Fonksiyonlarla kurulan denklem ve eşitsizlikler Ders Notu

Fonksiyonlarla Kurulan Denklem ve Eşitsizlikler

Bu bölümde, fonksiyon kavramını kullanarak oluşturulan denklem ve eşitsizliklerin çözüm yöntemlerini inceleyeceğiz. Fonksiyonlar, değişkenler arasındaki ilişkiyi tanımlar ve bu ilişkileri denklem veya eşitsizlikler aracılığıyla ifade edebiliriz. Özellikle 10. sınıf müfredatında yer alan rasyonel, köklü ve mutlak değerli ifadeler içeren fonksiyonlarla kurulan denklem ve eşitsizlikler üzerinde durulacaktır.

1. Rasyonel Fonksiyonlarla Kurulan Denklem ve Eşitsizlikler

Bir rasyonel fonksiyon, iki polinomun birbirine oranı şeklinde yazılabilen fonksiyondur. Paydada bilinmeyen içeren ifadeler olduğunda, bu tür denklemleri veya eşitsizlikleri çözerken paydanın sıfır olamayacağı kuralını unutmamalıyız.

Rasyonel Denklemler

Şu biçimdeki denklemler rasyonel denklemlerdir:

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = 0 \]

Bu tür denklemleri çözerken yapmamız gerekenler şunlardır:

Payı sıfıra eşitleyip kökleri bulmak.
Paydayı sıfıra eşitleyip kökleri bulmak.
Paydayı sıfır yapan kökler çözüm kümesine dahil edilmez.

Örnek: \( \frac{x-3}{x-1} = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Pay: \( x-3 = 0 \implies x = 3 \)
Payda: \( x-1 = 0 \implies x = 1 \)

Paydayı sıfır yapan \( x = 1 \) değeri çözüm kümesine dahil edilmez. Bu nedenle denklemin çözüm kümesi \( \{3\} \) olur.

Rasyonel Eşitsizlikler

Şu biçimdeki eşitsizlikler rasyonel eşitsizliklerdir:

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)} \le 0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)} > 0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)} < 0 \]

Bu tür eşitsizlikleri çözerken işaret tablosu yöntemi kullanılır:

Payı sıfıra eşitleyerek kökleri bulunuz.
Paydayı sıfıra eşitleyerek kökleri bulunuz.
Bulunan tüm kökleri sayı doğrusunda küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
En sağdaki aralıktan başlayarak, köklerin katsayılarının işaretine göre işaretleri belirleyiniz. Köklerin derecesi tek ise işaret değişir, çift ise işaret aynı kalır.
Eşitsizliğin yönüne göre çözüm kümesini belirleyiniz. Paydayı sıfır yapan değerler hiçbir zaman çözüm kümesine dahil edilmez.

Örnek: \( \frac{x-2}{x+1} \ge 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Pay: \( x-2 = 0 \implies x = 2 \)
Payda: \( x+1 = 0 \implies x = -1 \)

Kökler: -1 ve 2. İşaret tablosu:

Aralık	\( x < -1 \)	\( -1 < x < 2 \)	\( x > 2 \)
\( x-2 \)	-	-	+
\( x+1 \)	-	+	+
\( \frac{x-2}{x+1} \)	+	-	+

Eşitsizlik \( \ge 0 \) olduğu için pozitif olan aralıklar ve payı sıfır yapan kök alınır. Paydayı sıfır yapan kök alınmaz.

Çözüm kümesi: \( (-\infty, -1) \cup [2, \infty) \)

2. Köklü Fonksiyonlarla Kurulan Denklem ve Eşitsizlikler

İçinde karekök gibi çift dereceli kökler bulunan ifadelerde, kök içindeki ifadenin negatif olamayacağı (reel sayılarda) unutulmamalıdır. Tek dereceli kökler için böyle bir kısıtlama yoktur.

Köklü Denklemler

Şu biçimdeki denklemler köklü denklemlerdir:

\[ \sqrt{f(x)} = g(x) \]

Bu tür denklemleri çözerken dikkat edilmesi gerekenler:

Her iki tarafın karesi alınır.
Bu işlem sonucunda elde edilen denklem çözülür.
Bulunan kökler, orijinal denklemde yerine konularak kontrol edilmelidir. Çünkü karesi alma işlemi, negatif sayıların da pozitif gibi görünmesine neden olabilir.
Ayrıca, çift dereceli kökün içi \( \ge 0 \) olmalıdır.

Örnek: \( \sqrt{x-2} = 3 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Her iki tarafın karesini alalım: \( (\sqrt{x-2})^2 = 3^2 \implies x-2 = 9 \)
Denklemi çözelim: \( x = 11 \)

Kontrol edelim: \( \sqrt{11-2} = \sqrt{9} = 3 \). Eşitlik sağlandığı için çözüm kümesi \( \{11\} \) olur.

Örnek: \( \sqrt{x+1} = x-1 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Her iki tarafın karesini alalım: \( (\sqrt{x+1})^2 = (x-1)^2 \implies x+1 = x^2 - 2x + 1 \)
Denklemi düzenleyelim: \( x^2 - 3x = 0 \implies x(x-3) = 0 \)
Kökler: \( x=0 \) veya \( x=3 \)

Kontrol edelim:

\( x=0 \) için: \( \sqrt{0+1} = \sqrt{1} = 1 \) ve \( 0-1 = -1 \). \( 1 \neq -1 \) olduğundan \( x=0 \) çözüm değildir.
\( x=3 \) için: \( \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 \) ve \( 3-1 = 2 \). \( 2 = 2 \) olduğundan \( x=3 \) çözüm kümesine dahildir.

