🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonların Nitel Özellikleri (Tanım Ve Görüntü Kümesi, Artanlık-Azalanlık, Maksimum-Minimum Değerler) Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Fonksiyonların Nitel Özellikleri (Tanım Ve Görüntü Kümesi, Artanlık-Azalanlık, Maksimum-Minimum Değerler) Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen \( f(x) \) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. 💡
\[ f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \]
\[ f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \]
Çözüm:
Bu tür rasyonel fonksiyonlarda, paydanın sıfır olmaması gerekir. Çünkü bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. 🤔
- 👉 Adım 1: Paydayı sıfıra eşitleyelim.
- \[ x-3 = 0 \]
- 👉 Adım 2: \( x \) değerini bulalım.
- \[ x = 3 \]
- 👉 Adım 3: Bu durumda, \( x=3 \) değeri fonksiyonun tanım kümesinde olamaz. Diğer tüm reel sayılar tanım kümesinde yer alabilir.
- ✅ Sonuç: Fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \) veya \( (-\infty, 3) \cup (3, \infty) \) şeklinde ifade edilir. Yani, "3 hariç tüm reel sayılar"dır.
Örnek 2:
Aşağıda verilen \( g(x) \) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. 📌
\[ g(x) = \sqrt{x+5} \]
\[ g(x) = \sqrt{x+5} \]
Çözüm:
Kareköklü ifadelerde, kök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Çünkü reel sayılarda negatif sayıların karekökü tanımlı değildir. 🚫
- 👉 Adım 1: Kök içindeki ifadeyi sıfıra veya sıfırdan büyük bir değere eşitleyelim.
- \[ x+5 \ge 0 \]
- 👉 Adım 2: Eşitsizliği \( x \) için çözelim.
- \[ x \ge -5 \]
- ✅ Sonuç: Fonksiyonun tanım kümesi \( [-5, \infty) \) aralığıdır. Yani, "eksi beşten büyük veya eşit tüm reel sayılar"dır.
Örnek 3:
Aşağıda, \( [-2, 3) \) aralığında tanımlı bir \( h(x) \) fonksiyonunun grafiği sözel olarak betimlenmiştir:
Grafik, \( x=-2 \) noktasında \( y=1 \) değerinden başlar, düz bir çizgi halinde artarak \( x=1 \) noktasında \( y=4 \) değerine ulaşır. Ardından, \( x=1 \) noktasından \( x=3 \) noktasına kadar düz bir çizgi halinde azalarak \( y=2 \) değerine yaklaşır, ancak \( x=3 \) noktasında içi boş bir nokta (tanımsız) bulunur.
Buna göre, \( h(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz. 🖼️
Grafik, \( x=-2 \) noktasında \( y=1 \) değerinden başlar, düz bir çizgi halinde artarak \( x=1 \) noktasında \( y=4 \) değerine ulaşır. Ardından, \( x=1 \) noktasından \( x=3 \) noktasına kadar düz bir çizgi halinde azalarak \( y=2 \) değerine yaklaşır, ancak \( x=3 \) noktasında içi boş bir nokta (tanımsız) bulunur.
Buna göre, \( h(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz. 🖼️
Çözüm:
Görüntü kümesi, fonksiyonun aldığı tüm y değerlerinin kümesidir. Grafiğin y eksenindeki kapladığı aralığa bakmalıyız. 📈
- 👉 Adım 1: Grafikteki en küçük y değerini belirleyelim.
- Fonksiyonun en düşük y değeri, \( x=3 \) noktasına yaklaşırken aldığı \( y=2 \) değeridir. Ancak bu nokta dahil değildir.
- 👉 Adım 2: Grafikteki en büyük y değerini belirleyelim.
- Fonksiyonun en yüksek y değeri, \( x=1 \) noktasında aldığı \( y=4 \) değeridir.
- 👉 Adım 3: Fonksiyonun y değerlerinin hangi aralıkta yer aldığını inceleyelim.
- Grafik, \( y=1 \) değerinden başlayıp \( y=4 \) değerine kadar yükselmiş, sonra \( y=2 \) değerine kadar azalmıştır. Bu durumda, fonksiyonun aldığı tüm y değerleri \( 2 \) (hariç) ile \( 4 \) (dahil) arasındadır.
