💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonların Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
A kümesi \( \{1, 2, 3\} \), B kümesi \( \{a, b, c, d\} \) olmak üzere, aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi birebir fonksiyondur? 🤔
a) \( f: A \to B, f = \{(1, a), (2, b), (3, a)\} \)
b) \( g: A \to B, g = \{(1, c), (2, d), (3, b)\} \)
c) \( h: A \to B, h = \{(1, a), (2, a), (3, a)\} \)
Çözüm ve Açıklama
Bir fonksiyonun birebir olabilmesi için, tanım kümesindeki her farklı elemanın değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşmesi gerekir. Yani, \( x_1 \neq x_2 \) iken \( f(x_1) \neq f(x_2) \) olmalıdır.
👉 a) \( f = \{(1, a), (2, b), (3, a)\} \) fonksiyonunda, tanım kümesindeki 1 ve 3 elemanlarının ikisi de değer kümesindeki 'a' elemanına eşlenmiştir. Yani \( f(1) = a \) ve \( f(3) = a \)'dır. Bu durum, fonksiyonun birebir olmadığı anlamına gelir.
👉 b) \( g = \{(1, c), (2, d), (3, b)\} \) fonksiyonunda, tanım kümesindeki 1, 2 ve 3 elemanlarının her biri, değer kümesindeki farklı elemanlarla (c, d, b) eşleşmiştir. \( g(1) = c \), \( g(2) = d \), \( g(3) = b \) ve \( c \neq d \neq b \)'dir. Bu nedenle, g fonksiyonu birebir bir fonksiyondur. ✅
👉 c) \( h = \{(1, a), (2, a), (3, a)\} \) fonksiyonunda, tanım kümesindeki tüm elemanlar değer kümesindeki aynı eleman 'a' ile eşleşmiştir. Bu fonksiyon sabit bir fonksiyondur ve birebir değildir.
Doğru cevap b) seçeneğidir.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) fonksiyonu \( f(x) = 2x - 5 \) olarak verilmiştir. Bu fonksiyonun örten olup olmadığını inceleyiniz. 🤔
Çözüm ve Açıklama
Bir fonksiyonun örten olabilmesi için, değer kümesindeki her elemanın tanım kümesindeki en az bir elemanla eşleşmesi gerekir. Yani, değer kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
📌 Bu durumu test etmek için, değer kümesinden rastgele bir \( y \) elemanı alalım ve bu \( y \) değerine karşılık gelen bir \( x \) değeri olup olmadığını bulmaya çalışalım.
💡 Fonksiyon kuralımız \( y = 2x - 5 \)'tir.
Denklemimizi \( x \) cinsinden çözelim:
\[ y = 2x - 5 \]
\[ y + 5 = 2x \]
\[ x = \frac{y + 5}{2} \]
👉 Bulduğumuz bu \( x \) değeri, her gerçek \( y \) değeri için bir gerçek sayı mıdır? Evet, \( y \) yerine hangi gerçek sayıyı yazarsak yazalım, \( \frac{y+5}{2} \) ifadesi her zaman bir gerçek sayı olacaktır.
Sonuç olarak, değer kümesindeki (yani \( \mathbb{R} \)) her \( y \) elemanı için, tanım kümesinde (yani yine \( \mathbb{R} \)) bir \( x \) elemanı bulabiliyoruz.
Bu nedenle, verilen \( f(x) = 2x - 5 \) fonksiyonu örten bir fonksiyondur. ✅
3
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi birim fonksiyon, hangisi sabit fonksiyondur? 🤔
a) \( f(x) = 7 \)
b) \( g(x) = x \)
c) \( h(x) = (a-2)x + b+3 \) fonksiyonu birim fonksiyon ise \( a \) ve \( b \) değerlerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
💡 Birim Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur. Yani \( f(x) = x \) şeklinde olmalıdır.
💡 Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesindeki tek bir elemanla eşleyen fonksiyondur. Yani \( f(x) = c \) (c bir sabit sayı) şeklinde olmalıdır.
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
👉 a) \( f(x) = 7 \) fonksiyonu, tanım kümesindeki tüm elemanları 7'ye eşlediği için bir sabit fonksiyondur. ✅
👉 b) \( g(x) = x \) fonksiyonu, tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşlediği için bir birim fonksiyondur. ✅
👉 c) \( h(x) = (a-2)x + b+3 \) fonksiyonunun birim fonksiyon olabilmesi için, \( x \)'in katsayısının 1, sabit terimin ise 0 olması gerekir.
