🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda İşlemler ve Polinomlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda İşlemler ve Polinomlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İki fonksiyon verilsin: \( f(x) = 2x + 3 \) ve \( g(x) = x^2 - 1 \).
Buna göre, \( (f+g)(x) \) fonksiyonunu bulunuz. 💡
Çözüm:
Fonksiyonlarda toplama işlemi, karşılıklı terimlerin toplanmasıyla yapılır.
- Adım 1: Verilen fonksiyonları yazalım: \( f(x) = 2x + 3 \) ve \( g(x) = x^2 - 1 \).
- Adım 2: \( (f+g)(x) \) demek, \( f(x) \) ile \( g(x) \) fonksiyonlarının toplamı demektir.
- Adım 3: Fonksiyonları toplayalım: \( (f+g)(x) = f(x) + g(x) = (2x + 3) + (x^2 - 1) \).
- Adım 4: Benzer terimleri bir araya getirerek sadeleştirelim: \( (f+g)(x) = x^2 + 2x + (3 - 1) = x^2 + 2x + 2 \).
Örnek 2:
\( p(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1 \) polinomu veriliyor.
Buna göre, \( p(-1) \) değerini hesaplayınız. 🤔
Çözüm:
Polinomlarda değer bulma işlemi, değişkene verilen değeri polinomda yerine koyarak yapılır.
- Adım 1: Verilen polinom \( p(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1 \).
- Adım 2: \( p(-1) \) değerini bulmak için \( x \) yerine \( -1 \) yazalım.
- Adım 3: \( p(-1) = 3(-1)^3 - 2(-1)^2 + 5(-1) - 1 \).
- Adım 4: Üslü ifadeleri hesaplayalım: \( (-1)^3 = -1 \) ve \( (-1)^2 = 1 \).
- Adım 5: Değerleri yerine koyarak işlemi devam ettirelim: \( p(-1) = 3(-1) - 2(1) + 5(-1) - 1 \).
- Adım 6: Çarpma işlemlerini yapalım: \( p(-1) = -3 - 2 - 5 - 1 \).
- Adım 7: Toplama ve çıkarma işlemlerini yaparak sonucu bulalım: \( p(-1) = -11 \).
Örnek 3:
\( f(x) = x^2 + 4 \) ve \( g(x) = 2x - 1 \) fonksiyonları için \( (f \cdot g)(x) \) fonksiyonunu bulunuz. ✖️
Çözüm:
Fonksiyonlarda çarpma işlemi, polinom çarpma kurallarına göre yapılır.
- Adım 1: Verilen fonksiyonlar \( f(x) = x^2 + 4 \) ve \( g(x) = 2x - 1 \).
- Adım 2: \( (f \cdot g)(x) \) demek, \( f(x) \) ile \( g(x) \) fonksiyonlarının çarpımı demektir.
- Adım 3: Fonksiyonları çarpalım: \( (f \cdot g)(x) = (x^2 + 4)(2x - 1) \).
- Adım 4: Dağılma özelliğini kullanarak her terimi birbiriyle çarpalım:
- \( x^2 \cdot (2x) = 2x^3 \)
- \( x^2 \cdot (-1) = -x^2 \)
- \( 4 \cdot (2x) = 8x \)
- \( 4 \cdot (-1) = -4 \)
- Adım 5: Elde edilen terimleri toplayarak sonucu bulalım: \( (f \cdot g)(x) = 2x^3 - x^2 + 8x - 4 \).
Örnek 4:
\( P(x) = x^3 - 5x + 2 \) polinomunun \( x-2 \) ile bölümünden kalanı bulunuz. ➗
Çözüm:
Polinomlarda kalan bulma işlemi için Kalan Teoremi kullanılır. Kalan Teoremi'ne göre, bir \( P(x) \) polinomunun \( x-a \) ile bölümünden kalan \( P(a) \) değerine eşittir.
- Adım 1: Bölünen polinom \( P(x) = x^3 - 5x + 2 \).
- Adım 2: Bölen ifade \( x-2 \). Bu durumda \( a = 2 \) olur.
- Adım 3: Kalanı bulmak için \( P(2) \) değerini hesaplayalım.
