💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar Ve Özellikleri Çözümlü Örnekler

• 👉 Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki her elemanın, değer kümesinde yalnızca bir görüntüsü olmalıdır.
• A) \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}, f(x) = x - 5 \)
  Tanım kümesi doğal sayılar (\( \mathbb{N} \)), değer kümesi tam sayılar (\( \mathbb{Z} \)).
  Her doğal sayı için \( x-5 \) bir tam sayıdır. Örneğin, \( f(0) = -5 \), \( f(1) = -4 \). Her elemanın tek görüntüsü var. ✅ Bu bir fonksiyondur.
• B) \( g: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, g(x) = x^2 + 1 \)
  Tanım kümesi tam sayılar (\( \mathbb{Z} \)), değer kümesi doğal sayılar (\( \mathbb{N} \)).
  Her tam sayı için \( x^2+1 \) bir doğal sayıdır. Örneğin, \( g(0) = 1 \), \( g(-2) = 5 \). Her elemanın tek görüntüsü var. ✅ Bu bir fonksiyondur.
• C) \( h: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, h(x) = \frac{x}{2} \)
  Tanım kümesi tam sayılar (\( \mathbb{Z} \)).
  Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü değer kümesinde olmalıdır. Ancak, örneğin \( x=1 \) için \( h(1) = \frac{1}{2} \) bir tam sayı değildir. ❌ Bu bir fonksiyon değildir.
• D) \( k: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, k(x) = \sqrt{x} \)
  Tanım kümesi gerçek sayılar (\( \mathbb{R} \)).
  Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü değer kümesinde olmalıdır. Ancak, örneğin \( x=-4 \) için \( k(-4) = \sqrt{-4} \) bir gerçek sayı değildir. ❌ Bu bir fonksiyon değildir.

Doğru cevaplar A ve B şıklarıdır. (Bu örnekte fonksiyon kavramını açıklamak için birden fazla doğru şık verilmiştir.)

• 💡 Fonksiyonda bir değer bulmak için, \( x \) yerine o değeri yazarız.
• Önce \( f(5) \) değerini bulalım:
  \( f(5) = 3 \cdot 5 - 7 \)
  \( f(5) = 15 - 7 \)
  \( f(5) = 8 \)
• Şimdi \( f(-1) \) değerini bulalım:
  \( f(-1) = 3 \cdot (-1) - 7 \)
  \( f(-1) = -3 - 7 \)
  \( f(-1) = -10 \)
• Son olarak, \( f(5) + f(-1) \) ifadesinin değerini hesaplayalım:
  \( f(5) + f(-1) = 8 + (-10) \)
  \( f(5) + f(-1) = 8 - 10 \)
  \( f(5) + f(-1) = -2 \)
• ✅ Cevap: -2

• 📌 Fonksiyonlarda toplama ve çıkarma işlemleri, tanımlı oldukları ortak küme üzerinde yapılır.
• \( (f+g)(x) \) fonksiyonunu bulalım:
  \( (f+g)(x) = f(x) + g(x) \)
  \( (f+g)(x) = (x^2 - 3x) + (2x + 5) \)
  \( (f+g)(x) = x^2 - 3x + 2x + 5 \)
  \( (f+g)(x) = x^2 - x + 5 \)
• \( (f-g)(x) \) fonksiyonunu bulalım:
  \( (f-g)(x) = f(x) - g(x) \)
  \( (f-g)(x) = (x^2 - 3x) - (2x + 5) \)
  \( (f-g)(x) = x^2 - 3x - 2x - 5 \)
  \( (f-g)(x) = x^2 - 5x - 5 \)
• ✅ Sonuçlar: \( (f+g)(x) = x^2 - x + 5 \) ve \( (f-g)(x) = x^2 - 5x - 5 \)

• 📌 Fonksiyonlarda çarpma ve bölme işlemleri de tanımlı oldukları ortak küme üzerinde yapılır. Bölme işleminde paydanın sıfır olmamasına dikkat edilmelidir.
• \( (f \cdot g)(x) \) fonksiyonunu bulalım:
  \( (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \)
  \( (f \cdot g)(x) = (x+3) \cdot (x-2) \)
  \( (f \cdot g)(x) = x^2 - 2x + 3x - 6 \)
  \( (f \cdot g)(x) = x^2 + x - 6 \)
• \( \left(\frac{f}{g}\right)(x) \) fonksiyonunu bulalım:
  \( \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \)
  \( \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x+3}{x-2} \)
• ❗ Bu fonksiyonun tanımlı olabilmesi için \( g(x) \neq 0 \) olmalıdır. Yani \( x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \) olmalıdır.
• ✅ Sonuçlar: \( (f \cdot g)(x) = x^2 + x - 6 \) ve \( \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x+3}{x-2} \), \( x \neq 2 \) olmak üzere.

