💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonların Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler

• 👉 a) \( f = \{(1, a), (2, b), (3, a)\} \) fonksiyonunda, tanım kümesindeki 1 ve 3 elemanlarının ikisi de değer kümesindeki 'a' elemanına eşlenmiştir. Yani \( f(1) = a \) ve \( f(3) = a \)'dır. Bu durum, fonksiyonun birebir olmadığı anlamına gelir.
• 👉 b) \( g = \{(1, c), (2, d), (3, b)\} \) fonksiyonunda, tanım kümesindeki 1, 2 ve 3 elemanlarının her biri, değer kümesindeki farklı elemanlarla (c, d, b) eşleşmiştir. \( g(1) = c \), \( g(2) = d \), \( g(3) = b \) ve \( c \neq d \neq b \)'dir. Bu nedenle, g fonksiyonu birebir bir fonksiyondur. ✅
• 👉 c) \( h = \{(1, a), (2, a), (3, a)\} \) fonksiyonunda, tanım kümesindeki tüm elemanlar değer kümesindeki aynı eleman 'a' ile eşleşmiştir. Bu fonksiyon sabit bir fonksiyondur ve birebir değildir.

Doğru cevap b) seçeneğidir.

• 📌 Bu durumu test etmek için, değer kümesinden rastgele bir \( y \) elemanı alalım ve bu \( y \) değerine karşılık gelen bir \( x \) değeri olup olmadığını bulmaya çalışalım.
• 💡 Fonksiyon kuralımız \( y = 2x - 5 \)'tir.
• Denklemimizi \( x \) cinsinden çözelim: \[ y = 2x - 5 \] \[ y + 5 = 2x \] \[ x = \frac{y + 5}{2} \]
• 👉 Bulduğumuz bu \( x \) değeri, her gerçek \( y \) değeri için bir gerçek sayı mıdır? Evet, \( y \) yerine hangi gerçek sayıyı yazarsak yazalım, \( \frac{y+5}{2} \) ifadesi her zaman bir gerçek sayı olacaktır.
• Sonuç olarak, değer kümesindeki (yani \( \mathbb{R} \)) her \( y \) elemanı için, tanım kümesinde (yani yine \( \mathbb{R} \)) bir \( x \) elemanı bulabiliyoruz.

Bu nedenle, verilen \( f(x) = 2x - 5 \) fonksiyonu örten bir fonksiyondur. ✅

• 💡 Birim Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur. Yani \( f(x) = x \) şeklinde olmalıdır.
• 💡 Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesindeki tek bir elemanla eşleyen fonksiyondur. Yani \( f(x) = c \) (c bir sabit sayı) şeklinde olmalıdır.

Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• 👉 a) \( f(x) = 7 \) fonksiyonu, tanım kümesindeki tüm elemanları 7'ye eşlediği için bir sabit fonksiyondur. ✅
• 👉 b) \( g(x) = x \) fonksiyonu, tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşlediği için bir birim fonksiyondur. ✅
• 👉 c) \( h(x) = (a-2)x + b+3 \) fonksiyonunun birim fonksiyon olabilmesi için, \( x \)'in katsayısının 1, sabit terimin ise 0 olması gerekir.
  • \( x \)'in katsayısı: \( a-2 = 1 \implies a = 3 \)
  • Sabit terim: \( b+3 = 0 \implies b = -3 \)
  Bu durumda \( a = 3 \) ve \( b = -3 \) olmalıdır. ✅

Şimdi verilen \( f(x) \) fonksiyonu için bu kuralı uygulayalım:

• 📌 İlk olarak \( f(-x) \) ifadesini bulalım: \[ f(-x) = (-x)^3 - 4(-x) \] \[ f(-x) = -x^3 + 4x \]
• 📌 Şimdi de \( -f(x) \) ifadesini bulalım: \[ -f(x) = -(x^3 - 4x) \] \[ -f(x) = -x^3 + 4x \]
• 👉 Gördüğümüz gibi, \( f(-x) \) ve \( -f(x) \) ifadeleri birbirine eşittir: \[ -x^3 + 4x = -x^3 + 4x \]

Bu eşitlik sağlandığı için, \( f(x) = x^3 - 4x \) fonksiyonu bir tek fonksiyondur. ✅

Şimdi verilen \( g(x) \) fonksiyonu için bu kuralı uygulayalım:

• 📌 İlk olarak \( g(-x) \) ifadesini bulalım: \[ g(-x) = (-x)^4 + 2(-x)^2 - 1 \] \[ g(-x) = x^4 + 2x^2 - 1 \]
• 👉 Gördüğümüz gibi, \( g(-x) \) ifadesi doğrudan \( g(x) \) ifadesine eşittir: \[ x^4 + 2x^2 - 1 = x^4 + 2x^2 - 1 \]

Bu eşitlik sağlandığı için, \( g(x) = x^4 + 2x^2 - 1 \) fonksiyonu bir çift fonksiyondur. ✅

• 💡 Bir fonksiyon artan ise, \( x_1 < x_2 \) olduğunda \( f(x_1) < f(x_2) \) olur.
• 💡 Bir fonksiyon azalan ise, \( x_1 < x_2 \) olduğunda \( f(x_1) > f(x_2) \) olur.

