🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlardan Çözümlü Problemler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlardan Çözümlü Problemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Fonksiyon Değeri Bulma
Aşağıda verilen \(f(x)\) fonksiyonu için \(f(4)\) değerini bulunuz.
\[ f(x) = 3x - 5 \]
Aşağıda verilen \(f(x)\) fonksiyonu için \(f(4)\) değerini bulunuz.
\[ f(x) = 3x - 5 \]
Çözüm:
Bu tür problemlerde, verilen \(x\) değerini doğrudan fonksiyonun kuralında yerine koyarız. İşte adım adım çözüm:
- 👉 Fonksiyon kuralı \(f(x) = 3x - 5\) olarak verilmiş.
- 👉 Bizden \(f(4)\) değeri istendiği için, fonksiyondaki her \(x\) yerine 4 yazıyoruz.
- ✅ Hesaplama:
\(f(4) = 3 \times (4) - 5\)
\(f(4) = 12 - 5\)
\(f(4) = 7\)
Buna göre, \(f(4)\) değeri 7'dir.
Örnek 2:
📌 Fonksiyonlarda İşlemler
\(f(x) = x^2 + 2x\) ve \(g(x) = x - 3\) fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, \((f+g)(x)\) ifadesini ve \((f \cdot g)(1)\) değerini bulunuz.
\(f(x) = x^2 + 2x\) ve \(g(x) = x - 3\) fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, \((f+g)(x)\) ifadesini ve \((f \cdot g)(1)\) değerini bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyonlarda toplama ve çarpma işlemleri, tanımlı oldukları bölgelerde ayrı ayrı yapılır.
- 👉 \((f+g)(x)\) ifadesini bulalım:
\((f+g)(x) = f(x) + g(x)\)
\((f+g)(x) = (x^2 + 2x) + (x - 3)\)
\((f+g)(x) = x^2 + 2x + x - 3\)
✅ Sonuç: \((f+g)(x) = x^2 + 3x - 3\) - 👉 \((f \cdot g)(1)\) değerini bulalım:
İki farklı yolla hesaplayabiliriz:- Önce \((f \cdot g)(x)\) fonksiyonunu bulup sonra \(x\) yerine 1 yazmak.
- Önce \(f(1)\) ve \(g(1)\) değerlerini bulup sonra çarpmak.
\(f(1) = 1^2 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3\)
\(g(1) = 1 - 3 = -2\)
\((f \cdot g)(1) = f(1) \times g(1) = 3 \times (-2)\)
✅ Sonuç: \((f \cdot g)(1) = -6\)
Örnek 3:
🚀 Bileşke Fonksiyon
\(f(x) = 2x + 1\) ve \(g(x) = x^2\) fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, \((f \circ g)(x)\) ifadesini ve \((g \circ f)(2)\) değerini bulunuz.
\(f(x) = 2x + 1\) ve \(g(x) = x^2\) fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, \((f \circ g)(x)\) ifadesini ve \((g \circ f)(2)\) değerini bulunuz.
Çözüm:
Bileşke fonksiyon, bir fonksiyonun çıktısını diğer bir fonksiyonun girdisi olarak kullanmaktır.
- 👉 \((f \circ g)(x)\) ifadesini bulalım:
\((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
Önce \(g(x)\) ifadesini \(f(x)\) fonksiyonundaki \(x\) yerine yazıyoruz.
\(f(x) = 2x + 1\) olduğundan, \(x\) yerine \(g(x) = x^2\) yazarsak:
\(f(x^2) = 2(x^2) + 1\)
✅ Sonuç: \((f \circ g)(x) = 2x^2 + 1\) - 👉 \((g \circ f)(2)\) değerini bulalım:
\((g \circ f)(2) = g(f(2))\)
Önce \(f(2)\) değerini hesaplayalım:
\(f(2) = 2 \times (2) + 1 = 4 + 1 = 5\)
Şimdi bu değeri \(g(x)\) fonksiyonunda \(x\) yerine yazalım:
\(g(5) = 5^2 = 25\)
✅ Sonuç: \((g \circ f)(2) = 25\)
Örnek 4:
🔄 Ters Fonksiyon Bulma
\(f(x) = 4x - 7\) fonksiyonunun tersi olan \(f^{-1}(x)\) fonksiyonunu bulunuz.
