🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi bir fonksiyon belirtir? Nedenleriyle açıklayınız. 🤔
- \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z} \), \( f(x) = x - 3 \)
- \( g: \mathbb{Z} \to \mathbb{N} \), \( g(x) = x^2 \)
- \( h: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \), \( h(x) = \frac{x}{2} \)
Çözüm:
Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki her elemanın, değer kümesinde yalnız bir görüntüsü olması gerekir. 📌
- 1. Durum: \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z} \), \( f(x) = x - 3 \)
- Tanım kümesi doğal sayılar (\(\mathbb{N}\) = {0, 1, 2, ...}) ve değer kümesi tam sayılar (\(\mathbb{Z}\)).
- Örneğin, \( f(0) = 0 - 3 = -3 \). \( -3 \) bir tam sayıdır.
- \( f(1) = 1 - 3 = -2 \). \( -2 \) bir tam sayıdır.
- Tanım kümesindeki her doğal sayı için \( x-3 \) sonucu bir tam sayı olacaktır. Bu durumda evet, bu bir fonksiyondur. ✅
- 2. Durum: \( g: \mathbb{Z} \to \mathbb{N} \), \( g(x) = x^2 \)
- Tanım kümesi tam sayılar (\(\mathbb{Z}\)) ve değer kümesi doğal sayılar (\(\mathbb{N}\)).
- Örneğin, \( g(2) = 2^2 = 4 \). \( 4 \) bir doğal sayıdır.
- \( g(-3) = (-3)^2 = 9 \). \( 9 \) bir doğal sayıdır.
- Tanım kümesindeki her tam sayının karesi bir doğal sayı (negatif olmayan) olacağı için evet, bu bir fonksiyondur. ✅
- 3. Durum: \( h: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \), \( h(x) = \frac{x}{2} \)
- Tanım kümesi tam sayılar (\(\mathbb{Z}\)) ve değer kümesi tam sayılar (\(\mathbb{Z}\)).
- Örneğin, \( h(4) = \frac{4}{2} = 2 \). \( 2 \) bir tam sayıdır.
- Ancak, \( h(3) = \frac{3}{2} \). \( \frac{3}{2} \) bir tam sayı değildir! ❌
- Tanım kümesindeki her tam sayı için değer kümesinde bir görüntü bulunamadığından, bu bir fonksiyon değildir. 💡
Örnek 2:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = 3x - 5 \) fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \( f(2) + f(-1) \) ifadesinin değeri kaçtır? 🤔
Buna göre, \( f(2) + f(-1) \) ifadesinin değeri kaçtır? 🤔
Çözüm:
Fonksiyonun değerini bulmak için, \( x \) yerine verilen sayıları yazmalıyız. 👇
- Önce \( f(2) \) değerini bulalım:
- \( x = 2 \) için: \( f(2) = 3 \cdot (2) - 5 \)
- \( f(2) = 6 - 5 \)
- \( f(2) = 1 \) ✅
- Şimdi de \( f(-1) \) değerini bulalım:
- \( x = -1 \) için: \( f(-1) = 3 \cdot (-1) - 5 \)
- \( f(-1) = -3 - 5 \)
- \( f(-1) = -8 \) ✅
- Son olarak, bu iki değeri toplayalım:
- \( f(2) + f(-1) = 1 + (-8) \)
- \( f(2) + f(-1) = 1 - 8 \)
- \( f(2) + f(-1) = -7 \) 💡
Örnek 3:
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları reel sayılarda tanımlıdır.
\( f(x) = x^2 - 1 \) ve \( g(x) = 2x + 3 \) olduğuna göre, \( (f+g)(x) \) ve \( (f \cdot g)(1) \) değerlerini bulunuz. 🤔
\( f(x) = x^2 - 1 \) ve \( g(x) = 2x + 3 \) olduğuna göre, \( (f+g)(x) \) ve \( (f \cdot g)(1) \) değerlerini bulunuz. 🤔
Çözüm:
Fonksiyonlarda dört işlem kurallarını uygulayalım. 📌
- \( (f+g)(x) \) değerini bulalım:
- Tanıma göre \( (f+g)(x) = f(x) + g(x) \) dir.
