🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda eşitsizlik, sayma, permütasyon, kombinasyon, binom, olasılık, analitik geometri, algoritma karma test Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda eşitsizlik, sayma, permütasyon, kombinasyon, binom, olasılık, analitik geometri, algoritma karma test Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Soru: Bir kütüphane rafına 4 farklı matematik kitabı ve 3 farklı fizik kitabı yan yana dizilecektir. Matematik kitaplarının bir arada olması şartıyla bu kitaplar kaç farklı şekilde dizilebilir? 📚
Çözüm:
Bu soruyu adım adım çözelim:
- Adım 1: Matematik kitaplarını bir arada tutmak için onları tek bir paket (1 kitap gibi) kabul edelim.
- Adım 2: Bu durumda elimizde 1 paket (matematik kitapları) ve 3 ayrı fizik kitabı olur. Toplamda \( 1 + 3 = 4 \) nesne varmış gibi düşünürüz.
- Adım 3: Bu 4 nesne kendi arasında \( 4! \) kadar farklı şekilde dizilir.
- Adım 4: Paket içindeki 4 farklı matematik kitabı da kendi arasında \( 4! \) kadar yer değiştirebilir.
- Sonuç: Toplam dizilim sayısı: \[ 4! \times 4! = 24 \times 24 = 576 \] olarak bulunur. ✅
Örnek 2:
Soru: 7 kişilik bir öğrenci grubundan 3 kişilik bir yarışma ekibi ve bu ekip içinden de 1 başkan seçilecektir. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? 🤝
Çözüm:
Seçim işlemini aşamalara ayıralım:
- Adım 1: Önce 7 kişi arasından 3 kişilik ekibi seçelim. Bu bir kombinasyon problemidir: \[ C(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]
- Adım 2: Seçilen bu 3 kişi arasından 1 başkan seçelim. Bu seçim: \[ C(3, 1) = 3 \] farklı şekilde yapılır.
- Adım 3: Sayma prensibi gereği bu iki durumu çarparız: \[ 35 \times 3 = 105 \]
- Cevap: Toplam 105 farklı seçim yapılabilir. 🎯
Örnek 3:
Soru: \( (x + 2)^5 \) ifadesinin açılımında \( x^3 \) lü terimin katsayısı kaçtır? 🔢
Çözüm:
Binom açılımı formülünü kullanarak çözüme ulaşalım:
- Adım 1: Genel terim formülümüz: \( \binom{n}{r} \cdot a^{n-r} \cdot b^r \) şeklindedir.
- Adım 2: Burada \( n = 5 \), \( a = x \) ve \( b = 2 \) dir. \( x^3 \) lü terimi bulmak için \( n-r = 3 \) olmalıdır.
- Adım 3: \( 5 - r = 3 \) ise \( r = 2 \) bulunur.
- Adım 4: Değerleri yerine koyalım: \[ \binom{5}{2} \cdot x^3 \cdot 2^2 \]
- Adım 5: Hesaplamaları yapalım: \[ 10 \cdot x^3 \cdot 4 = 40x^3 \]
- Sonuç: \( x^3 \) lü terimin katsayısı 40'tır. 🚀
Örnek 4:
Soru: Bir torbada 4 kırmızı ve 6 beyaz bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele çekilen iki bilyenin aynı renk olma olasılığı kaçtır? 🔴⚪
Çözüm:
Olasılık hesabı için istenen durum sayısını tüm durum sayısına oranlamalıyız:
- Adım 1: Tüm durumların sayısı (10 bilyeden 2 tane seçmek): \[ C(10, 2) = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \]
- Adım 2: İstenen durumlar (İkisinin de kırmızı veya ikisinin de beyaz olması):
- İkisinin kırmızı olması: \( C(4, 2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \)
- İkisinin beyaz olması: \( C(6, 2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \)
- Adım 3: İstenen toplam durum sayısı: \( 6 + 15 = 21 \)
- Adım 4: Olasılık değeri: \[ P = \frac{21}{45} \]
- Adım 5: Sadeleştirme yaparsak (her iki tarafı 3'e bölelim): \[ P = \frac{7}{15} \]
Örnek 5:
Soru: \( f(x) = 3x - 2 \) ve \( g(x) = x + 4 \) fonksiyonları veriliyor. Buna göre \( (fog)(2) \) değeri kaçtır? ⚙️
Çözüm:
Bileşke fonksiyon işlem adımlarını takip edelim:
- Adım 1: \( (fog)(2) \) ifadesi \( f(g(2)) \) anlamına gelir.