Ayrıca, köklü ifadede \( x+1 \ge 0 \) olmalı ve \( x-1 \ge 0 \) olmalıdır (çünkü kökün sonucu negatif olamaz). Bu koşullar da kontrol edilmelidir. \( x \ge -1 \) ve \( x \ge 1 \). Bu durumda \( x \ge 1 \) olmalıdır. \( x=3 \) bu koşulu sağlar.

Çözüm kümesi: \( \{3\} \)

Köklü Eşitsizlikler

Çift dereceli kök içeren eşitsizliklerde iki temel durum söz konusudur:

\( \sqrt{f(x)} \ge g(x) \)

Durum 1: \( g(x) < 0 \) ise, eşitsizlik her zaman doğrudur (çünkü kökün sonucu negatif olamaz). Bu durumda \( f(x) \ge 0 \) koşulu sağlanmalıdır.
Durum 2: \( g(x) \ge 0 \) ise, her iki tarafın karesi alınır: \( f(x) \ge (g(x))^2 \). Bu eşitsizliğin çözüm kümesi ile \( g(x) \ge 0 \) koşulunun çözüm kümesinin kesişimi alınır.

\( \sqrt{f(x)} \le g(x) \)

Bu eşitsizliğin sağlanabilmesi için \( g(x) \ge 0 \) olmalıdır.
Her iki tarafın karesi alınır: \( f(x) \le (g(x))^2 \).
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi ile \( f(x) \ge 0 \) ve \( g(x) \ge 0 \) koşullarının çözüm kümelerinin kesişimi alınır.

Örnek: \( \sqrt{x-1} \le 2 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Öncelikle kökün içi tanımlı olmalı: \( x-1 \ge 0 \implies x \ge 1 \).
Ayrıca, eşitsizliğin sağ tarafı \( 2 \ge 0 \) olduğundan, her iki tarafın karesini alabiliriz: \( (\sqrt{x-1})^2 \le 2^2 \implies x-1 \le 4 \).
Bu eşitsizliği çözelim: \( x \le 5 \).

Bulunan \( x \ge 1 \) ve \( x \le 5 \) koşullarını birleştirdiğimizde çözüm kümesi \( [1, 5] \) olur.

3. Mutlak Değerli Fonksiyonlarla Kurulan Denklem ve Eşitsizlikler

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusunda 0'a olan uzaklığını ifade eder ve daima pozitif veya sıfıra eşittir.

Mutlak Değerli Denklemler

Şu biçimdeki denklemler mutlak değer denklemleridir:

\( |f(x)| = a \) (burada \( a > 0 \)): Bu durumda \( f(x) = a \) veya \( f(x) = -a \) olur.
\( |f(x)| = 0 \): Bu durumda \( f(x) = 0 \) olur.
\( |f(x)| = g(x) \): Bu durumda \( f(x) = g(x) \) veya \( f(x) = -g(x) \) olur, ancak \( g(x) \ge 0 \) koşulu da sağlanmalıdır.

Örnek: \( |2x-1| = 5 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

\( 2x-1 = 5 \) veya \( 2x-1 = -5 \)
Birinci denklem: \( 2x = 6 \implies x = 3 \)
İkinci denklem: \( 2x = -4 \implies x = -2 \)

Çözüm kümesi: \( \{-2, 3\} \)

Örnek: \( |x+3| = 2x-1 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Öncelikle \( 2x-1 \ge 0 \) olmalıdır, yani \( x \ge \frac{1}{2} \).
Denklem \( x+3 = 2x-1 \) veya \( x+3 = -(2x-1) \) olur.
Birinci denklem: \( x+3 = 2x-1 \implies x = 4 \). \( x=4 \), \( x \ge \frac{1}{2} \) koşulunu sağlar.
İkinci denklem: \( x+3 = -2x+1 \implies 3x = -2 \implies x = -\frac{2}{3} \). \( x = -\frac{2}{3} \), \( x \ge \frac{1}{2} \) koşulunu sağlamaz.

Çözüm kümesi: \( \{4\} \)

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Şu biçimdeki eşitsizlikler mutlak değer eşitsizlikleridir:

\( |f(x)| < a \) (burada \( a > 0 \)): Bu durumda \( -a < f(x) < a \) olur.
\( |f(x)| > a \) (burada \( a > 0 \)): Bu durumda \( f(x) > a \) veya \( f(x) < -a \) olur.
\( |f(x)| \le a \) (burada \( a > 0 \)): Bu durumda \( -a \le f(x) \le a \) olur.
\( |f(x)| \ge a \) (burada \( a > 0 \)): Bu durumda \( f(x) \ge a \) veya \( f(x) \le -a \) olur.
\( |f(x)| < g(x) \): Bu durumda \( -g(x) < f(x) < g(x) \) olur, ancak \( g(x) > 0 \) koşulu da sağlanmalıdır.
\( |f(x)| > g(x) \): Bu durumda \( f(x) > g(x) \) veya \( f(x) < -g(x) \) olur.

Örnek: \( |3x+2| < 7 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

\( -7 < 3x+2 < 7 \)
Her taraftan 2 çıkaralım: \( -9 < 3x < 5 \)
Her tarafı 3'e bölelim: \( -3 < x < \frac{5}{3} \)

Çözüm kümesi: \( (-3, \frac{5}{3}) \)

Örnek: \( |x-1| \ge 4 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

\( x-1 \ge 4 \) veya \( x-1 \le -4 \)
Birinci eşitsizlik: \( x \ge 5 \)
İkinci eşitsizlik: \( x \le -3 \)

Çözüm kümesi: \( (-\infty, -3] \cup [5, \infty) \)