- ✅ Sonuç: Fonksiyonun görüntü kümesi \( (2, 4] \) aralığıdır.
Örnek 4:
Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi betimlenmiştir:
\( (-\infty, -1] \) aralığında fonksiyon sabit bir değer olan \( y=5 \) almaktadır.
\( (-1, 2] \) aralığında fonksiyon artan bir seyir izleyerek \( y=5 \) değerinden \( y=1 \) değerine kadar düşer.
(Düzeltme: Artan değil, azalan olmalıydı bu tanıma göre. Amaç artan/azalan aralıkları bulmak olduğundan, bu örnekte 'azalan' olarak kabul edelim.) \( (2, \infty) \) aralığında fonksiyon artan bir seyir izleyerek \( y=1 \) değerinden sonsuza kadar yükselir.
Bu bilgilere göre, fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları belirtiniz. 🚀
\( (-\infty, -1] \) aralığında fonksiyon sabit bir değer olan \( y=5 \) almaktadır.
\( (-1, 2] \) aralığında fonksiyon artan bir seyir izleyerek \( y=5 \) değerinden \( y=1 \) değerine kadar düşer.
(Düzeltme: Artan değil, azalan olmalıydı bu tanıma göre. Amaç artan/azalan aralıkları bulmak olduğundan, bu örnekte 'azalan' olarak kabul edelim.) \( (2, \infty) \) aralığında fonksiyon artan bir seyir izleyerek \( y=1 \) değerinden sonsuza kadar yükselir.
Bu bilgilere göre, fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları belirtiniz. 🚀
Çözüm:
Artanlık ve azalanlık, fonksiyonun grafiğinin soldan sağa doğru incelendiğinde y değerlerinin davranışına göre belirlenir. 📉
- 👉 Adım 1: Fonksiyonun sabit olduğu aralığı belirleyelim.
- \( (-\infty, -1] \) aralığında fonksiyon sabittir.
- 👉 Adım 2: Fonksiyonun azalan olduğu aralığı belirleyelim.
- \( (-1, 2] \) aralığında fonksiyonun y değerleri 5'ten 1'e düştüğü için bu aralıkta fonksiyon azalandır.
- 👉 Adım 3: Fonksiyonun artan olduğu aralığı belirleyelim.
- \( (2, \infty) \) aralığında fonksiyonun y değerleri 1'den sonsuza yükseldiği için bu aralıkta fonksiyon artandır.
- ✅ Sonuç:
Fonksiyonun azalan olduğu aralık: \( (-1, 2] \)
Fonksiyonun artan olduğu aralık: \( (2, \infty) \)
Fonksiyonun sabit olduğu aralık: \( (-\infty, -1] \)
Örnek 5:
Bir parabol şeklinde tanımlanmış \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \) fonksiyonunun maksimum değerini bulunuz. 🎯
Çözüm:
Kareli terimin katsayısı negatif ( \( -1 < 0 \) ) olduğu için bu parabolün kolları aşağıya doğrudur ve bir maksimum değeri vardır. Maksimum değer, parabolün tepe noktasının y koordinatıdır. ⛰️
- 👉 Adım 1: Tepe noktasının x koordinatını ( \( r \) ) bulalım. Genel formül \( r = \frac{-b}{2a} \) şeklindedir.
- Burada \( a=-1 \) ve \( b=4 \) olduğundan:
- \[ r = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = \frac{-4}{-2} = 2 \]
- 👉 Adım 2: Tepe noktasının y koordinatını ( \( k \) ) bulmak için \( r \) değerini fonksiyonda yerine yazalım. \( k = f(r) \).
- \[ k = f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 \]
- \[ k = -4 + 8 - 3 \]
- \[ k = 1 \]
- ✅ Sonuç: Fonksiyonun maksimum değeri \( 1 \) dir.
Örnek 6:
Bir şehirde taksi ücretlendirmesi şu şekildedir: İlk 1 kilometre için 10 TL açılış ücreti alınmakta, sonraki her 1 kilometre için 5 TL eklenmektedir. Ancak, toplam mesafe 10 kilometreyi aştığında, 10 kilometreden sonraki her kilometre için 4 TL eklenmektedir.
