💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar ve Tersi Çözümlü Örnekler

Fonksiyonun tanım kümesi A, değer kümesi B'dir.
Fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki bir elemana eşler.
Verilen eşlemelere göre:

• 1 elemanı 'a' elemanına eşlenmiş: \( f(1) = a \)
• 2 elemanı 'b' elemanına eşlenmiş: \( f(2) = b \)
• 3 elemanı 'c' elemanına eşlenmiş: \( f(3) = c \)

Bu eşlemeleri genel bir kural ile ifade edersek, tanım kümesindeki elemanlar 1 artarken değer kümesindeki elemanlar alfabenin sırasına göre ilerlemektedir.
Bu durumda fonksiyonun kuralı \( f(x) = \text{x. harf} \) şeklinde düşünülebilir.
Ancak daha matematiksel bir ifadeyle, eğer A kümesini sayılarla ve B kümesini bu sayılara karşılık gelen harflerle temsil edersek, kuralı şu şekilde yazabiliriz:
\( f(x) = \begin{cases} a, & \text{if } x=1 \\ b, & \text{if } x=2 \\ c, & \text{if } x=3 \end{cases} \)
Bu, her girdiye karşılık gelen tek bir çıktı olduğunu gösterir. ✅

Fonksiyonun kuralı \( f(x) = 2x + 1 \) olarak verilmiştir.
\( f(3) \) değerini bulmak için, fonksiyonda \( x \) yerine 3 yazarız.

• \( f(3) = 2 \times (3) + 1 \)
• \( f(3) = 6 + 1 \)
• \( f(3) = 7 \)

Dolayısıyla, \( f(3) \) değeri 7'dir. 👉

Fonksiyonumuz \( g(x) = x^2 - 4 \) şeklindedir.
\( g(x+1) \) ifadesini bulmak için, fonksiyonda \( x \) gördüğümüz her yere \( (x+1) \) yazmalıyız.

• \( g(x+1) = (x+1)^2 - 4 \)
• Şimdi \( (x+1)^2 \) ifadesini açalım: \( (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \)
• Bu açılımı fonksiyonda yerine koyalım: \( g(x+1) = (x^2 + 2x + 1) - 4 \)
• Son olarak ifadeyi sadeleştirelim: \( g(x+1) = x^2 + 2x - 3 \)

Böylece \( g(x+1) \) ifadesini \( x \) cinsinden \( x^2 + 2x - 3 \) olarak bulmuş olduk. ✨

Bir fonksiyonun tersini bulmak için şu adımları izleriz:

1. Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazalım: \( y = 3x - 5 \)
2. Bu denklemde \( x \)'i \( y \) cinsinden yalnız bırakalım:
   
   • \( y + 5 = 3x \)
   • \( x = \frac{y+5}{3} \)
3. Şimdi \( x \) yerine \( f^{-1}(y) \) yazalım: \( f^{-1}(y) = \frac{y+5}{3} \)
4. Son olarak, değişkeni \( x \) olarak değiştirelim: \( f^{-1}(x) = \frac{x+5}{3} \)

Bu nedenle, \( f(x) = 3x - 5 \) fonksiyonunun ters fonksiyonu \( f^{-1}(x) = \frac{x+5}{3} \) olur. 💯

Ters fonksiyon bulma adımlarını hatırlayalım:

1. Fonksiyonu \( y \) cinsinden yazalım: \( y = \frac{2x+1}{x-1} \)
2. \( x \)'i \( y \) cinsinden yalnız bırakalım:
   
   • \( y(x-1) = 2x+1 \)
   • \( xy - y = 2x+1 \)
   • \( xy - 2x = y+1 \)
   • \( x(y-2) = y+1 \)
   • \( x = \frac{y+1}{y-2} \)
3. \( x \) yerine \( f^{-1}(y) \) yazalım: \( f^{-1}(y) = \frac{y+1}{y-2} \)
4. Değişkeni \( x \) yapalım: \( f^{-1}(x) = \frac{x+1}{x-2} \)

Bu fonksiyonun tersi \( f^{-1}(x) = \frac{x+1}{x-2} \) olur. (Burada \( x \neq 2 \) olmalıdır.) 💡