- Adım 4: \( P(2) = (2)^3 - 5(2) + 2 \).
- Adım 5: Üslü ifadeyi hesaplayalım: \( (2)^3 = 8 \).
- Adım 6: Çarpma işlemini yapalım: \( 5(2) = 10 \).
- Adım 7: Değerleri yerine koyarak sonucu bulalım: \( P(2) = 8 - 10 + 2 \).
- Adım 8: Toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım: \( P(2) = 0 \).
Örnek 5:
Bir teknoloji mağazasında, bir ürünün satış fiyatı \( S(x) \) ile gösteriliyor ve bu fiyat, ürünün maliyeti \( x \) TL'nin \( 3 \) katının \( 50 \) TL fazlası olarak hesaplanıyor. Yani, \( S(x) = 3x + 50 \).
Aynı zamanda, mağazanın bu ürün için ödediği sabit giderler (kira, personel vb.) \( G(x) = 1000 \) TL'dir.
Bu ürünün birim karını gösteren \( K(x) \) fonksiyonunu bulunuz. 📈
Çözüm:
Kar fonksiyonu, satış fiyatı fonksiyonundan maliyet ve gider fonksiyonlarının toplamının çıkarılmasıyla bulunur.
- Adım 1: Satış fiyatı fonksiyonu: \( S(x) = 3x + 50 \).
- Adım 2: Sabit gider fonksiyonu: \( G(x) = 1000 \).
- Adım 3: Toplam maliyet (maliyet + gider) fonksiyonu: \( M(x) = x + G(x) = x + 1000 \).
- Adım 4: Kar fonksiyonu \( K(x) = S(x) - M(x) \) formülü ile bulunur.
- Adım 5: Fonksiyonları yerine koyarak kar fonksiyonunu oluşturalım: \( K(x) = (3x + 50) - (x + 1000) \).
- Adım 6: Parantezleri açarak ve benzer terimleri birleştirerek sadeleştirelim: \( K(x) = 3x + 50 - x - 1000 \).
- Adım 7: Sonucu düzenleyelim: \( K(x) = (3x - x) + (50 - 1000) = 2x - 950 \).
Örnek 6:
Bir inşaat firması, bir binanın yapım maliyetini belirlerken sabit bir temel maliyet \( C_0 = 500000 \) TL'ye, yapılan her metrekare alan için \( m = 1500 \) TL ek maliyet ekliyor.
Bu firmanın \( x \) metrekarelik bir bina için toplam maliyetini gösteren \( M(x) \) fonksiyonunu yazınız. 🏗️
Çözüm:
Toplam maliyet, sabit maliyet ile değişken maliyetin toplamına eşittir.
- Adım 1: Sabit temel maliyet: \( C_0 = 500000 \) TL.
- Adım 2: Metrekare başına ek maliyet: \( m = 1500 \) TL.
- Adım 3: \( x \) metrekarelik alan için değişken maliyet: \( 1500 \cdot x \) TL.
- Adım 4: Toplam maliyet fonksiyonu \( M(x) \), sabit maliyet ile değişken maliyetin toplamıdır: \( M(x) = C_0 + m \cdot x \).
- Adım 5: Verilen değerleri fonksiyonda yerine koyalım: \( M(x) = 500000 + 1500x \).
Örnek 7:
\( P(x) = x^3 + ax^2 - bx + 4 \) polinomu veriliyor.
\( P(x) \) polinomunun \( x-1 \) ile bölümünden kalan \( 7 \) ve \( x+1 \) ile bölümünden kalan \( 3 \) olduğuna göre, \( a \) ve \( b \) değerlerini bulunuz. 🧐
Çözüm:
Kalan Teoremi'ni kullanarak iki denklem oluşturup bu denklemleri çözerek \( a \) ve \( b \) değerlerini bulacağız.
- Adım 1: Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \)'in \( x-1 \) ile bölümünden kalan \( P(1) \) değerine eşittir.
- Adım 2: \( P(1) = 7 \) bilgisiyle denklemi kuralım: \( (1)^3 + a(1)^2 - b(1) + 4 = 7 \).
