💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda Çarpanlara Ayırma Ve Tamkareye Tamamlama Çözümlü Örnekler

Bu fonksiyonu çarpanlara ayırmak için ortak çarpan parantezine alma yöntemini kullanacağız. 💡

• Öncelikle, ifadedeki terimlerin her birinde ortak olan en büyük çarpanı bulalım.
• \( 3x^2 \) teriminde çarpanlar \( 3 \), \( x \) ve \( x \)'tir.
• \( -6x \) teriminde çarpanlar \( -6 \) ve \( x \)'tir.
• Görüyoruz ki hem \( 3x^2 \) hem de \( -6x \) terimlerinde ortak olarak \( 3 \) ve \( x \) bulunmaktadır. Yani ortak çarpan \( 3x \)'tir.
• Şimdi bu ortak çarpanı parantez dışına alalım:
• \( f(x) = 3x \cdot x - 3x \cdot 2 \)
• \( f(x) = 3x(x - 2) \) ✅

Böylece fonksiyonu çarpanlarına ayırmış olduk. 👉 Bu yöntem, denklemleri çözmek veya fonksiyonların köklerini bulmak için çok önemlidir.

Bu fonksiyonu çarpanlara ayırmak için iki kare farkı özdeşliğini kullanacağız. 📌 Özdeşlik şöyledir: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

• Fonksiyonumuz \( g(x) = x^2 - 16 \).
• Burada \( a^2 = x^2 \) olduğundan \( a = x \) olur.
• \( b^2 = 16 \) olduğundan \( b = 4 \) olur.
• Şimdi bu değerleri özdeşlikte yerine yazalım:
• \( g(x) = (x - 4)(x + 4) \) ✅

İki kare farkı özdeşliği, özellikle denklemleri çözerken veya sadeleştirmeler yaparken çok işimize yarar!

Bu ifadeyi çarpanlara ayırmak için tam kare özdeşliğini kullanacağız. 💡 Tam kare özdeşliği iki şekildedir:
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) veya \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

• Fonksiyonumuz \( h(x) = x^2 + 8x + 16 \).
• İlk terim \( x^2 \), yani \( a^2 = x^2 \) ise \( a = x \).
• Son terim \( 16 \), yani \( b^2 = 16 \) ise \( b = 4 \) (orta terim pozitif olduğu için \( b=4 \) alalım).
• Şimdi orta terimi kontrol edelim: \( 2ab = 2(x)(4) = 8x \).
• Gördüğümüz gibi, orta terim de \( 8x \) ile eşleşiyor.
• O halde bu ifade bir tam karedir: \( (x + 4)^2 \) ✅
• Yani, \( h(x) = (x + 4)^2 \) olarak çarpanlarına ayrılır.

Tam kare ifadeler, özellikle parabol denklemlerini tepe noktası formuna dönüştürürken çok önemlidir.

Bu tür üç terimli ifadeleri çarpanlara ayırmak için, çarpımları sabit terimi, toplamları ise x'in katsayısını veren iki sayı bulmaya çalışırız. 🤔

• Fonksiyonumuz \( k(x) = x^2 + 5x + 6 \).
• Çarpımları \( +6 \) olan ve toplamları \( +5 \) olan iki sayı arıyoruz.
• Deneyelim:
  • \( 1 \times 6 = 6 \) ama \( 1 + 6 = 7 \) (olmaz)
  • \( 2 \times 3 = 6 \) ve \( 2 + 3 = 5 \) (işte bu!) ✅
• Bu sayılar \( 2 \) ve \( 3 \) olduğuna göre, ifadeyi şu şekilde çarpanlarına ayırabiliriz:
• \( k(x) = (x + 2)(x + 3) \) ✅

Bu yöntem, ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulmanın en temel yollarından biridir.

Bu ifadeyi tamkareye tamamlamak için \( (x-h)^2 \) şeklinde bir ifade oluşturmaya çalışacağız. 💡

• Fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 - 4x + 7 \).
• Önce \( x^2 - 4x \) kısmına odaklanalım. Bir tam kare ifade \( (x - b)^2 = x^2 - 2bx + b^2 \) şeklindedir.
• Burada \( -2b = -4 \) olduğuna göre, \( b = 2 \) olmalıdır.
• Yani, \( (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \) olur.
• Bizim ifademizde \( +7 \) var, ama tam kare için \( +4 \) gerekiyor. O zaman ifademizi şöyle yazabiliriz:
• \( f(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 7 \)
• Bu ifadeyi düzenlersek:
• \( f(x) = (x - 2)^2 + 3 \) ✅
• Bu form \( a(x-h)^2 + k \) şeklindedir. Burada \( a=1 \), \( h=2 \) ve \( k=3 \).
• Bir parabolün tepe noktası \( (h, k) \) olduğundan, bu parabolün tepe noktası \( (2, 3) \) noktasıdır. 🎯

Tamkareye tamamlama, fonksiyonun en küçük (minimum) veya en büyük (maksimum) değerini bulmak için vazgeçilmez bir yöntemdir.