Bu problemde satış fiyatı \( S(m) \) verilmiş ve üretim maliyeti \( m \) sorulmaktadır. Bu durum, ters fonksiyon kavramı ile çözülebilir.
Satış fiyatı formülümüz: \( S(m) = 1.5m + 200 \)
Satış fiyatının 1700 TL olduğunu biliyoruz: \( S(m) = 1700 \)
Şimdi bu bilgiyi kullanarak \( m \) değerini bulalım:

1. Denklemi kuralım: \( 1700 = 1.5m + 200 \)
2. \( 200 \) sayısını denklemin diğer tarafına atalım: \( 1700 - 200 = 1.5m \)
3. Çıkarma işlemini yapalım: \( 1500 = 1.5m \)
4. \( m \) değerini bulmak için her iki tarafı 1.5'e bölelim: \( m = \frac{1500}{1.5} \)
5. Bölme işlemini yapalım: \( m = 1000 \)

Dolayısıyla, telefonun üretim maliyeti 1000 TL'dir. ✅

Bu durumu bir fonksiyon olarak modelleyebiliriz. Kilometre cinsinden gidilen yol \( k \) olsun.
Toplam ücret \( Ü(k) \) fonksiyonu şu şekilde tanımlanır:
\( Ü(k) = \text{Sabit Ücret} + (\text{Kilometre Başı Ücret} \times k) \)
Verilenlere göre:

• Sabit Ücret = 50 TL
• Kilometre Başı Ücret = 2 TL

Bu değerleri fonksiyonda yerine koyalım: \( Ü(k) = 50 + 2k \)
Şimdi, kişinin 150 km yol gittiğini biliyoruz, yani \( k = 150 \). Bu değeri fonksiyonda yerine koyarak toplam ücreti hesaplayalım:

1. \( Ü(150) = 50 + (2 \times 150) \)
2. \( Ü(150) = 50 + 300 \)
3. \( Ü(150) = 350 \)

Bu nedenle, kişi toplamda 350 TL ödeyecektir. 💸

Fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 + 1 \) şeklindedir. Bu bir parabol grafiğidir ve tepe noktası \( (0, 1) \) olan bir eğridir.
Parabol fonksiyonları genel olarak birebir ve örten değildir çünkü aynı \( y \) değerine karşılık gelen birden fazla \( x \) değeri olabilir (örneğin, \( f(2) = 2^2 + 1 = 5 \) ve \( f(-2) = (-2)^2 + 1 = 5 \)).
Bir fonksiyonun birebir olabilmesi için, tanım kümesindeki farklı her elemanın değer kümesindeki farklı bir elemana eşlenmesi gerekir. Grafik üzerinde yatay doğru testi ile bu kontrol edilebilir.
Örten olması için ise değer kümesindeki her elemanın tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olması gerekir.
\( f(x) = x^2 + 1 \) fonksiyonunda, eğer tanım kümesini \( \mathbb{R} \) olarak alırsak, negatif \( x \) değerleri için de pozitif \( x \) değerleri ile aynı \( y \) değerlerini alırız. Örneğin \( f(2)=5 \) ve \( f(-2)=5 \). Bu yüzden fonksiyon birebir değildir.
Ancak, fonksiyonun tanım kümesini kısıtlayarak birebir ve örten olmasını sağlayabiliriz.

• Eğer tanım kümesini \( [0, \infty) \) olarak alırsak, yani sadece pozitif reel sayılar ve sıfır alırsak:
• Fonksiyon bu aralıkta artan olacağından birebir olur.
• Değer kümesi \( [1, \infty) \) olur. Eğer değer kümesini de \( [1, \infty) \) olarak alırsak, fonksiyon örten olur.
• Eğer tanım kümesini \( (-\infty, 0] \) olarak alırsak, yani sadece negatif reel sayılar ve sıfır alırsak:
• Fonksiyon bu aralıkta azalan olacağından birebir olur.
• Değer kümesi yine \( [1, \infty) \) olur. Eğer değer kümesini de \( [1, \infty) \) olarak alırsak, fonksiyon örten olur.

Dolayısıyla, \( f(x) = x^2 + 1 \) fonksiyonu, tanım kümesi \( [0, \infty) \) ve değer kümesi \( [1, \infty) \) olduğunda birebir ve örtendir. Veya tanım kümesi \( (-\infty, 0] \) ve değer kümesi \( [1, \infty) \) olduğunda da birebir ve örtendir. 🎯