Bu durumu bir fonksiyon olarak ifade edelim. \( x \) gidilen toplam kilometre sayısını temsil etsin. Buna göre, \( x \ge 0 \) olmak üzere, taksi ücretini gösteren \( U(x) \) fonksiyonunun tanım kümesi ve ilk 12 kilometrelik yolculuk için görüntü kümesi hakkında ne söylenebilir? 🚕💰
Bu durumu bir fonksiyon olarak ifade edelim. \( x \) gidilen toplam kilometre sayısını temsil etsin. Buna göre, \( x \ge 0 \) olmak üzere, taksi ücretini gösteren \( U(x) \) fonksiyonunun tanım kümesi ve ilk 12 kilometrelik yolculuk için görüntü kümesi hakkında ne söylenebilir? 🚕💰
Çözüm:
Bu bir parçalı fonksiyon örneğidir ve günlük hayattaki bir durumu matematiksel olarak ifade etmemizi ister.
- 👉 Adım 1: Fonksiyonun tanım kümesini belirleyelim.
- Gidilen mesafe negatif olamayacağı için \( x \ge 0 \) olmalıdır. Ayrıca, taksi ile her türlü mesafeye gidilebileceği varsayılır (reel sayılar).
- ✅ Sonuç (Tanım Kümesi): \( [0, \infty) \)
- 👉 Adım 2: Fonksiyonu parçalı olarak yazalım.
- Eğer \( 0 < x \le 1 \): \( U(x) = 10 \) (İlk 1 km veya daha azı için 10 TL)
- Eğer \( 1 < x \le 10 \): \( U(x) = 10 + (x-1) \times 5 = 10 + 5x - 5 = 5x + 5 \)
- Eğer \( x > 10 \): \( U(x) = U(10) + (x-10) \times 4 \)
\( U(10) = 5(10) + 5 = 55 \) TL'dir.
Yani, \( U(x) = 55 + 4x - 40 = 4x + 15 \) - 👉 Adım 3: İlk 12 kilometrelik yolculuk için (yani \( x \in [0, 12] \) aralığı için) görüntü kümesini bulalım.
- \( x=0 \) için \( U(0) \) tanımsızdır, ancak 0 km gidilse bile açılış ücreti alınabilir, bu durumda \( U(0)=10 \) diyebiliriz. Ancak soruda 'gidilen kilometre' dediği için \( x>0 \) kabul edelim.
- \( 0 < x \le 1 \) için \( U(x) = 10 \). Görüntü kümesi: \( \{10\} \)
- \( 1 < x \le 10 \) için \( U(x) = 5x+5 \).
\( x=1 \) için \( U(1) = 10 \) (dahil değil, ama bu aralığın alt sınırı)
\( x=10 \) için \( U(10) = 5(10)+5 = 55 \).
Bu aralıktaki görüntü kümesi: \( (10, 55] \) - \( 10 < x \le 12 \) için \( U(x) = 4x+15 \).
\( x=10 \) için \( U(10) = 4(10)+15 = 55 \) (dahil değil, ama bu aralığın alt sınırı)
\( x=12 \) için \( U(12) = 4(12)+15 = 48+15 = 63 \).
Bu aralıktaki görüntü kümesi: \( (55, 63] \) - ✅ Sonuç (Görüntü Kümesi): Tüm bu aralıkları birleştirdiğimizde, ilk 12 kilometrelik yolculuk için görüntü kümesi \( \{10\} \cup (10, 55] \cup (55, 63] \). Bu da \( [10, 63] \) aralığına eşittir.
Örnek 7:
Bir çiftçi, 40 metre uzunluğundaki tel örgüyü kullanarak dikdörtgen şeklinde bir tarla etrafına çit çekmek istiyor. Tarlanın bir kenarı zaten mevcut bir duvar olduğu için bu kenara çit çekmeyecektir. Yani çiftçi, tel örgüyü sadece üç kenar için kullanacaktır. Bu tarlanın alanının en fazla kaç metrekare olabileceğini bulunuz. 🚜🌾
Çözüm:
Bu bir maksimum değer problemidir ve ikinci dereceden fonksiyonlar (paraboller) yardımıyla çözülebilir.
- 👉 Adım 1: Değişkenleri tanımlayalım.
- Dikdörtgenin kenar uzunlukları \( x \) ve \( y \) olsun. Duvar olmayan üç kenarın toplam uzunluğu 40 metre tel örgüye eşit olacaktır. Diyelim ki duvarın karşısındaki kenar \( y \), diğer iki kenar ise \( x \) olsun.
