💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonların nitel özellikleri, permütasyon, kombinasyon, algoritma, analitik geometri (iki nokta arasındaki uzaklık, orta nokta, ağırlık merkezi, eğim), koşullu olasılık, faktöriyel Çözümlü Örnekler

Faktöriyel sorularında ifadeyi en küçük faktöriyelli terim cinsinden yazmak sadeleştirmeyi kolaylaştırır. 💡

• Adım 1: Pay kısmındaki ifadeleri \( 7! \) parantezine alalım:
  \( 8! = 8 \times 7! \) olduğu için pay: \( 8 \times 7! - 7! = 7!(8 - 1) = 7 \times 7! \) olur.
• Adım 2: Payda kısmındaki ifadeleri \( 6! \) parantezine alalım:
  \( 7! = 7 \times 6! \) olduğu için payda: \( 7 \times 6! + 6! = 6!(7 + 1) = 8 \times 6! \) olur.
• Adım 3: Bulduğumuz değerleri yerlerine yazalım:
  \[ \frac{7 \times 7!}{8 \times 6!} \]
• Adım 4: \( 7! \) ifadesini \( 7 \times 6! \) olarak açalım ve sadeleştirelim:
  \[ \frac{7 \times 7 \times 6!}{8 \times 6!} = \frac{49}{8} \]

Belirli kişilerin yan yana olması istendiğinde, bu kişileri "tek bir kişi" gibi düşünmeliyiz. 📌

• Adım 1: Arda ve Pelin'i bir paket (blok) olarak kabul edelim: \( \{Arda, Pelin\} \).
• Adım 2: Geriye kalan 4 kişi ve bu 1 paket toplamda \( 4 + 1 = 5 \) birim eder.
• Adım 3: 5 birim kendi arasında \( 5! \) kadar farklı şekilde sıralanır:
  \( 5! = 120 \)
• Adım 4: Paket içindeki Arda ve Pelin de kendi aralarında yer değiştirebilir. 2 kişi oldukları için \( 2! \) kadar yer değiştirirler:
  \( 2! = 2 \)
• Adım 5: Çarpma yoluyla sayma kuralına göre toplam durum:
  \( 120 \times 2 = 240 \)

Bu soruda önce grup oluşturmalı (kombinasyon), sonra grup içinden seçim yapmalıyız. 💡

• Adım 1: 10 kişi arasından 3 kişilik kurulu seçelim:
  \( C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \)
• Adım 2: Seçilen bu 3 kişi arasından 1 başkan seçelim:
  \( C(3, 1) = 3 \)
• Adım 3: Toplam seçim sayısını bulmak için bu iki değeri çarpalım:
  \( 120 \times 3 = 360 \)

Sabit fonksiyonlarda değişken (x) bulunmaz. Bu yüzden x içeren terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. 📌

• Adım 1: \( x^2 \) terimini yok etmek için katsayısını sıfıra eşitleyelim:
  \( a - 4 = 0 \implies a = 4 \)
• Adım 2: \( x \) terimini yok etmek için katsayısını sıfıra eşitleyelim:
  \( b + 2 = 0 \implies b = -2 \)
• Adım 3: Bulduğumuz değerleri fonksiyonda yerine yazarak sabit değeri bulalım:
  \( f(x) = 0 \times x^2 + 0 \times x + 4 \times (-2) \)
  \( f(x) = -8 \)
• Adım 4: Fonksiyon sabit olduğu için x yerine ne yazılırsa yazılsın sonuç değişmez:
  \( f(100) = -8 \)

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) 💡

• Adım 1: Koordinatları formülde yerine yerleştirelim:
  \( x_1 = 1, y_1 = 2 \)
  \( x_2 = 4, y_2 = 6 \)
• Adım 2: Farkların karesini alalım:
  \( (4 - 1)^2 = 3^2 = 9 \)
  \( (6 - 2)^2 = 4^2 = 16 \)
• Adım 3: Kareleri toplayalım:
  \( 9 + 16 = 25 \)
• Adım 4: Toplamın karekökünü alalım:
  \( \sqrt{25} = 5 \)

Koşullu olasılıkta örnek uzay, verilen "bilinen" duruma göre kısıtlanır. 📌

• Adım 1: Toplamı 7 olan tüm durumları (yeni örnek uzay) yazalım:
  \( S = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\} \)
  Toplam eleman sayısı: \( n(S) = 6 \)
• Adım 2: Bu durumlar içinden "en az birinin 2 olduğu" istenen durumları seçelim:
  \( A = \{(2,5), (5,2)\} \)
  İstenen eleman sayısı: \( n(A) = 2 \)
• Adım 3: Olasılık değerini hesaplayalım:
  \( P(A|S) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{2}{6} \)
• Adım 4: Sadeleştirelim:
  \( 1/3 \)

Algoritma adımlarını sırasıyla takip edelim: 💡

• Adım 1: Ağırlık \( 12 \) kg.
• Adım 2: Ağırlık 5 kg'dan fazla olduğu için 3. adıma geçilir.
• Adım 3: Sabit ücret (ilk 5 kg için) = \( 20 \) TL.
• Adım 4: Fazla ağırlığı bulalım: \( 12 - 5 = 7 \) kg.
• Adım 5: Ek ücreti hesaplayalım: \( 7 \times 4 = 28 \) TL.
• Adım 6: Toplam ücret: \( 20 + 28 = 48 \) TL.

İki noktası bilinen doğrunun eğimi \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) formülü ile bulunur. 📌

• Adım 1: Verilen koordinatları belirleyelim:
  \( x_1 = 1, y_1 = 1 \)
  \( x_2 = 5, y_2 = 9 \)
• Adım 2: \( y \) değerleri farkını (dikey değişim) bulalım:
  \( y_2 - y_1 = 9 - 1 = 8 \)
• Adım 3: \( x \) değerleri farkını (yatay değişim) bulalım:
  \( x_2 - x_1 = 5 - 1 = 4 \)
• Adım 4: Değerleri oranlayarak eğimi bulalım:
  \( m = \frac{8}{4} = 2 \)