Bu ifadeyi tamkareye tamamlamak için önce \( x^2 \) teriminin katsayısını 1 yapmalıyız. 🧐

• Fonksiyonumuz \( g(x) = 2x^2 + 12x + 10 \).
• Öncelikle \( x^2 \) ve \( x \) terimlerini ortak çarpan parantezine alalım (sadece bu iki terimden).
• \( g(x) = 2(x^2 + 6x) + 10 \)
• Şimdi parantez içindeki \( x^2 + 6x \) ifadesini tamkareye tamamlamaya çalışalım.
• \( (x + b)^2 = x^2 + 2bx + b^2 \) formülüne göre, \( 2b = 6 \) ise \( b = 3 \) olmalıdır.
• Yani, \( (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \) olur.
• Parantez içindeki ifadeye \( +9 \) ekleyip \( -9 \) çıkaralım ki değeri değişmesin:
• \( g(x) = 2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 10 \)
• Şimdi parantez içindeki tamkareyi ve \( -9 \)'u ayıralım:
• \( g(x) = 2((x + 3)^2 - 9) + 10 \)
• \( 2 \) çarpanını içeriye dağıtalım:
• \( g(x) = 2(x + 3)^2 - 2 \cdot 9 + 10 \)
• \( g(x) = 2(x + 3)^2 - 18 + 10 \)
• Son olarak sabit terimleri toplayalım:
• \( g(x) = 2(x + 3)^2 - 8 \) ✅

Bu form, parabolün tepe noktasının \( (-3, -8) \) olduğunu gösterir. Bu, fonksiyonun alabileceği en küçük değerin \( -8 \) olduğu anlamına gelir. 📉

Bu problemde, tel örgünün uzunluğu sabitken oluşturulabilecek maksimum alanı bulmak için fonksiyonlarda tamkareye tamamlama yöntemini kullanacağız. 🧠

• Öncelikle, bahçenin boyutlarını tanımlayalım. Duvara paralel olan kenara \( y \) diyelim, diğer iki kenara ise \( x \) diyelim.
• Tel örgü sadece üç kenar için kullanılacağından, \( 2x + y = 20 \) metre olur.
• Buradan \( y \) değerini \( x \) cinsinden ifade edelim: \( y = 20 - 2x \).
• Bahçenin alanı \( A \) ise, \( A = x \cdot y \) formülü ile bulunur.
• \( y \) yerine \( 20 - 2x \) yazarak alanı sadece \( x \) değişkenine bağlı bir fonksiyon olarak ifade edelim:
• \( A(x) = x(20 - 2x) \)
• \( A(x) = 20x - 2x^2 \)
• Bu bir parabol denklemidir ve baş katsayısı negatif olduğu için parabolün kolları aşağıya doğru bakar, yani bir maksimum değeri vardır. Şimdi tamkareye tamamlayalım:
• \( A(x) = -2x^2 + 20x \)
• Önce \( -2 \) ortak çarpan parantezine alalım:
• \( A(x) = -2(x^2 - 10x) \)
• Parantez içindeki \( x^2 - 10x \) ifadesini tamkareye tamamlayalım. \( (x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25 \).
• \( A(x) = -2(x^2 - 10x + 25 - 25) \)
• \( A(x) = -2((x - 5)^2 - 25) \)
• \( A(x) = -2(x - 5)^2 + (-2)(-25) \)
• \( A(x) = -2(x - 5)^2 + 50 \) ✅

Bu formda, \( (x - 5)^2 \) ifadesi en küçük değerini \( 0 \) olduğunda alır (yani \( x = 5 \) iken). Bu durumda \( A(x) \) maksimum değerini alır.

• Maksimum alan değeri \( 50 \) metrekaredir. 📏
• Bu alan, \( x = 5 \) metre olduğunda elde edilir.
• \( y \) değerini bulalım: \( y = 20 - 2(5) = 20 - 10 = 10 \) metre.

Yani, bahçenin boyutları 5 metreye 10 metre olduğunda en büyük alanı elde ederiz. 💯

Bu problemde, bir fonksiyonun maksimum değerini bulmak için tamkareye tamamlama yöntemini kullanacağız. Kar fonksiyonu ikinci dereceden ve baş katsayısı negatif olduğu için bir maksimum değeri vardır. 📈

• Kar fonksiyonumuz: \( K(p) = -2p^2 + 28p - 80 \).
• Maksimum karı bulmak için bu ifadeyi tamkareye tamamlayalım.
• Önce \( p^2 \) ve \( p \) terimlerini \( -2 \) ortak çarpan parantezine alalım:
• \( K(p) = -2(p^2 - 14p) - 80 \)
• Şimdi parantez içindeki \( p^2 - 14p \) ifadesini tamkareye tamamlayalım. \( (p - 7)^2 = p^2 - 14p + 49 \).
• Parantez içindeki ifadeye \( +49 \) ekleyip \( -49 \) çıkaralım:
• \( K(p) = -2(p^2 - 14p + 49 - 49) - 80 \)
• Tamkareyi ayıralım ve \( -2 \) çarpanını dağıtalım:
• \( K(p) = -2((p - 7)^2 - 49) - 80 \)
• \( K(p) = -2(p - 7)^2 + (-2)(-49) - 80 \)
• \( K(p) = -2(p - 7)^2 + 98 - 80 \)
• \( K(p) = -2(p - 7)^2 + 18 \) ✅

Bu formdan anlaşılıyor ki, \( (p - 7)^2 \) ifadesi en küçük değerini \( 0 \) olduğunda alır (yani \( p = 7 \) iken). Bu durumda \( K(p) \) maksimum değerini alır.

• Maksimum kar elde etmek için kekin birim satış fiyatı \( p = 7 \) TL olmalıdır. 💲
• Bu durumda elde edilecek maksimum kar \( 18 \) TL'dir. 🥳

Bu tür optimizasyon problemleri, işletmelerin en karlı fiyatları veya üretim miktarlarını belirlemesinde kritik rol oynar.