🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar Ve Üçgenler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar Ve Üçgenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir fonksiyon \( f(x) = 2x + 3 \) olarak tanımlanmıştır. Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için \( x = 1 \) ve \( x = 3 \) değerlerine karşılık gelen \( y \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
Bu problemi çözmek için fonksiyonun tanımını kullanacağız:
- Verilen fonksiyon \( f(x) = 2x + 3 \) şeklindedir.
- İlk olarak \( x = 1 \) değerini fonksiyonda yerine koyalım: \( f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 \). Bu, \( (1, 5) \) noktasını verir.
- Ardından \( x = 3 \) değerini fonksiyonda yerine koyalım: \( f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 \). Bu da \( (3, 9) \) noktasını verir.
- Bu iki nokta, fonksiyonun grafiğini çizmek için yeterlidir.
Örnek 2:
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 birim ve 8 birimdir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi ile hesaplayınız.
Çözüm:
Pisagor teoremi, dik üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi açıklar:
- Pisagor teoremi \( a^2 + b^2 = c^2 \) formülüyle ifade edilir, burada \( a \) ve \( b \) dik kenar uzunlukları, \( c \) ise hipotenüs uzunluğudur.
- Verilen dik kenar uzunlukları \( a = 6 \) ve \( b = 8 \) birimdir.
- Formülde yerine koyarsak: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \).
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \).
- Toplama işlemini yapalım: \( 100 = c^2 \).
- Hipotenüs uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} = 10 \) birim.
Örnek 3:
Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği, \( (2, 5) \) ve \( (4, 9) \) noktalarından geçmektedir. Bu fonksiyonun doğrusal bir fonksiyon olduğunu varsayarak eğimini hesaplayınız.
Çözüm:
Doğrusal bir fonksiyonun eğimi, iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranıdır:
- Eğim formülü \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) şeklindedir.
- Verilen noktalar \( (x_1, y_1) = (2, 5) \) ve \( (x_2, y_2) = (4, 9) \)'dur.
- Noktaları formülde yerine koyalım: \( m = \frac{9 - 5}{4 - 2} \).
- Çıkarma işlemlerini yapalım: \( m = \frac{4}{2} \).
- Bölme işlemini tamamlayalım: \( m = 2 \).
Örnek 4:
Bir ikizkenar üçgenin tepe açısı \( 80^\circ \) dir. Taban açılarının her birinin kaç derece olduğunu bulunuz.
Çözüm:
Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \) dir:
- İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir.
- Tepe açısı \( 80^\circ \) olarak verilmiştir.
- Taban açılarının her birine \( x \) diyelim.
- Üçgenin iç açılarının toplamı denklemi: \( 80^\circ + x + x = 180^\circ \).
- Denklemi düzenleyelim: \( 80^\circ + 2x = 180^\circ \).
- \( 2x \) terimini yalnız bırakmak için her iki taraftan \( 80^\circ \) çıkaralım: \( 2x = 180^\circ - 80^\circ \).
- Sonuç: \( 2x = 100^\circ \).
- \( x \) değerini bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ \).
Örnek 5:
Bir inşaat mühendisi, \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) fonksiyonu ile tanımlanan bir köprünün eğriliğini modellemektedir. Köprünün en alçak noktasının y koordinatını (tepe noktasının y koordinatı) bulunuz. Bu, parabolün tepe noktasının y değeridir.
Çözüm:
Parabolün tepe noktasının y koordinatını bulmak için birkaç yöntem kullanabiliriz:
- Yöntem 1: Tepe Noktası Formülü
- Bir \( ax^2 + bx + c \) şeklindeki parabolün tepe noktasının x koordinatı \( x_t = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
- Fonksiyonumuzda \( a = 1 \), \( b = -4 \) ve \( c = 3 \) 'tür.
- Tepe noktasının x koordinatını hesaplayalım: \( x_t = -\frac{-4}{2(1)} = -\frac{-4}{2} = 2 \).
- Şimdi bu \( x \) değerini fonksiyonda yerine koyarak y koordinatını bulalım: \( f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \).
- Yöntem 2: Tam Kareye Tamamlama
- Fonksiyonu \( f(x) = (x-h)^2 + k \) formuna getireceğiz, burada \( (h, k) \) tepe noktasıdır.
- \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)
- \( f(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 \)
- \( f(x) = (x - 2)^2 - 1 \)
- Bu formda tepe noktasının y koordinatı \( k = -1 \) 'dir.
Örnek 6:
Bir harita üzerinde, A noktası \( (1, 2) \) koordinatlarında, B noktası ise \( (5, 8) \) koordinatlarında bulunmaktadır. Bu iki nokta arasındaki en kısa mesafeyi (doğrusal uzaklık) hesaplamak için Pisagor teoremini kullanabiliriz. Bu mesafeyi bulunuz.
Çözüm:
İki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için Pisagor teoreminin analitik geometriye uyarlanmış halini kullanırız:
- İki nokta \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) arasındaki mesafe \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) formülüyle verilir.
- Noktalarımız \( A = (1, 2) \) ve \( B = (5, 8) \) 'dir.
- Değerleri formüle yerleştirelim: \( d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (8 - 2)^2} \).
- Farkları hesaplayalım: \( d = \sqrt{(4)^2 + (6)^2} \).
- Kareleri alalım: \( d = \sqrt{16 + 36} \).
- Toplama işlemini yapalım: \( d = \sqrt{52} \).
- \( \sqrt{52} \) ifadesini sadeleştirebiliriz: \( \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \).
Örnek 7:
Bir marangoz, \( 10 \) metrelik bir tahtayı keserek iki parçaya ayıracaktır. Parçalardan birinin uzunluğu \( x \) metre ise, diğer parçanın uzunluğunu bir fonksiyon olarak ifade ediniz.
Çözüm:
Bu durumu bir fonksiyon ile modelleyebiliriz:
- Toplam tahta uzunluğu \( 10 \) metredir.
- Bir parçanın uzunluğu \( x \) metre olarak verilmiştir.
- Diğer parçanın uzunluğunu \( g(x) \) ile gösterelim.
- İki parçanın uzunlukları toplamı, tahtanın toplam uzunluğuna eşit olmalıdır: \( x + g(x) = 10 \).
- \( g(x) \) fonksiyonunu bulmak için denklemin her iki tarafından \( x \) çıkaralım: \( g(x) = 10 - x \).
Örnek 8:
Bir mimar, bir binanın çatısının eğimini hesaplamak istiyor. Çatının bir kenarının yatayda \( 12 \) metre, dikeyde ise \( 5 \) metre yükseldiğini ölçüyor. Bu çatının eğimini bir dik üçgenin kenarları cinsinden düşünerek bulunuz.
Çözüm:
Çatının eğimini hesaplamak için dik üçgenin kenarlarını kullanabiliriz:
- Eğim, dikey değişimin yatay değişime oranıdır.
- Dikey değişim (yükseklik) \( 5 \) metredir.
- Yatay değişim (uzunluk) \( 12 \) metredir.
- Eğim \( m \) için formül: \( m = \frac{\text{Dikey Değişim}}{\text{Yatay Değişim}} \).
- Değerleri yerine koyalım: \( m = \frac{5}{12} \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-fonksiyonlar-ve-ucgenler/sorular