\( x \)'in katsayısı: \( a-2 = 1 \implies a = 3 \)
Sabit terim: \( b+3 = 0 \implies b = -3 \)
Bu durumda \( a = 3 \) ve \( b = -3 \) olmalıdır. ✅
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Gerçek sayılarda tanımlı \( f(x) = x^3 - 4x \) fonksiyonunun tek fonksiyon olup olmadığını belirleyiniz. 🤔
Çözüm ve Açıklama
Bir fonksiyonun tek fonksiyon olabilmesi için, tanım kümesindeki her \( x \) değeri için \( f(-x) = -f(x) \) eşitliğini sağlaması gerekir.
Şimdi verilen \( f(x) \) fonksiyonu için bu kuralı uygulayalım:
Bu eşitlik sağlandığı için, \( g(x) = x^4 + 2x^2 - 1 \) fonksiyonu bir çift fonksiyondur. ✅
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Gerçek sayılarda tanımlı \( h(x) = -5x + 12 \) fonksiyonunun artan mı, azalan mı olduğunu açıklayınız. 🤔
Çözüm ve Açıklama
Bir fonksiyonun artan veya azalan olup olmadığını anlamak için, tanım kümesinden seçilen farklı \( x \) değerlerinin görüntülerini (fonksiyon değerlerini) karşılaştırırız.
💡 Bir fonksiyon artan ise, \( x_1 < x_2 \) olduğunda \( f(x_1) < f(x_2) \) olur.
💡 Bir fonksiyon azalan ise, \( x_1 < x_2 \) olduğunda \( f(x_1) > f(x_2) \) olur.
Doğrusal fonksiyonlar için (genel formu \( f(x) = ax+b \)), \( x \)'in katsayısı olan \( a \) değeri bize yol gösterir:
📌 Eğer \( a > 0 \) ise fonksiyon artandır.
📌 Eğer \( a < 0 \) ise fonksiyon azalandır.
Verilen \( h(x) = -5x + 12 \) fonksiyonunda, \( x \)'in katsayısı \( a = -5 \)'tir.
👉 \( -5 < 0 \) olduğu için, bu fonksiyon azalan bir fonksiyondur. ✅
Gördüğümüz gibi \( x_1 < x_2 \) (yani \( 1 < 2 \)) olmasına rağmen, \( h(x_1) > h(x_2) \) (yani \( 7 > 2 \)) olmuştur. Bu da fonksiyonun azalan olduğunu doğrular.
7
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir sinema salonunda bilet fiyatları, günün saatine göre değişiklik göstermektedir. Sabah seanslarında bilet fiyatı 20 TL'dir. Öğle seanslarında (12:00 - 17:00 arası) fiyatlar 30 TL'ye yükselir. Akşam seanslarında (17:00 sonrası) ise fiyatlar 40 TL'ye çıkar. Gün içinde fiyatlar bir kez 30 TL'ye, bir kez de 40 TL'ye yükselir ve seanslar ilerledikçe bu fiyat artışları devam eder. Bu durumu temsil eden bir fonksiyonun artan, azalan veya sabit fonksiyon özelliklerinden hangilerini taşıdığını açıklayınız. 🤔
Çözüm ve Açıklama
Bu senaryodaki bilet fiyatlarını günün saatine göre bir fonksiyon olarak düşünebiliriz. Fonksiyonun tanım kümesi günün saatleri, değer kümesi ise bilet fiyatları olacaktır.
📌 Sabah Seansları (Örn: 09:00 - 12:00): Bilet fiyatı sabittir (20 TL). Bu aralıkta fonksiyon sabit fonksiyondur.
📌 Öğle Seansları (12:00 - 17:00): Bilet fiyatı sabittir (30 TL). Bu aralıkta fonksiyon yine sabit fonksiyondur.
📌 Akşam Seansları (17:00 sonrası): Bilet fiyatı sabittir (40 TL). Bu aralıkta da fonksiyon sabit fonksiyondur.
Dolayısıyla, fonksiyonun tamamı için tek bir "artan" veya "azalan" tanımı yapmak yerine, parçalı olarak incelememiz gerekir. Fonksiyon, belirli zaman aralıklarında sabit olmasına rağmen, genel trend olarak gün ilerledikçe bilet fiyatlarında bir artış gözlemlemekteyiz. Bu tür fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir ve farklı aralıklarda farklı nitel özellikler gösterebilirler.