\(f(x) = 4x - 7\) fonksiyonunun tersi olan \(f^{-1}(x)\) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Bir fonksiyonun tersini bulmak için, \(y = f(x)\) ifadesindeki \(x\)'i yalnız bırakırız ve sonra \(x\) ile \(y\)'nin yerini değiştiririz.
- 👉 Fonksiyonu \(y = f(x)\) şeklinde yazalım:
\(y = 4x - 7\) - 👉 Şimdi \(x\)'i yalnız bırakmak için denklemi düzenleyelim:
\(y + 7 = 4x\)
Her iki tarafı 4'e bölelim:
\[ x = \frac{y + 7}{4} \] - 👉 Son adım olarak, \(x\) yerine \(f^{-1}(x)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazarak ters fonksiyonu elde ederiz.
✅ Sonuç: \[ f^{-1}(x) = \frac{x + 7}{4} \]
Örnek 5:
🧩 Parçalı Fonksiyon Değeri
Aşağıda verilen parçalı fonksiyon için \(f(1) + f(5)\) değerini bulunuz.
\[ f(x) = \frac{\begin{cases} 2x+1, & x < 3 \\ x^2-5, & x \ge 3 \end{cases}}{} \]
Aşağıda verilen parçalı fonksiyon için \(f(1) + f(5)\) değerini bulunuz.
\[ f(x) = \frac{\begin{cases} 2x+1, & x < 3 \\ x^2-5, & x \ge 3 \end{cases}}{} \]
Çözüm:
Parçalı fonksiyonlarda, \(x\) değerinin hangi aralığa düştüğüne göre ilgili fonksiyon kuralını kullanırız.
- 👉 \(f(1)\) değerini hesaplayalım:
\(x = 1\) olduğu için, \(x < 3\) koşulu sağlanır. Bu durumda üstteki kuralı kullanmalıyız:
\(f(1) = 2 \times (1) + 1 = 2 + 1 = 3\) - 👉 \(f(5)\) değerini hesaplayalım:
\(x = 5\) olduğu için, \(x \ge 3\) koşulu sağlanır. Bu durumda alttaki kuralı kullanmalıyız:
\(f(5) = 5^2 - 5 = 25 - 5 = 20\) - 👉 Şimdi \(f(1) + f(5)\) toplamını bulalım:
\(f(1) + f(5) = 3 + 20\)
✅ Sonuç: \(f(1) + f(5) = 23\)
Örnek 6:
📈 Fonksiyon ve Ters Fonksiyon Değerleri
\(f(x)\) doğrusal bir fonksiyon olup \(f(1) = 5\) ve \(f(3) = 11\) olarak veriliyor.
Buna göre \(f(x)\) fonksiyonunu bulunuz ve \(f^{-1}(14)\) değerini hesaplayınız.
\(f(x)\) doğrusal bir fonksiyon olup \(f(1) = 5\) ve \(f(3) = 11\) olarak veriliyor.
Buna göre \(f(x)\) fonksiyonunu bulunuz ve \(f^{-1}(14)\) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
Doğrusal fonksiyonlar \(f(x) = ax + b\) şeklindedir. Verilen noktaları kullanarak \(a\) ve \(b\) değerlerini bulacağız.
- 👉 \(f(x)\) fonksiyonunu bulalım:
\(f(1) = 5 \implies a(1) + b = 5 \implies a + b = 5\) (Denklem 1)
\(f(3) = 11 \implies a(3) + b = 11 \implies 3a + b = 11\) (Denklem 2)
Denklem 2'den Denklem 1'i çıkaralım:
\((3a + b) - (a + b) = 11 - 5\)
\(2a = 6 \implies a = 3\)
\(a = 3\) değerini Denklem 1'de yerine yazalım:
\(3 + b = 5 \implies b = 2\)
✅ Sonuç: \(f(x) = 3x + 2\) - 👉 \(f^{-1}(14)\) değerini bulalım:
\(f^{-1}(14) = k\) olsun. Bu durumda \(f(k) = 14\) demektir.