- \( (f+g)(x) = (x^2 - 1) + (2x + 3) \)
- Benzer terimleri birleştirelim: \( (f+g)(x) = x^2 + 2x + (-1 + 3) \)
- \( (f+g)(x) = x^2 + 2x + 2 \) ✅
- \( (f \cdot g)(1) \) değerini bulalım:
- Tanıma göre \( (f \cdot g)(1) = f(1) \cdot g(1) \) dir.
- Önce \( f(1) \) değerini bulalım:
- \( f(1) = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \)
- Şimdi \( g(1) \) değerini bulalım:
- \( g(1) = 2 \cdot (1) + 3 = 2 + 3 = 5 \)
- Son olarak çarpma işlemini yapalım:
- \( (f \cdot g)(1) = f(1) \cdot g(1) = 0 \cdot 5 = 0 \) 💡
Örnek 4:
Reel sayılarda tanımlı \( f(x) = 2x + 1 \) ve \( g(x) = x - 4 \) fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, \( (f \circ g)(x) \) ve \( (g \circ f)(3) \) değerlerini bulunuz. 🤔
Buna göre, \( (f \circ g)(x) \) ve \( (g \circ f)(3) \) değerlerini bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bileşke fonksiyon tanımını hatırlayalım: \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \) ve \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \). 📌
- \( (f \circ g)(x) \) değerini bulalım:
- \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
- \( g(x) \) yerine \( x - 4 \) yazalım: \( f(x - 4) \)
- Şimdi \( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( x - 4 \) yazalım:
- \( f(x - 4) = 2(x - 4) + 1 \)
- \( f(x - 4) = 2x - 8 + 1 \)
- \( (f \circ g)(x) = 2x - 7 \) ✅
- \( (g \circ f)(3) \) değerini bulalım:
- \( (g \circ f)(3) = g(f(3)) \)
- Önce \( f(3) \) değerini bulalım:
- \( f(3) = 2 \cdot (3) + 1 = 6 + 1 = 7 \)
- Şimdi \( g(f(3)) \) yani \( g(7) \) değerini bulalım:
- \( g(7) = 7 - 4 = 3 \)
- Bu durumda \( (g \circ f)(3) = 3 \) 💡
Örnek 5:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = 4x - 7 \) fonksiyonunun tersini, yani \( f^{-1}(x) \) değerini bulunuz. 🤔
Çözüm:
Ters fonksiyon bulmak için \( f(x) \) yerine \( y \) yazıp, \( x \) i \( y \) cinsinden yalnız bırakırız. Sonra \( x \) ve \( y \) nin yerini değiştiririz. 💡
- Fonksiyonu \( y = 4x - 7 \) şeklinde yazalım.
- Amacımız \( x \) i yalnız bırakmak. Önce \( -7 \) yi karşıya atalım:
- \( y + 7 = 4x \)
- Şimdi her iki tarafı \( 4 \) e bölelim:
- \( x = \frac{y + 7}{4} \)
- Son adım olarak, \( x \) ve \( y \) nin yerini değiştirelim. Artık bu ifade \( f^{-1}(x) \) olacaktır:
- \( f^{-1}(x) = \frac{x + 7}{4} \) ✅
Örnek 6:
Bir sinema salonunda bilet fiyatları öğrenci için 20 TL, tam bilet için 30 TL'dir. Bir seansta satılan öğrenci bileti sayısını \( x \), tam bilet sayısını \( y \) olarak gösterelim.
Toplam hasılatı veren fonksiyonu \( H(x, y) \) olarak ifade ediniz. Ayrıca, eğer bir seansta 50 öğrenci bileti ve 30 tam bilet satılırsa, toplam hasılat ne kadar olur? 🎬
Toplam hasılatı veren fonksiyonu \( H(x, y) \) olarak ifade ediniz. Ayrıca, eğer bir seansta 50 öğrenci bileti ve 30 tam bilet satılırsa, toplam hasılat ne kadar olur? 🎬
Çözüm:
Bu bir günlük hayattan fonksiyon modelleme örneğidir. 💰
- Toplam hasılat fonksiyonunu oluşturalım:
- Öğrenci bileti sayısı \( x \) ve her birinin fiyatı 20 TL ise, öğrencilerden gelen toplam para \( 20x \) olur.