Bu özel durumda, fonksiyonun genel eğilimi artan bir özellik taşır çünkü zamanla bilet fiyatı düşmemekte, aksine yükselmektedir. Ancak belirli aralıklarda sabit kalmaktadır. ✅
8
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir öğrenci, her ay düzenli olarak kumbarasına 50 TL atmaktadır. Bu öğrencinin kumbarasındaki para miktarını zamana (aylara) bağlı bir fonksiyon olarak düşündüğümüzde, bu fonksiyonun artan, azalan veya sabit özelliklerinden hangisini gösterir? Açıklayınız. 🤔
Çözüm ve Açıklama
Bu durumu bir fonksiyon olarak modelleyelim:
Let \( t \) = ay sayısı (zaman)
Let \( P(t) \) = \( t \) ay sonunda kumbaradaki toplam para miktarı
Öğrenci her ay 50 TL eklediği için, kumbaradaki para miktarı her ay artacaktır.
1. ay sonunda: \( P(1) = 50 \) TL
2. ay sonunda: \( P(2) = 100 \) TL
3. ay sonunda: \( P(3) = 150 \) TL
...
\( t \). ay sonunda: \( P(t) = 50t \) TL (Başlangıçta kumbarada para olmadığını varsayarsak)
Fonksiyonun genel kuralı \( P(t) = 50t \) şeklindedir.
💡 Bir fonksiyonun artan olması için, bağımsız değişken arttıkça (burada ay sayısı) bağımlı değişkenin (burada para miktarı) de artması gerekir.
👉 Bu fonksiyonda, \( t \) değeri arttıkça (yani aylar geçtikçe), \( P(t) \) değeri de (kumbaradaki para miktarı) sürekli olarak artmaktadır. Örneğin, \( t_1 < t_2 \) iken \( P(t_1) < P(t_2) \) olacaktır.
Bu nedenle, kumbaradaki para miktarını gösteren bu fonksiyon artan bir fonksiyondur. ✅
10. Sınıf Matematik: Fonksiyonların Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
A kümesi \( \{1, 2, 3\} \), B kümesi \( \{a, b, c, d\} \) olmak üzere, aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi birebir fonksiyondur? 🤔
a) \( f: A \to B, f = \{(1, a), (2, b), (3, a)\} \)
b) \( g: A \to B, g = \{(1, c), (2, d), (3, b)\} \)
c) \( h: A \to B, h = \{(1, a), (2, a), (3, a)\} \)
Çözüm:
Bir fonksiyonun birebir olabilmesi için, tanım kümesindeki her farklı elemanın değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşmesi gerekir. Yani, \( x_1 \neq x_2 \) iken \( f(x_1) \neq f(x_2) \) olmalıdır.
👉 a) \( f = \{(1, a), (2, b), (3, a)\} \) fonksiyonunda, tanım kümesindeki 1 ve 3 elemanlarının ikisi de değer kümesindeki 'a' elemanına eşlenmiştir. Yani \( f(1) = a \) ve \( f(3) = a \)'dır. Bu durum, fonksiyonun birebir olmadığı anlamına gelir.
👉 b) \( g = \{(1, c), (2, d), (3, b)\} \) fonksiyonunda, tanım kümesindeki 1, 2 ve 3 elemanlarının her biri, değer kümesindeki farklı elemanlarla (c, d, b) eşleşmiştir. \( g(1) = c \), \( g(2) = d \), \( g(3) = b \) ve \( c \neq d \neq b \)'dir. Bu nedenle, g fonksiyonu birebir bir fonksiyondur. ✅
👉 c) \( h = \{(1, a), (2, a), (3, a)\} \) fonksiyonunda, tanım kümesindeki tüm elemanlar değer kümesindeki aynı eleman 'a' ile eşleşmiştir. Bu fonksiyon sabit bir fonksiyondur ve birebir değildir.
Doğru cevap b) seçeneğidir.
