💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar Ve Grafik Çözümlü Örnekler

• 👉 Tanım kümesindeki her eleman, değer kümesinden yalnızca bir elemanla eşleşmelidir.
• 👉 Tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.

• a) \( f = \{(1, a), (2, b), (3, c), (1, b)\} \)

  • 📌 Tanım kümesindeki "1" elemanı, hem "a" hem de "b" elemanlarıyla eşleşmiştir. Bu, fonksiyon olma şartına aykırıdır.
  • ❌ Bu bağıntı bir fonksiyon değildir.

• b) \( g = \{(1, a), (2, b)\} \)

  • 📌 Tanım kümesindeki "3" elemanı, değer kümesinden hiçbir elemanla eşleşmemiştir (açıkta kalmıştır). Bu da fonksiyon olma şartına aykırıdır.
  • ❌ Bu bağıntı bir fonksiyon değildir.

• c) \( h = \{(1, a), (2, b), (3, c)\} \)

  • ✅ Tanım kümesindeki her eleman (1, 2, 3), değer kümesinden yalnızca bir elemanla (a, b, c) eşleşmiştir.
  • ✅ Tanım kümesinde açıkta eleman kalmamıştır.
  • ✅ Bu bağıntı bir fonksiyon belirtir.

• 👉 \( x = -1 \) için: \( f(-1) = 2 \cdot (-1) - 1 = -2 - 1 = -3 \)
• 👉 \( x = 0 \) için: \( f(0) = 2 \cdot (0) - 1 = 0 - 1 = -1 \)
• 👉 \( x = 1 \) için: \( f(1) = 2 \cdot (1) - 1 = 2 - 1 = 1 \)
• 👉 \( x = 2 \) için: \( f(2) = 2 \cdot (2) - 1 = 4 - 1 = 3 \)

Bu durumda, tanım kümesinin elemanlarının fonksiyon altındaki görüntüleri \(-3, -1, 1, 3\) olmuştur. 🏞️

✅ Görüntü kümesi \( f(A) = \{-3, -1, 1, 3\} \) olarak bulunur.

• \( (f + g)(x) \) fonksiyonu:

  • 📌 \( (f + g)(x) = f(x) + g(x) \)
  • 📌 \( (f + g)(x) = (x^2 + 3) + (2x - 5) \)
  • 📌 Parantezleri açıp benzer terimleri birleştirelim: \( x^2 + 2x + 3 - 5 \)
  • ✅ Sonuç: \( (f + g)(x) = x^2 + 2x - 2 \)

• \( (f - g)(x) \) fonksiyonu:

  • 📌 \( (f - g)(x) = f(x) - g(x) \)
  • 📌 \( (f - g)(x) = (x^2 + 3) - (2x - 5) \)
  • ❗ Eksiyi dağıtırken işaretlere dikkat edelim: \( x^2 + 3 - 2x + 5 \)
  • 📌 Benzer terimleri birleştirelim: \( x^2 - 2x + 3 + 5 \)
  • ✅ Sonuç: \( (f - g)(x) = x^2 - 2x + 8 \)

• 1. x-eksenini kestiği nokta (y = 0):

  • 📌 Fonksiyon kuralında \( f(x) \) yerine 0 yazalım: \( 0 = 3x - 6 \)
  • 📌 \( 6 = 3x \)
  • 📌 \( x = 2 \)
  • 👉 Yani, grafik x-eksenini \( (2, 0) \) noktasında keser.

• 2. y-eksenini kestiği nokta (x = 0):

  • 📌 Fonksiyon kuralında \( x \) yerine 0 yazalım: \( f(0) = 3 \cdot (0) - 6 \)
  • 📌 \( f(0) = -6 \)
  • 👉 Yani, grafik y-eksenini \( (0, -6) \) noktasında keser.

Bu iki noktayı (2, 0) ve (0, -6) koordinat sisteminde işaretleyip bir doğru ile birleştirdiğimizde \( f(x) = 3x - 6 \) fonksiyonunun grafiğini elde ederiz. ✨

• Başlangıçta depoda kaç litre yakıt vardır?

  • 📌 Başlangıç anı, zamanın \( x = 0 \) olduğu andır. Bu nokta, grafiğin y-eksenini kestiği noktadır.
  • 📌 Grafik y-eksenini 90 noktasında kestiğine göre, \( x = 0 \) iken yakıt miktarı 90 litredir.
  • ✅ Başlangıçta depoda 90 litre yakıt vardır.

• 6 saat sonra depoda kaç litre yakıt kalır?

