🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarla Oluşturulan Denklem Ve Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarla Oluşturulan Denklem Ve Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir fonksiyonun bir denklemde nasıl kullanıldığını gösteren temel bir örnek.
Verilen \( f(x) = 2x + 3 \) fonksiyonu için \( f(5) \) değerini bulunuz. 💡
Verilen \( f(x) = 2x + 3 \) fonksiyonu için \( f(5) \) değerini bulunuz. 💡
Çözüm:
- Fonksiyonun tanımını anlama: \( f(x) \) demek, x yerine konulan değerin fonksiyonda işlenmesi demektir.
- Verilen fonksiyonda x yerine 5 yazma: \( f(5) = 2(5) + 3 \)
- Hesaplama: \( 2 \times 5 = 10 \)
- Son toplama: \( 10 + 3 = 13 \)
- Sonuç: \( f(5) = 13 \) ✅
Örnek 2:
Fonksiyonlarla oluşturulan basit bir denklem çözme.
\( f(x) = x^2 - 1 \) ve \( g(x) = 3 \) ise, \( f(x) = g(x) \) denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz. 🤔
\( f(x) = x^2 - 1 \) ve \( g(x) = 3 \) ise, \( f(x) = g(x) \) denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz. 🤔
Çözüm:
- İki fonksiyonu birbirine eşitleme: \( x^2 - 1 = 3 \)
- Sabit terimi karşıya atma: \( x^2 = 3 + 1 \)
- Karesel ifadeyi sadeleştirme: \( x^2 = 4 \)
- Her iki tarafın karekökünü alma: \( x = \sqrt{4} \) veya \( x = -\sqrt{4} \)
- Sonuç: \( x = 2 \) veya \( x = -2 \) olarak bulunur. 👉
Örnek 3:
Fonksiyonlarla oluşturulan basit bir eşitsizlik çözme.
\( h(x) = 3x - 6 \) fonksiyonu için \( h(x) > 0 \) eşitsizliğini sağlayan x değerlerini bulunuz. 📈
\( h(x) = 3x - 6 \) fonksiyonu için \( h(x) > 0 \) eşitsizliğini sağlayan x değerlerini bulunuz. 📈
Çözüm:
- Eşitsizliği kurma: \( 3x - 6 > 0 \)
- Sabit terimi karşıya atma: \( 3x > 6 \)
- Her iki tarafı x'in katsayısına bölme (pozitif olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez): \( x > \frac{6}{3} \)
- Sadeleştirme: \( x > 2 \)
- Sonuç: \( x \) değerleri 2'den büyük olmalıdır. ✅
Örnek 4:
Bir aracın yakıt tüketimi, gidilen mesafeye bağlı olarak bir fonksiyonla ifade ediliyor.
Bir aracın \( t(x) = 0.05x + 5 \) fonksiyonu ile verilen yakıt tüketimi (litre), x kilometre yol aldığında hesaplanmaktadır. Araç 100 km yol aldığında ne kadar yakıt tüketir? Eğer araç 50 litreden az yakıt tüketirse, kaç kilometreden az yol almış olur? 🚗💨
Bir aracın \( t(x) = 0.05x + 5 \) fonksiyonu ile verilen yakıt tüketimi (litre), x kilometre yol aldığında hesaplanmaktadır. Araç 100 km yol aldığında ne kadar yakıt tüketir? Eğer araç 50 litreden az yakıt tüketirse, kaç kilometreden az yol almış olur? 🚗💨
Çözüm:
- 100 km için yakıt tüketimi:
- \( t(100) = 0.05(100) + 5 \)
- \( t(100) = 5 + 5 \)
- \( t(100) = 10 \) litre
- 50 litreden az yakıt tüketimi için kilometre bulma:
- \( t(x) < 50 \)
- \( 0.05x + 5 < 50 \)
- \( 0.05x < 45 \)
- \( x < \frac{45}{0.05} \)
- \( x < 900 \)
- Sonuç: Araç 100 km yol aldığında 10 litre yakıt tüketir. 50 litreden az yakıt tüketmesi için 900 kilometreden az yol alması gerekir. 📌
Örnek 5:
İç içe geçmiş fonksiyonlar ve denklem çözümü.
Verilen \( f(x) = x + 1 \) ve \( g(x) = 2x - 3 \) fonksiyonları için \( f(g(x)) = 7 \) denklemini sağlayan x değerini bulunuz. 🧩
Verilen \( f(x) = x + 1 \) ve \( g(x) = 2x - 3 \) fonksiyonları için \( f(g(x)) = 7 \) denklemini sağlayan x değerini bulunuz. 🧩
Çözüm:
- Önce içteki fonksiyonu dıştaki fonksiyonda yerine yazalım: \( f(g(x)) = f(2x - 3) \)
- Şimdi \( f \) fonksiyonunun tanımında x yerine \( (2x - 3) \) yazalım: \( f(2x - 3) = (2x - 3) + 1 \)
- İfadeyi sadeleştirelim: \( f(g(x)) = 2x - 2 \)
- Denklemi kuralım: \( 2x - 2 = 7 \)
- Sabit terimi karşıya atalım: \( 2x = 7 + 2 \)
- \( 2x = 9 \)
- x'i bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x = \frac{9}{2} \)
- Sonuç: \( x = 4.5 \) ✅
Örnek 6:
Bir mağaza, belirli bir miktarın üzerindeki alışverişlerde indirim uyguluyor.