Örnek 2:
Gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) fonksiyonu \( f(x) = 2x - 5 \) olarak verilmiştir. Bu fonksiyonun örten olup olmadığını inceleyiniz. 🤔
Çözüm:
Bir fonksiyonun örten olabilmesi için, değer kümesindeki her elemanın tanım kümesindeki en az bir elemanla eşleşmesi gerekir. Yani, değer kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
📌 Bu durumu test etmek için, değer kümesinden rastgele bir \( y \) elemanı alalım ve bu \( y \) değerine karşılık gelen bir \( x \) değeri olup olmadığını bulmaya çalışalım.
💡 Fonksiyon kuralımız \( y = 2x - 5 \)'tir.
Denklemimizi \( x \) cinsinden çözelim:
\[ y = 2x - 5 \]
\[ y + 5 = 2x \]
\[ x = \frac{y + 5}{2} \]
👉 Bulduğumuz bu \( x \) değeri, her gerçek \( y \) değeri için bir gerçek sayı mıdır? Evet, \( y \) yerine hangi gerçek sayıyı yazarsak yazalım, \( \frac{y+5}{2} \) ifadesi her zaman bir gerçek sayı olacaktır.
Sonuç olarak, değer kümesindeki (yani \( \mathbb{R} \)) her \( y \) elemanı için, tanım kümesinde (yani yine \( \mathbb{R} \)) bir \( x \) elemanı bulabiliyoruz.
Bu nedenle, verilen \( f(x) = 2x - 5 \) fonksiyonu örten bir fonksiyondur. ✅
Örnek 3:
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi birim fonksiyon, hangisi sabit fonksiyondur? 🤔
a) \( f(x) = 7 \)
b) \( g(x) = x \)
c) \( h(x) = (a-2)x + b+3 \) fonksiyonu birim fonksiyon ise \( a \) ve \( b \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Birim Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur. Yani \( f(x) = x \) şeklinde olmalıdır.
💡 Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesindeki tek bir elemanla eşleyen fonksiyondur. Yani \( f(x) = c \) (c bir sabit sayı) şeklinde olmalıdır.
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
👉 a) \( f(x) = 7 \) fonksiyonu, tanım kümesindeki tüm elemanları 7'ye eşlediği için bir sabit fonksiyondur. ✅
👉 b) \( g(x) = x \) fonksiyonu, tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşlediği için bir birim fonksiyondur. ✅
👉 c) \( h(x) = (a-2)x + b+3 \) fonksiyonunun birim fonksiyon olabilmesi için, \( x \)'in katsayısının 1, sabit terimin ise 0 olması gerekir.
\( x \)'in katsayısı: \( a-2 = 1 \implies a = 3 \)
Sabit terim: \( b+3 = 0 \implies b = -3 \)
Bu durumda \( a = 3 \) ve \( b = -3 \) olmalıdır. ✅
Örnek 4:
Gerçek sayılarda tanımlı \( f(x) = x^3 - 4x \) fonksiyonunun tek fonksiyon olup olmadığını belirleyiniz. 🤔
Çözüm:
Bir fonksiyonun tek fonksiyon olabilmesi için, tanım kümesindeki her \( x \) değeri için \( f(-x) = -f(x) \) eşitliğini sağlaması gerekir.
Şimdi verilen \( f(x) \) fonksiyonu için bu kuralı uygulayalım:
Bu eşitlik sağlandığı için, \( g(x) = x^4 + 2x^2 - 1 \) fonksiyonu bir çift fonksiyondur. ✅
Örnek 6:
Gerçek sayılarda tanımlı \( h(x) = -5x + 12 \) fonksiyonunun artan mı, azalan mı olduğunu açıklayınız. 🤔
Çözüm:
Bir fonksiyonun artan veya azalan olup olmadığını anlamak için, tanım kümesinden seçilen farklı \( x \) değerlerinin görüntülerini (fonksiyon değerlerini) karşılaştırırız.
💡 Bir fonksiyon artan ise, \( x_1 < x_2 \) olduğunda \( f(x_1) < f(x_2) \) olur.
💡 Bir fonksiyon azalan ise, \( x_1 < x_2 \) olduğunda \( f(x_1) > f(x_2) \) olur.
Doğrusal fonksiyonlar için (genel formu \( f(x) = ax+b \)), \( x \)'in katsayısı olan \( a \) değeri bize yol gösterir:
📌 Eğer \( a > 0 \) ise fonksiyon artandır.
📌 Eğer \( a < 0 \) ise fonksiyon azalandır.
Verilen \( h(x) = -5x + 12 \) fonksiyonunda, \( x \)'in katsayısı \( a = -5 \)'tir.
