📄 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda İşlemler ve Polinomlar Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öğrenciler için adım adım çözüm:



1. Polinomların Toplamı (P+Q)(x):

Polinomları toplarken benzer terimlerin katsayılarını toplarız.

\[(P+Q)(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5x - 1) + (x^3 + 4x^2 - x + 2)\]

\[= (3x^3 + x^3) + (-2x^2 + 4x^2) + (5x - x) + (-1 + 2)\]

\[= 4x^3 + 2x^2 + 4x + 1\]



2. Polinomların Farkı (P-Q)(x):

Polinomları çıkarırken ikinci polinomun her teriminin işaretini değiştirip toplarız.

\[(P-Q)(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5x - 1) - (x^3 + 4x^2 - x + 2)\]

\[= 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1 - x^3 - 4x^2 + x - 2\]

\[= (3x^3 - x^3) + (-2x^2 - 4x^2) + (5x + x) + (-1 - 2)\]

\[= 2x^3 - 6x^2 + 6x - 3\]



Sonuç olarak, (P+Q)(x) = 4x^3 + 2x^2 + 4x + 1 ve (P-Q)(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6x - 3 bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

Öğrenciler için adım adım çözüm:



Polinom çarpımında, birinci polinomun her terimini ikinci polinomun her terimiyle çarparız ve elde edilen terimleri benzer terimler olarak toplarız.



\[(P \cdot Q)(x) = (2x - 3) \cdot (x^2 + 4x + 1)\]



Her terimi dağıtalım:



\[(2x) \cdot (x^2 + 4x + 1) = 2x \cdot x^2 + 2x \cdot 4x + 2x \cdot 1 = 2x^3 + 8x^2 + 2x\]



\[(-3) \cdot (x^2 + 4x + 1) = -3 \cdot x^2 - 3 \cdot 4x - 3 \cdot 1 = -3x^2 - 12x - 3\]



Şimdi bu iki sonucu toplayalım:



\[(P \cdot Q)(x) = (2x^3 + 8x^2 + 2x) + (-3x^2 - 12x - 3)\]



Benzer terimleri bir araya getirelim:



\[= 2x^3 + (8x^2 - 3x^2) + (2x - 12x) - 3\]



\[= 2x^3 + 5x^2 - 10x - 3\]



Sonuç olarak, (P \cdot Q)(x) = 2x^3 + 5x^2 - 10x - 3 bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

Öğrenciler için adım adım çözüm:



Polinomda x yerine a yazarak P(a) ifadesini oluşturalım:

\[P(a) = a^2 - 5a + 7\]



Soruda P(a) = 17 olarak verildiği için, bu iki ifadeyi eşitleyebiliriz:

\[a^2 - 5a + 7 = 17\]



Bu denklemi çözmek için 17'yi sol tarafa atarak denklemi sıfıra eşitleyelim:

\[a^2 - 5a + 7 - 17 = 0\]

\[a^2 - 5a - 10 = 0\]



Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak veya diskriminant yöntemiyle çözebiliriz. Ancak bu denklem kolayca çarpanlarına ayrılmıyor gibi görünüyor. Soruda bir hata olabilir veya a'nın tam sayı olması gerekmeyebilir. MEB müfredatında bu seviyede genellikle tam sayı veya rasyonel kökler beklenir. Eğer kökler tam sayı olsaydı, çarpımları -10 ve toplamları -5 olan iki sayı arardık (örneğin -2 ve -5 gibi ama toplamları -7 olurdu, veya -1 ve -10 gibi ama toplamları -11 olurdu).



Varsayım: Soruda bir yazım hatası olduğunu ve denklemin daha kolay çözülebilir olması gerektiğini düşünelim. Örneğin, eğer P(a)=7 olsaydı:

\[a^2 - 5a + 7 = 7\]

\[a^2 - 5a = 0\]

\[a(a-5) = 0\]

Bu durumda a=0 veya a=5 olurdu.



Mevcut Soruya Devam: Eğer soru tam olarak bu şekildeyse ve a'nın reel sayı olması bekleniyorsa, diskriminant yöntemini kullanırız. Denklem ax^2+bx+c=0 formunda ise, diskriminant \Delta = b^2 - 4ac'dir.

Burada a=1, b=-5, c=-10'dur.

\[\Delta = (-5)^2 - 4(1)(-10)\]

\[\Delta = 25 + 40\]

\[\Delta = 65\]



Kökler şu formülle bulunur: \[a = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

\[a = \frac{-(-5) \pm \sqrt{65}}{2(1)}\]

\[a = \frac{5 \pm \sqrt{65}}{2}\]



Bu durumda a'nın alabileceği değerler a_1 = \frac{5 + \sqrt{65}}{2} ve a_2 = \frac{5 - \sqrt{65}}{2}'dir. Öğrencilerin bu seviyede \sqrt{65} gibi köklü ifadelerle uğraşması beklenmeyebilir, bu yüzden sorunun orijinal hali kontrol edilmelidir. Ancak matematiksel olarak çözüm budur.