💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonları nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Soru: Bir \( f \) fonksiyonu sıralı ikililerle aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
\( f = \{(1, a), (2, b), (3, c), (4, a)\} \)
Buna göre, bu fonksiyonun tanım kümesini ve görüntü kümesini bulunuz. 🎯
Çözüm ve Açıklama
Bir fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerini belirlemek için sıralı ikililerin bileşenlerine bakılır:
Tanım Kümesi: Sıralı ikililerin birinci bileşenlerinden oluşur. Bu durumda tanım kümesi \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) olur. ✅
Görüntü Kümesi: Sıralı ikililerin ikinci bileşenlerinden oluşur. Bu durumda görüntü kümesi \( f(A) = \{a, b, c\} \) olur. (Dikkat: "a" elemanı iki kez yazılmaz.) ✅
Sonuç olarak; Tanım Kümesi \( \{1, 2, 3, 4\} \), Görüntü Kümesi \( \{a, b, c\} \) şeklindedir.
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Soru: Bir bağıntının grafik üzerinde fonksiyon olup olmadığını anlamak için kullanılan "Düşey Doğru Testi" nedir? Bir çember grafiğinin neden fonksiyon belirtmediğini açıklayınız. 🔍
Çözüm ve Açıklama
Düşey doğru testi, bir grafiğin fonksiyon olup olmadığını belirlemek için kullanılan pratik bir yöntemdir:
Kural: Grafiğin tanım kümesindeki her bir \( x \) değeri için \( y \) eksenine paralel (düşey) doğrular çizilir.
Fonksiyon Olma Şartı: Eğer çizilen bu doğrular grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa, bu grafik bir fonksiyon belirtir. 📍
Çember Örneği: Bir çember grafiğine düşey doğrular çizildiğinde, bu doğrular çemberi genellikle iki farklı noktada keser. Bu durum, bir \( x \) değerinin iki farklı \( y \) değerine gitmesi demektir.
Bu nedenle, bir çember grafiği fonksiyon tanımına aykırıdır ve fonksiyon belirtmez. ❌
Bir fonksiyonun sıfırı, fonksiyonun sonucunu \( 0 \) yapan \( x \) değeridir. Yani grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktadır.
Çözüm adımları:
Fonksiyonu sıfıra eşitleyelim: \( f(x) = 0 \)
\( 4x - 20 = 0 \)
\( 4x = 20 \)
\( x = 5 \)
Bu durumda fonksiyonun sıfırı \( x = 5 \) noktasıdır. Grafik çizildiğinde \( (5, 0) \) noktasından geçer. ✅
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Soru: Koordinat düzleminde bir \( f \) fonksiyonunun grafiği üzerinde \( A(2, 6) \) ve \( B(-3, 0) \) noktaları bulunmaktadır. Buna göre \( f(2) + f(-3) \) toplamı kaçtır? 📈
Çözüm ve Açıklama
Grafik üzerindeki noktalar \( (x, f(x)) \) formundadır. Bu bilgiyi kullanarak değerleri bulalım:
\( A(2, 6) \) noktası grafik üzerinde ise, \( x = 2 \) için \( f(2) = 6 \) olur.
\( B(-3, 0) \) noktası grafik üzerinde ise, \( x = -3 \) için \( f(-3) = 0 \) olur.
Bizden istenen toplam:
\[ f(2) + f(-3) = 6 + 0 \]
\[ f(2) + f(-3) = 6 \]
Cevap 6 olarak bulunur. 🌟
5
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Soru: \( f(x) = \frac{x + 7}{x - 4} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ⚠️
Çözüm ve Açıklama
Rasyonel (kesirli) fonksiyonlarda tanım kümesi belirlenirken dikkat edilmesi gereken en önemli kural, paydanın asla sıfır olmamasıdır.
Paydayı sıfır yapan değeri bulalım: \( x - 4 = 0 \)
Buradan \( x = 4 \) elde edilir.
Eğer \( x = 4 \) olursa, payda sıfır olacağı için fonksiyon tanımsız olur.
Bu nedenle, fonksiyon \( 4 \) dışındaki tüm reel sayılar için tanımlıdır.
Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} - \{4\} \) veya \( (-\infty, 4) \cup (4, \infty) \) şeklinde gösterilir. ✅
6
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Soru: \( f(x) = \sqrt{x - 6} \) fonksiyonunun gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için en geniş tanım kümesi ne olmalıdır? 🧠
Çözüm ve Açıklama
Karekök içerisindeki bir ifadenin gerçek sayılar kümesinde tanımlı olabilmesi için, kök içinin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir.
Kural: \( x - 6 \ge 0 \) olmalıdır.
Eşitsizliği çözersek: \( x \ge 6 \) elde ederiz.