Bir giyim mağazasında, 200 TL'nin üzerindeki alışverişlerde %10 indirim uygulanmaktadır. Bir müşterinin yaptığı alışverişin toplam tutarı \( T \) TL olsun. İndirimli tutarı gösteren fonksiyonu yazınız. Eğer müşteri 250 TL'lik alışveriş yaparsa, ne kadar indirim kazanır? 🛍️
Bir giyim mağazasında, 200 TL'nin üzerindeki alışverişlerde %10 indirim uygulanmaktadır. Bir müşterinin yaptığı alışverişin toplam tutarı \( T \) TL olsun. İndirimli tutarı gösteren fonksiyonu yazınız. Eğer müşteri 250 TL'lik alışveriş yaparsa, ne kadar indirim kazanır? 🛍️
Çözüm:
- İndirimli tutarı gösteren fonksiyon:
- Eğer \( T \le 200 \) ise, indirim uygulanmaz. Fonksiyon: \( I(T) = T \)
- Eğer \( T > 200 \) ise, %10 indirim uygulanır. İndirim miktarı \( 0.10 \times T \) olur. Ödenecek tutar \( T - 0.10T = 0.90T \) olur. Fonksiyon: \( I(T) = 0.90T \)
- Bu iki durumu birleştirerek fonksiyonu yazabiliriz:
- \( I(T) = \begin{cases} T & \text{eğer } T \le 200 \\ 0.90T & \text{eğer } T > 200 \end{cases} \)
- Müşteri 250 TL'lik alışveriş yaparsa:
- Burada \( T = 250 \) olup, \( T > 200 \) koşulu sağlanır.
- İndirimli tutar: \( I(250) = 0.90 \times 250 \)
- \( I(250) = 225 \) TL
- Kazanılan indirim miktarı: \( 250 - 225 = 25 \) TL
- Sonuç: Müşteri 250 TL'lik alışverişinde 25 TL indirim kazanır. 💰
Örnek 7:
Fonksiyonların kesişim noktaları ve eşitsizlik ilişkisi.
\( f(x) = x^2 \) ve \( g(x) = x + 2 \) fonksiyonları veriliyor. \( f(x) > g(x) \) eşitsizliğini sağlayan x değer aralığını bulunuz. 🌌
\( f(x) = x^2 \) ve \( g(x) = x + 2 \) fonksiyonları veriliyor. \( f(x) > g(x) \) eşitsizliğini sağlayan x değer aralığını bulunuz. 🌌
Çözüm:
- Önce kesişim noktalarını bulmak için fonksiyonları birbirine eşitleyelim: \( f(x) = g(x) \)
- \( x^2 = x + 2 \)
- Denklemi standart forma getirelim: \( x^2 - x - 2 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözelim: \( (x - 2)(x + 1) = 0 \)
- Kökler: \( x = 2 \) ve \( x = -1 \)
- Şimdi \( f(x) > g(x) \) eşitsizliğini inceleyelim. Bu, \( x^2 > x + 2 \) anlamına gelir.
- Kökler olan -1 ve 2'yi sayı doğrusunda işaretleyelim.
- \( x < -1 \) için: Örneğin \( x = -2 \) alalım. \( (-2)^2 = 4 \) ve \( -2 + 2 = 0 \). \( 4 > 0 \) doğru.
- \( -1 < x < 2 \) için: Örneğin \( x = 0 \) alalım. \( 0^2 = 0 \) ve \( 0 + 2 = 2 \). \( 0 > 2 \) yanlış.
- \( x > 2 \) için: Örneğin \( x = 3 \) alalım. \( 3^2 = 9 \) ve \( 3 + 2 = 5 \). \( 9 > 5 \) doğru.
- Sonuç: Eşitsizliği sağlayan x değer aralıkları \( x < -1 \) veya \( x > 2 \) 'dir. Bu aralık \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \) şeklinde de gösterilebilir. 🚀
Örnek 8:
Bir fonksiyonun tersiyle oluşturulan denklem.
\( f(x) = 3x - 5 \) fonksiyonunun tersi \( f^{-1}(x) \) olmak üzere, \( f^{-1}(x) = 4 \) denklemini sağlayan x değerini bulunuz. 🔄
\( f(x) = 3x - 5 \) fonksiyonunun tersi \( f^{-1}(x) \) olmak üzere, \( f^{-1}(x) = 4 \) denklemini sağlayan x değerini bulunuz. 🔄
Çözüm:
- Önce \( f(x) \) fonksiyonunun tersini bulalım.
- \( y = 3x - 5 \)
- x'i yalnız bırakalım: \( y + 5 = 3x \)
- \( x = \frac{y + 5}{3} \)
- Ters fonksiyon \( f^{-1}(y) = \frac{y + 5}{3} \) olur. Değişkeni x yaparsak: \( f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3} \)
- Şimdi verilen denklemi kuralım: \( f^{-1}(x) = 4 \)
- \( \frac{x + 5}{3} = 4 \)
- Her iki tarafı 3 ile çarpalım: \( x + 5 = 12 \)
- x'i bulmak için 5'i karşıya atalım: \( x = 12 - 5 \)
- Sonuç: \( x = 7 \) ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-fonksiyonlarla-olusturulan-denklem-ve-esitsizlikler/sorular