- Tam bilet sayısı \( y \) ve her birinin fiyatı 30 TL ise, tam biletlerden gelen toplam para \( 30y \) olur.
- Toplam hasılat \( H(x, y) \), bu iki miktarın toplamı olacaktır:
- \[ H(x, y) = 20x + 30y \] ✅
- Verilen bilet sayılarına göre hasılatı hesaplayalım:
- Öğrenci bileti sayısı \( x = 50 \)
- Tam bilet sayısı \( y = 30 \)
- Bu değerleri \( H(x, y) \) fonksiyonunda yerine koyalım:
- \( H(50, 30) = 20 \cdot (50) + 30 \cdot (30) \)
- \( H(50, 30) = 1000 + 900 \)
- \( H(50, 30) = 1900 \) TL 💡
- Yani, 50 öğrenci ve 30 tam bilet satılırsa toplam 1900 TL hasılat elde edilir.
Örnek 7:
Aşağıdaki tabloda bir \( f \) fonksiyonunun bazı tam sayı değerleri verilmiştir:
Buna göre, \( f(f(0)) + f^{-1}(5) \) ifadesinin değeri kaçtır? 🤔
\( x \) | \( f(x) \)
---|---
-2 | 5
0 | 1
1 | -2
3 | 0
Buna göre, \( f(f(0)) + f^{-1}(5) \) ifadesinin değeri kaçtır? 🤔
Çözüm:
Tablodan fonksiyon değerlerini ve ters fonksiyon değerlerini okuyarak ilerleyelim. 📊
- Önce \( f(f(0)) \) değerini bulalım:
- Tablodan \( f(0) \) değerini bulalım: \( f(0) = 1 \)
- Şimdi bu değeri tekrar \( f \) fonksiyonuna uygulayalım: \( f(f(0)) = f(1) \)
- Tablodan \( f(1) \) değerini bulalım: \( f(1) = -2 \)
- Yani, \( f(f(0)) = -2 \) ✅
- Şimdi \( f^{-1}(5) \) değerini bulalım:
- Ters fonksiyon, \( f(x) = y \) ise \( f^{-1}(y) = x \) demektir.
- Tabloda \( f(x) \) değerinin \( 5 \) olduğu satırı bulalım. Görüyoruz ki \( f(-2) = 5 \) dir.
- Bu durumda, \( f^{-1}(5) = -2 \) ✅
- Son olarak, bu iki değeri toplayalım:
- \( f(f(0)) + f^{-1}(5) = (-2) + (-2) \)
- \( f(f(0)) + f^{-1}(5) = -4 \) 💡
Örnek 8:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = \begin{cases} 2x+1, & x < 1 \\ x^2-3, & x \ge 1 \end{cases} \) parçalı fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \( f(-3) + f(1) + f(2) \) ifadesinin değeri kaçtır? 🤔
Buna göre, \( f(-3) + f(1) + f(2) \) ifadesinin değeri kaçtır? 🤔
Çözüm:
Parçalı fonksiyonlarda, \( x \) değerinin hangi aralığa düştüğüne göre uygun kuralı seçmeliyiz. 🎯
- \( f(-3) \) değerini bulalım:
- \( x = -3 \) değeri \( x < 1 \) koşulunu sağlar.
- Bu durumda \( f(x) = 2x+1 \) kuralını kullanırız.
- \( f(-3) = 2 \cdot (-3) + 1 = -6 + 1 = -5 \) ✅
- \( f(1) \) değerini bulalım:
- \( x = 1 \) değeri \( x \ge 1 \) koşulunu sağlar.
- Bu durumda \( f(x) = x^2-3 \) kuralını kullanırız.
- \( f(1) = 1^2 - 3 = 1 - 3 = -2 \) ✅
- \( f(2) \) değerini bulalım:
- \( x = 2 \) değeri \( x \ge 1 \) koşulunu sağlar.
- Bu durumda \( f(x) = x^2-3 \) kuralını kullanırız.
- \( f(2) = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1 \) ✅
- Son olarak, bulunan değerleri toplayalım:
- \( f(-3) + f(1) + f(2) = (-5) + (-2) + 1 \)
- \( f(-3) + f(1) + f(2) = -7 + 1 \)
- \( f(-3) + f(1) + f(2) = -6 \) 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-fonksiyonlar/sorular