• 💡 Birebir (1-1) fonksiyon: Tanım kümesindeki her farklı elemanın görüntüsü de farklıdır. Yani, \( x_1 \neq x_2 \) ise \( f(x_1) \neq f(x_2) \) olmalıdır.
• 💡 Örten fonksiyon: Değer kümesindeki her eleman, tanım kümesinden en az bir elemanın görüntüsüdür. Yani, görüntü kümesi ile değer kümesi birbirine eşittir.
• A) \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 2x+1 \)
  • Birebirliği inceleyelim:
    Eğer \( f(x_1) = f(x_2) \) ise \( 2x_1+1 = 2x_2+1 \Rightarrow 2x_1 = 2x_2 \Rightarrow x_1 = x_2 \) olur. Farklı elemanların görüntüleri farklı olduğu için \( f(x) \) birebirdir. ✅
  • Örtenliği inceleyelim:
    Değer kümesindeki herhangi bir \( y \) elemanı için \( y = 2x+1 \) eşitliğini sağlayan bir \( x \) gerçek sayısı bulunabilir mi? \( 2x = y-1 \Rightarrow x = \frac{y-1}{2} \). Her \( y \in \mathbb{R} \) için bir \( x \in \mathbb{R} \) bulunabildiği için \( f(x) \) örtendir. ✅
• B) \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = x^2 \)
  • Birebirliği inceleyelim:
    Örneğin, \( g(2) = 2^2 = 4 \) ve \( g(-2) = (-2)^2 = 4 \). Farklı elemanların (2 ve -2) görüntüleri aynı (4) olduğu için \( g(x) \) birebir değildir. ❌
  • Örtenliği inceleyelim:
    Değer kümesi \( \mathbb{R} \) (gerçek sayılar) olmasına rağmen, \( x^2 \) ifadesi her zaman non-negatif (sıfır veya pozitif) bir değer alır. Yani, görüntü kümesi \( [0, \infty) \) aralığıdır. Değer kümesindeki negatif sayılar için tanım kümesinde bir karşılık yoktur. Bu yüzden \( g(x) \) örten değildir. ❌

• 📌 Bileşke fonksiyon \( (f \circ g)(x) \) demek, \( f(g(x)) \) demektir. Yani \( g(x) \) fonksiyonunu \( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine yazmak anlamına gelir.
• \( (f \circ g)(x) \) ifadesini bulalım:
  \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
  \( f(x) = 2x-3 \) olduğundan, \( x \) yerine \( g(x) \) yani \( x^2+1 \) yazalım:
  \( f(x^2+1) = 2(x^2+1) - 3 \)
  \( f(x^2+1) = 2x^2 + 2 - 3 \)
  \( (f \circ g)(x) = 2x^2 - 1 \)
• \( (g \circ f)(x) \) ifadesini bulalım:
  \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
  \( g(x) = x^2+1 \) olduğundan, \( x \) yerine \( f(x) \) yani \( 2x-3 \) yazalım:
  \( g(2x-3) = (2x-3)^2 + 1 \)
  \( g(2x-3) = (4x^2 - 12x + 9) + 1 \)
  \( (g \circ f)(x) = 4x^2 - 12x + 10 \)
• ✅ Sonuçlar: \( (f \circ g)(x) = 2x^2 - 1 \) ve \( (g \circ f)(x) = 4x^2 - 12x + 10 \)

• 💡 Bir fonksiyonun tersini bulmak için, \( y = f(x) \) eşitliğinde \( x \) yalnız bırakılır ve sonra \( x \) ile \( y \) yer değiştirilir.
• Önce \( f(x) \) yerine \( y \) yazalım:
  \( y = 4x+5 \)
• Şimdi \( x \) ifadesini yalnız bırakalım:
  \( y - 5 = 4x \)
  \( x = \frac{y-5}{4} \)
• Son olarak, \( x \) ile \( y \) yer değiştirerek ters fonksiyonu bulalım:
  \( f^{-1}(x) = \frac{x-5}{4} \)
• 📌 Kısa yol (Doğrusal fonksiyonlar için):
  Eğer \( f(x) = ax+b \) şeklinde bir doğrusal fonksiyon ise, tersi \( f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a} \) şeklinde bulunur. Bu örnekte \( a=4 \) ve \( b=5 \) olduğundan, \( f^{-1}(x) = \frac{x-5}{4} \) olur.
• ✅ Cevap: \( f^{-1}(x) = \frac{x-5}{4} \)

• 👉 Gidilen mesafeyi \( x \) (kilometre cinsinden) ile gösterelim.
• 👉 Yolculuk ücretini \( f(x) \) ile gösterelim.
• Fonksiyonu oluşturalım:
  • Açılış ücreti sabittir: 15 TL.
  • Kilometre başına ücret: \( 8x \) TL (çünkü \( x \) kilometre gidiliyor).
  • Toplam ücret, açılış ücreti ile kilometre ücretinin toplamıdır.
  Buna göre fonksiyonumuz:
  \( f(x) = 8x + 15 \)
• 12 km'lik bir yolculuğun ücretini hesaplayalım:
  \( x \) yerine 12 yazarak \( f(12) \) değerini buluruz.
  \( f(12) = 8 \cdot 12 + 15 \)
  \( f(12) = 96 + 15 \)
  \( f(12) = 111 \)
• ✅ Yani, 12 km'lik bir yolculuk 111 TL tutar. Bu, günlük hayatta sıkça karşılaşılan doğrusal fonksiyon modellerine güzel bir örnektir!