Bu durumda fonksiyonun tanım kümesi \( 6 \) ve \( 6 \)'dan büyük tüm gerçek sayılardır.
Tanım Kümesi: \( [6, \infty) \) aralığıdır. 🚀
7
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Soru: Bir kumbarada başlangıçta 50 TL vardır. Her gün kumbaraya düzenli olarak 10 TL atılmaktadır. Kumbaradaki toplam para miktarını gün sayısına bağlı bir fonksiyon olarak yazınız ve bu fonksiyonun 15. gündeki değerini bulunuz. 💰
Çözüm ve Açıklama
Bu problemi fonksiyonel bir modelle ifade edelim:
\( x \): Geçen gün sayısı (Bağımsız değişken)
\( f(x) \): Kumbaradaki toplam para (Bağımlı değişken)
Başlangıç miktarı: 50 TL
Günlük artış: 10 TL
Fonksiyon: \( f(x) = 10x + 50 \)
15. gündeki para miktarını bulmak için \( x = 15 \) yazalım:
\[ f(15) = 10 \times 15 + 50 \]
\[ f(15) = 150 + 50 \]
\[ f(15) = 200 \]
15 gün sonunda kumbarada 200 TL birikir. 💵
8
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Soru: Bir su deposunda 100 litre su bulunmaktadır. Deponun altındaki musluk açıldığında su miktarı her saatte 5 litre azalmaktadır. Depodaki su tamamen bitene kadar geçen süreyi tanım kümesi kabul eden fonksiyonun görüntü kümesini bulunuz. 💧
Çözüm ve Açıklama
Depodaki suyun zamana göre değişimini inceleyelim:
\( t \): Saat cinsinden zaman.
\( f(t) = 100 - 5t \): Depodaki su miktarını veren fonksiyon.
Tanım Kümesi: Su bitene kadar geçen süre. \( 100 - 5t = 0 \) ise \( t = 20 \). Yani zaman \( [0, 20] \) aralığındadır.
Görüntü Kümesi: Depodaki su miktarının alabileceği değerlerdir.
Hesaplama:
\( t = 0 \) (başlangıç) için \( f(0) = 100 \) litre.
\( t = 20 \) (son) için \( f(20) = 0 \) litre.
Bu durumda su miktarı 100 litreden başlayıp 0 litreye kadar düşmektedir. Görüntü Kümesi: \( [0, 100] \) aralığıdır. ✅
10. Sınıf Matematik: Fonksiyonları nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Soru: Bir \( f \) fonksiyonu sıralı ikililerle aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
\( f = \{(1, a), (2, b), (3, c), (4, a)\} \)
Buna göre, bu fonksiyonun tanım kümesini ve görüntü kümesini bulunuz. 🎯
Çözüm:
Bir fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerini belirlemek için sıralı ikililerin bileşenlerine bakılır:
Tanım Kümesi: Sıralı ikililerin birinci bileşenlerinden oluşur. Bu durumda tanım kümesi \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) olur. ✅
Görüntü Kümesi: Sıralı ikililerin ikinci bileşenlerinden oluşur. Bu durumda görüntü kümesi \( f(A) = \{a, b, c\} \) olur. (Dikkat: "a" elemanı iki kez yazılmaz.) ✅
Sonuç olarak; Tanım Kümesi \( \{1, 2, 3, 4\} \), Görüntü Kümesi \( \{a, b, c\} \) şeklindedir.
Örnek 2:
Soru: Bir bağıntının grafik üzerinde fonksiyon olup olmadığını anlamak için kullanılan "Düşey Doğru Testi" nedir? Bir çember grafiğinin neden fonksiyon belirtmediğini açıklayınız. 🔍
Çözüm:
Düşey doğru testi, bir grafiğin fonksiyon olup olmadığını belirlemek için kullanılan pratik bir yöntemdir:
Kural: Grafiğin tanım kümesindeki her bir \( x \) değeri için \( y \) eksenine paralel (düşey) doğrular çizilir.
Fonksiyon Olma Şartı: Eğer çizilen bu doğrular grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa, bu grafik bir fonksiyon belirtir. 📍
Çember Örneği: Bir çember grafiğine düşey doğrular çizildiğinde, bu doğrular çemberi genellikle iki farklı noktada keser. Bu durum, bir \( x \) değerinin iki farklı \( y \) değerine gitmesi demektir.
Bu nedenle, bir çember grafiği fonksiyon tanımına aykırıdır ve fonksiyon belirtmez. ❌
Bir fonksiyonun sıfırı, fonksiyonun sonucunu \( 0 \) yapan \( x \) değeridir. Yani grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktadır.