- Adım 2: Önce en içteki \( g(2) \) değerini hesaplayalım: \[ g(2) = 2 + 4 = 6 \]
- Adım 3: Bulduğumuz 6 değerini \( f \) fonksiyonunda yerine yazalım: \[ f(6) = 3 \times 6 - 2 \]
- Adım 4: İşlemi tamamlayalım: \[ f(6) = 18 - 2 = 16 \]
- Sonuç: \( (fog)(2) = 16 \) bulunur. ✅
Örnek 6:
Soru: Analitik düzlemde \( A(1, 2) \) ve \( B(4, 6) \) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? 📏
Çözüm:
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım:
- Adım 1: Uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Adım 2: Verilen koordinatları yerleştirelim: \[ d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} \]
- Adım 3: Farkları ve karelerini hesaplayalım: \[ d = \sqrt{3^2 + 4^2} \] \[ d = \sqrt{9 + 16} \]
- Adım 4: Karekök dışına çıkaralım: \[ d = \sqrt{25} = 5 \]
- Cevap: A ve B noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir. 📍
Örnek 7:
Soru: Bir algoritma, girilen bir \( x \) tam sayısı için şu adımları izlemektedir:
1. Adım: Sayının karesini al.
2. Adım: Sonuca 10 ekle.
3. Adım: Eğer sonuç 50'den büyükse 4. adıma git, değilse 2. adıma dön.
4. Adım: Sonucu ekrana yaz.
Sisteme \( x = 5 \) girilirse ekranda hangi sayı görünür? 💻
1. Adım: Sayının karesini al.
2. Adım: Sonuca 10 ekle.
3. Adım: Eğer sonuç 50'den büyükse 4. adıma git, değilse 2. adıma dön.
4. Adım: Sonucu ekrana yaz.
Sisteme \( x = 5 \) girilirse ekranda hangi sayı görünür? 💻
Çözüm:
Algoritmayı adım adım takip edelim:
- Başlangıç: \( x = 5 \)
- 1. Adım: Karesini al: \( 5^2 = 25 \)
- 2. Adım: 10 ekle: \( 25 + 10 = 35 \)
- 3. Adım Kontrol: 35 sayısı 50'den büyük mü? Hayır. O halde 2. adıma geri dön.
- 2. Adım (Tekrar): Mevcut sonuca (35) 10 ekle: \( 35 + 10 = 45 \)
- 3. Adım Kontrol: 45 sayısı 50'den büyük mü? Hayır. O halde 2. adıma geri dön.
- 2. Adım (Tekrar): Mevcut sonuca (45) 10 ekle: \( 45 + 10 = 55 \)
- 3. Adım Kontrol: 55 sayısı 50'den büyük mü? Evet. 4. adıma git.
- 4. Adım: Ekrana 55 yazılır.
Örnek 8:
Soru: \( f(x) = (m-2)x + 6 \) fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, \( f(100) + m \) toplamı kaçtır? 🧩
Çözüm:
Sabit fonksiyonun özelliklerini hatırlayalım:
- Adım 1: Bir fonksiyonun sabit olması için \( x \) değişkenine bağlı olmaması gerekir. Yani \( x \)'li terimin katsayısı 0 olmalıdır.
- Adım 2: \( m - 2 = 0 \) eşitliğinden \( m = 2 \) bulunur.
- Adım 3: \( m = 2 \) değerini fonksiyonda yerine yazarsak: \[ f(x) = 0 \cdot x + 6 \implies f(x) = 6 \] olur.
- Adım 4: Fonksiyon sabit olduğu için her \( x \) değeri için sonuç 6'dır. Dolayısıyla \( f(100) = 6 \) olur.
- Adım 5: Bizden istenen \( f(100) + m \) toplamı: \[ 6 + 2 = 8 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-fonksiyonlarda-esitsizlik-sayma-permutasyon-kombinasyon-binom-olasilik-analitik-geometri-algoritma-karma-test/sorular