - 3 = 2x \)
  \( x = \frac{y - 3}{2} \)
• Adım 3: \( x \) yerine \( f^{-1}(y) \) ve \( y \) yerine \( x \) yazarak ters fonksiyonu elde edelim.
  \( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \)

Sonuç olarak, \( f(x) = 2x + 3 \) fonksiyonunun tersi \( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \) olur. ✅

Ters fonksiyonu bulmak için şu adımları izleyelim:

• Adım 1: Fonksiyonu \( y = g(x) \) şeklinde ifade edelim.
  \( y = \frac{x}{4} - 1 \)
• Adım 2: \( x \)'i \( y \)'ye bağlı olarak yalnız bırakalım.
  \( y + 1 = \frac{x}{4} \)
  \( 4(y + 1) = x \)
  \( x = 4y + 4 \)
• Adım 3: Değişkenleri değiştirerek ters fonksiyonu yazalım.
  \( g^{-1}(x) = 4x + 4 \)

Böylece \( g(x) \) fonksiyonunun tersi \( g^{-1}(x) = 4x + 4 \) olarak bulunur. 👍

Önce \( h(x) \) fonksiyonunun tersini bulalım:

• Adım 1: \( y = 5 - 3x \) yazalım.
• Adım 2: \( x \)'i yalnız bırakalım.
  \( y - 5 = -3x \)
  \( x = \frac{y - 5}{-3} \)
  \( x = \frac{5 - y}{3} \)
• Adım 3: Değişkenleri değiştirerek ters fonksiyonu elde edelim.
  \( h^{-1}(x) = \frac{5 - x}{3} \)

Şimdi \( h^{-1}(2) \) değerini hesaplayalım:

• Adım 4: \( h^{-1}(x) \) ifadesinde \( x \) yerine 2 yazalım.
  \( h^{-1}(2) = \frac{5 - 2}{3} \)
  \( h^{-1}(2) = \frac{3}{3} \)
  \( h^{-1}(2) = 1 \)

Sonuç olarak, \( h^{-1}(x) = \frac{5 - x}{3} \) ve \( h^{-1}(2) = 1 \) bulunur. 🎉

Bu tür rasyonel fonksiyonların tersini bulmak için şu yöntemi kullanabiliriz:

• Adım 1: Fonksiyonu \( y = \frac{x+1}{x-2} \) olarak yazalım.
• Adım 2: \( x \)'i \( y \)'ye bağlı olarak yalnız bırakmak için denklemi düzenleyelim.
  \( y(x-2) = x+1 \)
  \( xy - 2y = x+1 \)
  \( xy - x = 2y + 1 \)
  \( x(y - 1) = 2y + 1 \)
  \( x = \frac{2y + 1}{y - 1} \)
• Adım 3: Değişkenleri değiştirerek ters fonksiyonu bulalım.
  \( f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} \)

Bu fonksiyonun tersi \( f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} \) olur. Dikkat edilmesi gereken nokta, \( x \neq 1 \) olmalıdır. ⚠️

Bu problemi ters fonksiyon kullanarak çözebiliriz:

• Adım 1: Verilen satış fiyatı fonksiyonunu \( S(x) = 1.5x + 20 \) olarak biliyoruz. Burada \( x \) maliyet, \( S(x) \) satış fiyatıdır.
• Adım 2: Maliyeti (yani \( x \)'i) bulmak için satış fiyatı fonksiyonunun tersini bulmalıyız.
  \( y = 1.5x + 20 \)
  \( y - 20 = 1.5x \)
  \( x = \frac{y - 20}{1.5} \)
  \( x = \frac{y - 20}{3/2} \)
  \( x = \frac{2(y - 20)}{3} \)
• Adım 3: Ters fonksiyonu (maliyeti satış fiyatına göre veren fonksiyon) \( M(y) = \frac{2(y - 20)}{3} \) olarak yazabiliriz. Burada \( y \) satış fiyatıdır.
• Adım 4: Satış fiyatı 110 TL olarak verildiğine göre, \( y = 110 \) değerini maliyet fonksiyonunda yerine koyalım.
  \( M(110) = \frac{2(110 - 20)}{3} \)
  \( M(110) = \frac{2(90)}{3} \)
  \( M(110) = \frac{180}{3} \)
  \( M(110) = 60 \)

Bu ürünün maliyeti 60 TL'dir. 📈

Bu durumu bir fonksiyon ve ters fonksiyon problemi olarak modelleyebiliriz:

• Adım 1: Yolculuk ücretini veren fonksiyonu kuralım. Açılış ücreti 10 TL, kilometre başına ücret 2 TL olsun. \( U(k) = 2k + 10 \) burada \( k \) kilometre cinsinden mesafeyi, \( U(k) \) ise toplam ücreti temsil eder.
• Adım 2: Kaç kilometre gidildiğini bulmak için ücret fonksiyonunun tersini bulmalıyız.
  \( y = 2k + 10 \)
  \( y - 10 = 2k \)
  \( k = \frac{y - 10}{2} \)
• Adım 3: Ters fonksiyonumuz \( K(y) = \frac{y - 10}{2} \) olur. Burada \( y \) toplam ücreti, \( K(y) \) ise mesafeyi verir.
• Adım 4: Toplam ücret 50 TL olduğuna göre, \( y = 50 \) değerini ters fonksiyonda yerine koyalım.
  \( K(50) = \frac{50 - 10}{2} \)
  \( K(50) = \frac{40}{2} \)
  \( K(50) = 20 \)

Bu yolculuk 20 kilometre sürmüştür. 🛣️

Bu tür kareköklü fonksiyonların tersini bulurken dikkatli olmalıyız:

• Adım 1: Fonksiyonu \( y = \sqrt{x-3} + 2 \) olarak yazalım.
• Adım 2: Karekök ifadeyi yalnız bırakalım.
  \( y - 2 = \sqrt{x-3} \)
• Adım 3: Her iki tarafın karesini alarak karekökten kurtulalım.
  \( (y - 2)^2 = x - 3 \)
• Adım 4: \( x \)'i \( y \)'ye bağlı olarak yalnız bırakalım.
  \( x = (y - 2)^2 + 3 \)
• Adım 5: Değişkenleri değiştirerek ters fonksiyonu elde edelim.
  \( f^{-1}(x) = (x - 2)^2 + 3 \)

Ancak, orijinal fonksiyon \( f(x) = \sqrt{x-3} + 2 \) için \( x \ge 3 \) olmalıdır. Bu durumda \( f(x) \ge 2 \) olur. Ters fonksiyonun tanım kümesi, orijinal fonksiyonun değer kümesi olacağından, \( f^{-1}(x) \) için \( x \ge 2 \) olmalıdır. Bu da \( (x-2)^2 \) ifadesinin pozitif olmasını sağlar.
Dolayısıyla, \( f^{-1}(x) = (x - 2)^2 + 3 \) fonksiyonunun tanım kümesi \( [2, \infty) \) olmalıdır. 🎯

Bu soruyu iki farklı yolla çözebiliriz: Yöntem 1: Önce Ters Fonksiyonu Bulma

• Adım 1: \( y = \frac{3x+1}{x-1} \) yazalım.
• Adım 2: \( x \)'i yalnız bırakalım.
  \( y(x-1) = 3x+1 \)
  \( xy - y = 3x+1 \)
  \( xy - 3x = y+1 \)
  \( x(y-3) = y+1 \)
  \( x = \frac{y+1}{y-3} \)
• Adım 3: Ters fonksiyonu bulalım.
  \( f^{-1}(x) = \frac{x+1}{x-3} \)
• Adım 4: \( f^{-1}(4) \) değerini hesaplayalım.
  \( f^{-1}(4) = \frac{4+1}{4-3} = \frac{5}{1} = 5 \)

Yöntem 2: Doğrudan Değer Hesaplama

• Adım 1: \( f^{-1}(4) = a \) olduğunu varsayalım. Bu durumda \( f(a) = 4 \) olur.
• Adım 2: \( f(a) = 4 \) denklemini çözelim.
  \( \frac{3a+1}{a-1} = 4 \)
  \( 3a+1 = 4(a-1) \)
  \( 3a+1 = 4a-4 \)
  \( 1+4 = 4a-3a \)
  \( 5 = a \)

Her iki yöntemle de \( f^{-1}(4) = 5 \) sonucuna ulaşırız. ✨

Bu problemi ters fonksiyon kullanarak çözebiliriz:

• Adım 1: Ölçeklendirme fonksiyonu \( f(x) = 2x - 5 \) olarak verilmiştir. Burada \( x \) başlangıç boyutu, \( f(x) \) son boyuttur.
• Adım 2: Başlangıç boyutunu bulmak için fonksiyonun tersini almalıyız.
  \( y = 2x - 5 \)
  \( y + 5 = 2x \)
  \( x = \frac{y + 5}{2} \)
• Adım 3: Ters fonksiyonumuz \( B(y) = \frac{y + 5}{2} \) olur. Burada \( y \) son boyutu, \( B(y) \) ise başlangıç boyutunu verir.
• Adım 4: Son boyut \( 15 \) cm olarak istendiğine göre, \( y = 15 \) değerini başlangıç boyutu fonksiyonunda yerine koyalım.
  \( B(15) = \frac{15 + 5}{2} \)
  \( B(15) = \frac{20}{2} \)
  \( B(15) = 10 \)

Tasarımcı logonun başlangıç boyutunu \( 10 \) cm olarak ayarlamalıdır. 🎨