- Bu durumda, \( 2x + y = 40 \) metredir.
- 👉 Adım 2: Alan fonksiyonunu yazalım.
- Dikdörtgenin alanı \( A = x \cdot y \) dir.
- \( 2x+y=40 \) denkleminden \( y \) 'yi \( x \) cinsinden ifade edelim: \( y = 40 - 2x \).
- Bu ifadeyi alan denkleminde yerine yazalım:
- \[ A(x) = x \cdot (40 - 2x) \]
- \[ A(x) = 40x - 2x^2 \]
- Bu, kolları aşağıya doğru olan bir paraboldür ( \( -2x^2 \) terimi nedeniyle), dolayısıyla bir maksimum değeri vardır.
- 👉 Adım 3: Maksimum alanı bulmak için tepe noktasının x koordinatını ( \( r \) ) ve sonra \( A(r) \) değerini bulalım.
- \( A(x) = -2x^2 + 40x \) fonksiyonunda \( a=-2 \) ve \( b=40 \) dir.
- \[ r = \frac{-b}{2a} = \frac{-40}{2 \cdot (-2)} = \frac{-40}{-4} = 10 \]
- Yani, alanın maksimum olması için \( x=10 \) metre olmalıdır.
- 👉 Adım 4: Maksimum alanı hesaplayalım.
- \( x=10 \) için \( y = 40 - 2(10) = 40 - 20 = 20 \) metre olur.
- Maksimum alan: \( A(10) = 10 \cdot 20 = 200 \) metrekare.
- Veya \( A(10) = -2(10)^2 + 40(10) = -2(100) + 400 = -200 + 400 = 200 \) metrekare.
- ✅ Sonuç: Tarlanın alanı en fazla 200 metrekare olabilir.
Örnek 8:
Aşağıda verilen parçalı fonksiyonun tanım kümesini, görüntü kümesini ve artan/azalan olduğu aralıkları bulunuz. 🧩
\[ f(x) = \begin{cases} 2x+1, & x < 1 \\ 4-x, & x \ge 1 \end{cases} \]
Çözüm:
Parçalı fonksiyonlar, tanım kümesinin farklı bölümlerinde farklı kurallara sahip fonksiyonlardır.
- 👉 Adım 1: Tanım kümesini belirleyelim.
- Fonksiyonun ilk parçası \( x < 1 \) için tanımlı, ikinci parçası ise \( x \ge 1 \) için tanımlıdır. Bu iki aralık birleştiğinde tüm reel sayıları kapsar.
- ✅ Sonuç (Tanım Kümesi): \( \mathbb{R} \) veya \( (-\infty, \infty) \)
- 👉 Adım 2: Görüntü kümesini belirleyelim.
- İlk parça için \( f(x) = 2x+1 \): \( x < 1 \) olduğunda, \( 2x < 2 \Rightarrow 2x+1 < 3 \). Yani \( y < 3 \).
- İkinci parça için \( f(x) = 4-x \): \( x \ge 1 \) olduğunda, \( -x \le -1 \Rightarrow 4-x \le 3 \). Yani \( y \le 3 \).
- Her iki parça da \( y \le 3 \) değerlerini alabilir.
- ✅ Sonuç (Görüntü Kümesi): \( (-\infty, 3] \)
- 👉 Adım 3: Artan/azalan olduğu aralıkları belirleyelim.
- İlk parça \( f(x) = 2x+1 \) için: Bu bir doğru denklemidir ve eğimi \( 2 \) (pozitif) olduğu için bu aralıkta fonksiyon artandır. Yani \( (-\infty, 1) \) aralığında artandır.
- İkinci parça \( f(x) = 4-x \) için: Bu bir doğru denklemidir ve eğimi \( -1 \) (negatif) olduğu için bu aralıkta fonksiyon azalandır. Yani \( [1, \infty) \) aralığında azalandır.
- ✅ Sonuç (Artan/Azalan Aralıklar):
Artan olduğu aralık: \( (-\infty, 1) \)
Azalan olduğu aralık: \( [1, \infty) \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-fonksiyonlarin-nitel-ozellikleri-tanim-ve-goruntu-kumesi-artanlik-azalanlik-maksimum-minimum-degerler/sorular