Çözüm adımları:
Fonksiyonu sıfıra eşitleyelim: \( f(x) = 0 \)
\( 4x - 20 = 0 \)
\( 4x = 20 \)
\( x = 5 \)
Bu durumda fonksiyonun sıfırı \( x = 5 \) noktasıdır. Grafik çizildiğinde \( (5, 0) \) noktasından geçer. ✅
Örnek 4:
Soru: Koordinat düzleminde bir \( f \) fonksiyonunun grafiği üzerinde \( A(2, 6) \) ve \( B(-3, 0) \) noktaları bulunmaktadır. Buna göre \( f(2) + f(-3) \) toplamı kaçtır? 📈
Çözüm:
Grafik üzerindeki noktalar \( (x, f(x)) \) formundadır. Bu bilgiyi kullanarak değerleri bulalım:
\( A(2, 6) \) noktası grafik üzerinde ise, \( x = 2 \) için \( f(2) = 6 \) olur.
\( B(-3, 0) \) noktası grafik üzerinde ise, \( x = -3 \) için \( f(-3) = 0 \) olur.
Bizden istenen toplam:
\[ f(2) + f(-3) = 6 + 0 \]
\[ f(2) + f(-3) = 6 \]
Cevap 6 olarak bulunur. 🌟
Örnek 5:
Soru: \( f(x) = \frac{x + 7}{x - 4} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ⚠️
Çözüm:
Rasyonel (kesirli) fonksiyonlarda tanım kümesi belirlenirken dikkat edilmesi gereken en önemli kural, paydanın asla sıfır olmamasıdır.
Paydayı sıfır yapan değeri bulalım: \( x - 4 = 0 \)
Buradan \( x = 4 \) elde edilir.
Eğer \( x = 4 \) olursa, payda sıfır olacağı için fonksiyon tanımsız olur.
Bu nedenle, fonksiyon \( 4 \) dışındaki tüm reel sayılar için tanımlıdır.
Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} - \{4\} \) veya \( (-\infty, 4) \cup (4, \infty) \) şeklinde gösterilir. ✅
Örnek 6:
Soru: \( f(x) = \sqrt{x - 6} \) fonksiyonunun gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için en geniş tanım kümesi ne olmalıdır? 🧠
Çözüm:
Karekök içerisindeki bir ifadenin gerçek sayılar kümesinde tanımlı olabilmesi için, kök içinin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir.
Kural: \( x - 6 \ge 0 \) olmalıdır.
Eşitsizliği çözersek: \( x \ge 6 \) elde ederiz.
Bu durumda fonksiyonun tanım kümesi \( 6 \) ve \( 6 \)'dan büyük tüm gerçek sayılardır.
Tanım Kümesi: \( [6, \infty) \) aralığıdır. 🚀
Örnek 7:
Soru: Bir kumbarada başlangıçta 50 TL vardır. Her gün kumbaraya düzenli olarak 10 TL atılmaktadır. Kumbaradaki toplam para miktarını gün sayısına bağlı bir fonksiyon olarak yazınız ve bu fonksiyonun 15. gündeki değerini bulunuz. 💰
Çözüm:
Bu problemi fonksiyonel bir modelle ifade edelim:
\( x \): Geçen gün sayısı (Bağımsız değişken)
\( f(x) \): Kumbaradaki toplam para (Bağımlı değişken)
Başlangıç miktarı: 50 TL
Günlük artış: 10 TL
Fonksiyon: \( f(x) = 10x + 50 \)
15. gündeki para miktarını bulmak için \( x = 15 \) yazalım:
\[ f(15) = 10 \times 15 + 50 \]
\[ f(15) = 150 + 50 \]
\[ f(15) = 200 \]
15 gün sonunda kumbarada 200 TL birikir. 💵
Örnek 8:
Soru: Bir su deposunda 100 litre su bulunmaktadır. Deponun altındaki musluk açıldığında su miktarı her saatte 5 litre azalmaktadır. Depodaki su tamamen bitene kadar geçen süreyi tanım kümesi kabul eden fonksiyonun görüntü kümesini bulunuz. 💧
Çözüm:
Depodaki suyun zamana göre değişimini inceleyelim:
\( t \): Saat cinsinden zaman.
\( f(t) = 100 - 5t \): Depodaki su miktarını veren fonksiyon.
Tanım Kümesi: Su bitene kadar geçen süre. \( 100 - 5t = 0 \) ise \( t = 20 \). Yani zaman \( [0, 20] \) aralığındadır.
Görüntü Kümesi: Depodaki su miktarının alabileceği değerlerdir.
Hesaplama:
\( t = 0 \) (başlangıç) için \( f(0) = 100 \) litre.
\( t = 20 \) (son) için \( f(20) = 0 \) litre.
Bu durumda su miktarı 100 litreden başlayıp 0 litreye kadar düşmektedir. Görüntü Kümesi: \( [0, 100] \) aralığıdır. ✅