\(f(k) = 3k + 2 = 14\)
\(3k = 14 - 2\)
\(3k = 12\)
\(k = 4\)
✅ Sonuç: \(f^{-1}(14) = 4\)
Örnek 7:
🚕 Taksimetre Ücreti
Bir şehirdeki taksinin açılış ücreti 15 TL'dir ve her kilometre başına 5 TL ücret almaktadır.
Gidilen yol \(x\) kilometre olmak üzere, taksinin alacağı toplam ücreti veren \(f(x)\) fonksiyonunu yazınız.
Ardından, 12 kilometre yol giden bir kişinin ödeyeceği ücreti bulunuz.
Bir şehirdeki taksinin açılış ücreti 15 TL'dir ve her kilometre başına 5 TL ücret almaktadır.
Gidilen yol \(x\) kilometre olmak üzere, taksinin alacağı toplam ücreti veren \(f(x)\) fonksiyonunu yazınız.
Ardından, 12 kilometre yol giden bir kişinin ödeyeceği ücreti bulunuz.
Çözüm:
Bu problem, doğrusal fonksiyon modellemesine güzel bir örnektir. Açılış ücreti sabit bir değerdir, kilometre başına alınan ücret ise değişkene bağlıdır.
- 👉 Ücret fonksiyonunu yazalım:
Açılış ücreti sabit olduğu için fonksiyonun 'b' terimini oluşturur.
Her kilometre için alınan ücret, \(x\) ile çarpılacak olan 'a' terimini oluşturur.
Buna göre, \(f(x) = (\text{kilometre ücreti}) \times x + (\text{açılış ücreti})\)
✅ Fonksiyon: \(f(x) = 5x + 15\) - 👉 12 kilometre yol giden kişinin ödeyeceği ücreti hesaplayalım:
Fonksiyonda \(x\) yerine 12 yazarak \(f(12)\) değerini bulmalıyız.
\(f(12) = 5 \times (12) + 15\)
\(f(12) = 60 + 15\)
\(f(12) = 75\)
✅ Sonuç: 12 kilometre yol giden bir kişi 75 TL öder.
Örnek 8:
💧 Su Deposu Problemi
Bir depoda başlangıçta 200 litre su bulunmaktadır. Bu depodan her saat 15 litre su kullanılmaktadır.
\(t\) saat sonra depoda kalan su miktarını veren \(S(t)\) fonksiyonunu yazınız.
Depoda 50 litre su kalması için kaç saat geçmesi gerekir?
Bir depoda başlangıçta 200 litre su bulunmaktadır. Bu depodan her saat 15 litre su kullanılmaktadır.
\(t\) saat sonra depoda kalan su miktarını veren \(S(t)\) fonksiyonunu yazınız.
Depoda 50 litre su kalması için kaç saat geçmesi gerekir?
Çözüm:
Bu problem de doğrusal bir ilişkiyi ifade eder. Başlangıç miktarı sabit, kullanılan miktar ise zamana bağlı olarak azalır.
- 👉 Depoda kalan su miktarını veren fonksiyonu yazalım:
Başlangıç miktarı 200 litredir.
Her saat 15 litre azaldığı için, \(t\) saatte \(15t\) litre su azalır.
Kalan su miktarı, başlangıç miktarından azalan miktarın çıkarılmasıyla bulunur.
✅ Fonksiyon: \(S(t) = 200 - 15t\) - 👉 Depoda 50 litre su kalması için geçen süreyi bulalım:
Bu durumda \(S(t) = 50\) olmalıdır. Fonksiyonu 50'ye eşitleyip \(t\)'yi bulalım.
\(200 - 15t = 50\)
\(200 - 50 = 15t\)
\(150 = 15t\)
\(t = \frac{150}{15}\)
\(t = 10\)
✅ Sonuç: Depoda 50 litre su kalması için 10 saat geçmesi gerekir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-fonksiyonlardan-cozumlu-problemler/sorular