  • 📌 Grafik doğrusal bir fonksiyonu temsil ettiğinden, iki noktası bilinen doğrunun denklemini bulabiliriz. Noktalarımız \( (0, 90) \) ve \( (10, 0) \).
  • 📌 Eğim \( m = \frac{0 - 90}{10 - 0} = \frac{-90}{10} = -9 \).
  • 📌 Doğrunun denklemi \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülünden veya \( y = mx + n \) formülünden bulunabilir. \( y = -9x + 90 \).
  • 📌 Şimdi \( x = 6 \) için \( y \) değerini bulalım: \( y = -9 \cdot 6 + 90 = -54 + 90 = 36 \).
  • ✅ 6 saat sonra depoda 36 litre yakıt kalır.

• Aracın yakıtı kaç saat sonra tamamen biter?

  • 📌 Yakıtın tamamen bitmesi, depodaki yakıt miktarının \( y = 0 \) olması anlamına gelir. Bu nokta, grafiğin x-eksenini kestiği noktadır.
  • 📌 Grafik x-eksenini 10 noktasında kestiğine göre, \( y = 0 \) iken zaman 10 saattir.
  • ✅ Aracın yakıtı 10 saat sonra tamamen biter.

• Fonksiyonun İfade Edilmesi:

  • 📌 Açılış ücreti sabittir: 15 TL.
  • 📌 Her kilometre için alınan ücret: 8 TL.
  • 📌 Gidilen mesafe: \( x \) kilometre.
  • 📌 x kilometre için ödenecek değişken ücret: \( 8x \) TL.
  • ✅ Toplam ödenecek ücret \( f(x) = 8x + 15 \) şeklinde ifade edilir.

• 12 km yolculuk yapan müşterinin ödeyeceği ücret:

  • 📌 Fonksiyonda \( x \) yerine 12 yazarak hesaplama yaparız: \( f(12) = 8 \cdot (12) + 15 \)
  • 📌 \( f(12) = 96 + 15 \)
  • ✅ \( f(12) = 111 \) TL. Yani, müşteri 111 TL öder.

• Sabit Fonksiyon Şartı:

  • 📌 Bir doğrusal fonksiyonun sabit fonksiyon olabilmesi için \( x \) teriminin katsayısı sıfır olmalıdır.
  • 📌 Bu durumda, \( (a-2) \) ifadesi sıfıra eşit olmalıdır: \( a-2 = 0 \)
  • 📌 Buradan \( a = 2 \) bulunur.

• Fonksiyonun Yeniden Yazılması:

  • 📌 \( a = 2 \) değerini fonksiyonda yerine yazarsak: \( f(x) = (2-2)x + b+3 \)
  • 📌 \( f(x) = 0 \cdot x + b+3 \)
  • 📌 \( f(x) = b+3 \) olur.
  • 👉 Görüldüğü gibi, fonksiyonun değeri sadece \( b+3 \) sabitine eşittir ve \( x \) değişkenine bağlı değildir.

• \( f(5) \) Değerinin Bulunması:

  • 📌 Sabit fonksiyon olduğu için \( x \) yerine hangi değeri yazarsak yazalım, fonksiyonun değeri değişmez.
  • 📌 Yani, \( f(5) \) de \( b+3 \) değerine eşit olacaktır.
  • ✅ \( f(5) = b+3 \) olarak bulunur. (b değeri verilmediği için sonuç b cinsinden kalır.)

• Karın Pozitif Olması Şartı:

  • 📌 \( -x^2 + 10x - 16 > 0 \) eşitsizliğini çözmeliyiz.
  • 📌 Eşitsizliği daha kolay çözmek için her iki tarafı \(-1\) ile çarpıp eşitsizlik yönünü değiştirelim: \( x^2 - 10x + 16 < 0 \)

• Denklemin Köklerini Bulma:

  • 📌 \( x^2 - 10x + 16 = 0 \) denkleminin köklerini çarpanlara ayırarak bulalım.
  • 📌 Çarpımları 16, toplamları -10 olan iki sayı -2 ve -8'dir.
  • 📌 Yani, \( (x-2)(x-8) = 0 \)
  • 📌 Kökler \( x_1 = 2 \) ve \( x_2 = 8 \) dir.

• Eşitsizliğin İşaret Analizi:

  • 📌 \( x^2 - 10x + 16 \) ifadesi, katsayısı pozitif olan bir parabol belirtir (kolları yukarı doğru).
  • 📌 Bu tür bir parabol, kökleri arasında negatif değerler, köklerinin dışında ise pozitif değerler alır.
  • 📌 Bizim aradığımız \( x^2 - 10x + 16 < 0 \) olduğu için, \( x \) değerleri kökler arasında olmalıdır.
  • 👉 Yani, \( 2 < x < 8 \) aralığında kar pozitif olur.

• Sonuç:

  • 📌 \( x \) yüz adet ürün miktarını temsil ettiğinden, şirket 200 adetten fazla ve 800 adetten az ürün üretmelidir.
  • ✅ Şirket, kar elde edebilmesi için aylık 2 yüz adet ile 8 yüz adet arasında ürün üretmelidir. (Örneğin 300, 400, ..., 700 adet).