👉 \( -5 < 0 \) olduğu için, bu fonksiyon azalan bir fonksiyondur. ✅
Gördüğümüz gibi \( x_1 < x_2 \) (yani \( 1 < 2 \)) olmasına rağmen, \( h(x_1) > h(x_2) \) (yani \( 7 > 2 \)) olmuştur. Bu da fonksiyonun azalan olduğunu doğrular.
Örnek 7:
Bir sinema salonunda bilet fiyatları, günün saatine göre değişiklik göstermektedir. Sabah seanslarında bilet fiyatı 20 TL'dir. Öğle seanslarında (12:00 - 17:00 arası) fiyatlar 30 TL'ye yükselir. Akşam seanslarında (17:00 sonrası) ise fiyatlar 40 TL'ye çıkar. Gün içinde fiyatlar bir kez 30 TL'ye, bir kez de 40 TL'ye yükselir ve seanslar ilerledikçe bu fiyat artışları devam eder. Bu durumu temsil eden bir fonksiyonun artan, azalan veya sabit fonksiyon özelliklerinden hangilerini taşıdığını açıklayınız. 🤔
Çözüm:
Bu senaryodaki bilet fiyatlarını günün saatine göre bir fonksiyon olarak düşünebiliriz. Fonksiyonun tanım kümesi günün saatleri, değer kümesi ise bilet fiyatları olacaktır.
📌 Sabah Seansları (Örn: 09:00 - 12:00): Bilet fiyatı sabittir (20 TL). Bu aralıkta fonksiyon sabit fonksiyondur.
📌 Öğle Seansları (12:00 - 17:00): Bilet fiyatı sabittir (30 TL). Bu aralıkta fonksiyon yine sabit fonksiyondur.
📌 Akşam Seansları (17:00 sonrası): Bilet fiyatı sabittir (40 TL). Bu aralıkta da fonksiyon sabit fonksiyondur.
Dolayısıyla, fonksiyonun tamamı için tek bir "artan" veya "azalan" tanımı yapmak yerine, parçalı olarak incelememiz gerekir. Fonksiyon, belirli zaman aralıklarında sabit olmasına rağmen, genel trend olarak gün ilerledikçe bilet fiyatlarında bir artış gözlemlemekteyiz. Bu tür fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir ve farklı aralıklarda farklı nitel özellikler gösterebilirler.
Bu özel durumda, fonksiyonun genel eğilimi artan bir özellik taşır çünkü zamanla bilet fiyatı düşmemekte, aksine yükselmektedir. Ancak belirli aralıklarda sabit kalmaktadır. ✅
Örnek 8:
Bir öğrenci, her ay düzenli olarak kumbarasına 50 TL atmaktadır. Bu öğrencinin kumbarasındaki para miktarını zamana (aylara) bağlı bir fonksiyon olarak düşündüğümüzde, bu fonksiyonun artan, azalan veya sabit özelliklerinden hangisini gösterir? Açıklayınız. 🤔
Çözüm:
Bu durumu bir fonksiyon olarak modelleyelim:
Let \( t \) = ay sayısı (zaman)
Let \( P(t) \) = \( t \) ay sonunda kumbaradaki toplam para miktarı
Öğrenci her ay 50 TL eklediği için, kumbaradaki para miktarı her ay artacaktır.
1. ay sonunda: \( P(1) = 50 \) TL
2. ay sonunda: \( P(2) = 100 \) TL
3. ay sonunda: \( P(3) = 150 \) TL
...
\( t \). ay sonunda: \( P(t) = 50t \) TL (Başlangıçta kumbarada para olmadığını varsayarsak)
Fonksiyonun genel kuralı \( P(t) = 50t \) şeklindedir.
💡 Bir fonksiyonun artan olması için, bağımsız değişken arttıkça (burada ay sayısı) bağımlı değişkenin (burada para miktarı) de artması gerekir.
👉 Bu fonksiyonda, \( t \) değeri arttıkça (yani aylar geçtikçe), \( P(t) \) değeri de (kumbaradaki para miktarı) sürekli olarak artmaktadır. Örneğin, \( t_1 < t_2 \) iken \( P(t_1) < P(t_2) \) olacaktır.
Bu nedenle, kumbaradaki para miktarını gösteren bu fonksiyon artan bir fonksiyondur. ✅