- Adım 3: Denklemi sadeleştirelim: \( 1 + a - b + 4 = 7 \Rightarrow a - b + 5 = 7 \Rightarrow a - b = 2 \). (Denklem 1)
- Adım 4: Kalan Teoremi'ne göre, \( P(x) \)'in \( x+1 \) ile bölümünden kalan \( P(-1) \) değerine eşittir.
- Adım 5: \( P(-1) = 3 \) bilgisiyle denklemi kuralım: \( (-1)^3 + a(-1)^2 - b(-1) + 4 = 3 \).
- Adım 6: Denklemi sadeleştirelim: \( -1 + a(1) + b + 4 = 3 \Rightarrow a + b + 3 = 3 \Rightarrow a + b = 0 \). (Denklem 2)
- Adım 7: Oluşan iki bilinmeyenli denklem sistemini çözelim:
- Denklem 1: \( a - b = 2 \)
- Denklem 2: \( a + b = 0 \)
- Adım 8: İki denklemi taraf tarafa toplayalım: \( (a - b) + (a + b) = 2 + 0 \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1 \).
- Adım 9: Bulduğumuz \( a \) değerini Denklem 2'de yerine koyarak \( b \) değerini bulalım: \( 1 + b = 0 \Rightarrow b = -1 \).
Örnek 8:
\( f(x) = 3x - 2 \) ve \( g(x) = x + 5 \) fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, \( (f-g)(x) \) fonksiyonunu bulunuz. ➖
Çözüm:
Fonksiyonlarda çıkarma işlemi, karşılıklı terimlerin çıkarılmasıyla yapılır.
- Adım 1: Verilen fonksiyonları yazalım: \( f(x) = 3x - 2 \) ve \( g(x) = x + 5 \).
- Adım 2: \( (f-g)(x) \) demek, \( f(x) \) fonksiyonundan \( g(x) \) fonksiyonunun çıkarılması demektir.
- Adım 3: Fonksiyonları çıkaralım: \( (f-g)(x) = f(x) - g(x) = (3x - 2) - (x + 5) \).
- Adım 4: Çıkarma işleminde ikinci parantezin işaretlerini değiştirmeyi unutmayalım: \( (f-g)(x) = 3x - 2 - x - 5 \).
- Adım 5: Benzer terimleri bir araya getirerek sadeleştirelim: \( (f-g)(x) = (3x - x) + (-2 - 5) = 2x - 7 \).
Örnek 9:
\( P(x) = 2x^2 - 3x + 1 \) ve \( Q(x) = x + 2 \) polinomları veriliyor.
Buna göre, \( P(x) \cdot Q(x) \) çarpımını bulunuz. ✖️
Çözüm:
İki polinomun çarpımı, birinci polinomun her teriminin ikinci polinomun her terimiyle çarpılması ve sonuçların toplanmasıyla elde edilir.
- Adım 1: Verilen polinomlar \( P(x) = 2x^2 - 3x + 1 \) ve \( Q(x) = x + 2 \).
- Adım 2: Çarpma işlemini yapalım: \( P(x) \cdot Q(x) = (2x^2 - 3x + 1)(x + 2) \).
- Adım 3: Dağılma özelliğini kullanarak çarpma işlemini gerçekleştirelim:
- \( 2x^2 \) ile \( (x + 2) \) çarpılır: \( (2x^2 \cdot x) + (2x^2 \cdot 2) = 2x^3 + 4x^2 \)
- \( -3x \) ile \( (x + 2) \) çarpılır: \( (-3x \cdot x) + (-3x \cdot 2) = -3x^2 - 6x \)
- \( 1 \) ile \( (x + 2) \) çarpılır: \( (1 \cdot x) + (1 \cdot 2) = x + 2 \)
- Adım 4: Elde edilen tüm terimleri toplayalım: \( (2x^3 + 4x^2) + (-3x^2 - 6x) + (x + 2) \).
- Adım 5: Benzer terimleri bir araya getirerek sadeleştirelim: \( 2x^3 + (4x^2 - 3x^2) + (-6x + x) + 2 \).
- Adım 6: Sonucu düzenleyelim: \( 2x^3 + x^2 - 5x + 2 \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-fonksiyonlarda-islemler-ve-polinomlar/sorular