Doğrusal fonksiyonlar için (genel formu \( f(x) = ax+b \)), \( x \)'in katsayısı olan \( a \) değeri bize yol gösterir:

• 📌 Eğer \( a > 0 \) ise fonksiyon artandır.
• 📌 Eğer \( a < 0 \) ise fonksiyon azalandır.

Verilen \( h(x) = -5x + 12 \) fonksiyonunda, \( x \)'in katsayısı \( a = -5 \)'tir.

• 👉 \( -5 < 0 \) olduğu için, bu fonksiyon azalan bir fonksiyondur. ✅

Örnek olarak, iki farklı \( x \) değeri seçelim:

• \( x_1 = 1 \implies h(1) = -5(1) + 12 = 7 \)
• \( x_2 = 2 \implies h(2) = -5(2) + 12 = -10 + 12 = 2 \)

Gördüğümüz gibi \( x_1 < x_2 \) (yani \( 1 < 2 \)) olmasına rağmen, \( h(x_1) > h(x_2) \) (yani \( 7 > 2 \)) olmuştur. Bu da fonksiyonun azalan olduğunu doğrular.

• 📌 Sabah Seansları (Örn: 09:00 - 12:00): Bilet fiyatı sabittir (20 TL). Bu aralıkta fonksiyon sabit fonksiyondur.
• 📌 Öğle Seansları (12:00 - 17:00): Bilet fiyatı sabittir (30 TL). Bu aralıkta fonksiyon yine sabit fonksiyondur.
• 📌 Akşam Seansları (17:00 sonrası): Bilet fiyatı sabittir (40 TL). Bu aralıkta da fonksiyon sabit fonksiyondur.

Ancak, genel olarak günün tamamına baktığımızda:

• 👉 Sabah seanslarından öğle seanslarına geçildiğinde fiyat 20 TL'den 30 TL'ye artar.
• 👉 Öğle seanslarından akşam seanslarına geçildiğinde fiyat 30 TL'den 40 TL'ye artar.

Dolayısıyla, fonksiyonun tamamı için tek bir "artan" veya "azalan" tanımı yapmak yerine, parçalı olarak incelememiz gerekir. Fonksiyon, belirli zaman aralıklarında sabit olmasına rağmen, genel trend olarak gün ilerledikçe bilet fiyatlarında bir artış gözlemlemekteyiz. Bu tür fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir ve farklı aralıklarda farklı nitel özellikler gösterebilirler.

Bu özel durumda, fonksiyonun genel eğilimi artan bir özellik taşır çünkü zamanla bilet fiyatı düşmemekte, aksine yükselmektedir. Ancak belirli aralıklarda sabit kalmaktadır. ✅

• Let \( t \) = ay sayısı (zaman)
• Let \( P(t) \) = \( t \) ay sonunda kumbaradaki toplam para miktarı

Öğrenci her ay 50 TL eklediği için, kumbaradaki para miktarı her ay artacaktır.

• 1. ay sonunda: \( P(1) = 50 \) TL
• 2. ay sonunda: \( P(2) = 100 \) TL
• 3. ay sonunda: \( P(3) = 150 \) TL
• ...
• \( t \). ay sonunda: \( P(t) = 50t \) TL (Başlangıçta kumbarada para olmadığını varsayarsak)

Fonksiyonun genel kuralı \( P(t) = 50t \) şeklindedir.

• 💡 Bir fonksiyonun artan olması için, bağımsız değişken arttıkça (burada ay sayısı) bağımlı değişkenin (burada para miktarı) de artması gerekir.
• 👉 Bu fonksiyonda, \( t \) değeri arttıkça (yani aylar geçtikçe), \( P(t) \) değeri de (kumbaradaki para miktarı) sürekli olarak artmaktadır. Örneğin, \( t_1 < t_2 \) iken \( P(t_1) < P(t_2) \) olacaktır.

Bu nedenle, kumbaradaki para miktarını gösteren bu fonksiyon artan bir fonksiyondur. ✅