🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyon Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Fonksiyon Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
A kümesi \( \{1, 2, 3\} \) ve B kümesi \( \{a, b, c, d\} \) olsun. Aşağıdaki bağıntılardan hangisi A'dan B'ye bir fonksiyon belirtir?
1. \( f_1 = \{(1, a), (2, b)\} \)
2. \( f_2 = \{(1, a), (2, b), (3, c), (1, d)\} \)
3. \( f_3 = \{(1, b), (2, d), (3, a)\} \)
1. \( f_1 = \{(1, a), (2, b)\} \)
2. \( f_2 = \{(1, a), (2, b), (3, c), (1, d)\} \)
3. \( f_3 = \{(1, b), (2, d), (3, a)\} \)
Çözüm:
- 💡 Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki temel kural vardır:
- 👉 Tanım kümesindeki her elemanın (Burada A kümesi) mutlaka bir görüntüsü olmalıdır. Yani tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
- 👉 Tanım kümesindeki her elemanın yalnızca bir görüntüsü olmalıdır. Yani bir eleman birden fazla farklı elemanla eşleşemez.
- Şimdi bağıntıları inceleyelim:
- 1. \( f_1 = \{(1, a), (2, b)\} \): Tanım kümesindeki \( 3 \) elemanının görüntüsü yok. Bu nedenle \( f_1 \) fonksiyon değildir. ❌
- 2. \( f_2 = \{(1, a), (2, b), (3, c), (1, d)\} \): Tanım kümesindeki \( 1 \) elemanının hem \( a \) hem de \( d \) ile eşleştiğini görüyoruz. Bu, "bir elemanın yalnızca bir görüntüsü olmalı" kuralına aykırıdır. Bu nedenle \( f_2 \) fonksiyon değildir. ❌
- 3. \( f_3 = \{(1, b), (2, d), (3, a)\} \): Tanım kümesindeki her elemanın (1, 2, 3) bir görüntüsü vardır ve her elemanın yalnızca bir görüntüsü vardır. Bu nedenle \( f_3 \) bir fonksiyondur. ✅
Örnek 2:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x) = 3x - 5 \) fonksiyonu veriliyor. Buna göre \( f(2) \) ve \( f(-1) \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
- 📌 Bir fonksiyonun değerini bulmak için, fonksiyonda \( x \) yerine istenen değeri yazarız.
- Öncelikle \( f(2) \) değerini bulalım:
- 👉 Fonksiyon kuralı \( f(x) = 3x - 5 \).
- 👉 \( x \) yerine \( 2 \) yazarsak: \( f(2) = 3 \times (2) - 5 \)
- 👉 \( f(2) = 6 - 5 \)
- 👉 \( f(2) = 1 \). ✅
- Şimdi de \( f(-1) \) değerini bulalım:
- 👉 Fonksiyon kuralı \( f(x) = 3x - 5 \).
- 👉 \( x \) yerine \( -1 \) yazarsak: \( f(-1) = 3 \times (-1) - 5 \)
- 👉 \( f(-1) = -3 - 5 \)
- 👉 \( f(-1) = -8 \). ✅
Örnek 3:
Bir doğrusal fonksiyon olan \( f(x) \) için \( f(1) = 4 \) ve \( f(3) = 10 \) olduğuna göre, \( f(x) \) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
Çözüm:
- 💡 Doğrusal fonksiyonlar \( f(x) = ax + b \) şeklinde yazılabilir.
- Verilen bilgileri kullanarak \( a \) ve \( b \) değerlerini bulmalıyız.
- 👉 \( f(1) = 4 \) demek, \( x=1 \) iken \( f(x)=4 \) demektir. Fonksiyon kuralında yerine yazalım:
\( a(1) + b = 4 \Rightarrow a + b = 4 \) (Denklem 1) - 👉 \( f(3) = 10 \) demek, \( x=3 \) iken \( f(x)=10 \) demektir. Fonksiyon kuralında yerine yazalım:
\( a(3) + b = 10 \Rightarrow 3a + b = 10 \) (Denklem 2) - Şimdi iki denklemi birlikte çözelim:
- \( 3a + b = 10 \)
- \( a + b = 4 \)
- İkinci denklemi eksi ile çarpıp birinci denklemle toplarsak:
- \( (3a + b) - (a + b) = 10 - 4 \)
- \( 3a + b - a - b = 6 \)
- \( 2a = 6 \)
- \( a = 3 \). ✅
- Bulduğumuz \( a = 3 \) değerini Denklem 1'de yerine yazalım:
- \( 3 + b = 4 \)
- \( b = 4 - 3 \)
- \( b = 1 \). ✅
- Böylece \( a=3 \) ve \( b=1 \) değerlerini bulduk. O halde fonksiyon kuralı:
- \( f(x) = 3x + 1 \).
Örnek 4:
\( f(x) \) bir birim fonksiyon ve \( g(x) \) bir sabit fonksiyon olmak üzere,
\( f(x) = (a-2)x + b+1 \)
\( g(x) = (c+3)x + 7 \)
eşitlikleri veriliyor. Buna göre \( a, b, c \) değerlerini ve \( f(5) + g(10) \) toplamını bulunuz.
\( f(x) = (a-2)x + b+1 \)
\( g(x) = (c+3)x + 7 \)
eşitlikleri veriliyor. Buna göre \( a, b, c \) değerlerini ve \( f(5) + g(10) \) toplamını bulunuz.
Çözüm:
- 📌 Birim fonksiyon \( f(x) = x \) şeklindedir. Yani \( x \)'in katsayısı \( 1 \), sabit terim \( 0 \) olmalıdır.
- 📌 Sabit fonksiyon \( g(x) = k \) (bir sabit sayı) şeklindedir. Yani \( x \)'in katsayısı \( 0 \) olmalıdır.
- \( f(x) \) birim fonksiyon olduğuna göre:
- 👉 \( x \)'in katsayısı \( a-2 = 1 \Rightarrow a = 3 \). ✅
- 👉 Sabit terim \( b+1 = 0 \Rightarrow b = -1 \). ✅
- Buna göre \( f(x) = x \) olur.
- \( g(x) \) sabit fonksiyon olduğuna göre:
- 👉 \( x \)'in katsayısı \( c+3 = 0 \Rightarrow c = -3 \). ✅
- 👉 Sabit terim \( 7 \) olduğundan, \( g(x) = 7 \) olur.
- Şimdi bizden istenen \( f(5) + g(10) \) toplamını bulalım:
- 👉 \( f(5) \) için \( f(x)=x \) olduğundan \( f(5) = 5 \).
- 👉 \( g(10) \) için \( g(x)=7 \) olduğundan \( g(10) = 7 \).
- Toplam: \( f(5) + g(10) = 5 + 7 = 12 \). ✅
Örnek 5:
\( f(x) = 2x + 1 \) ve \( g(x) = x^2 - 3 \) fonksiyonları veriliyor. Buna göre \( (f \circ g)(x) \) ve \( (g \circ f)(1) \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
- 💡 Bileşke fonksiyon \( (f \circ g)(x) \) demek \( f(g(x)) \) demektir. Yani \( f \) fonksiyonunda \( x \) gördüğümüz yere \( g(x) \) fonksiyonunu yazarız.
- Öncelikle \( (f \circ g)(x) \) fonksiyonunu bulalım:
- 👉 \( f(g(x)) = f(x^2 - 3) \)
- 👉 \( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( (x^2 - 3) \) yazarsak: \( 2(x^2 - 3) + 1 \)
- 👉 \( 2x^2 - 6 + 1 \)
- 👉 \( (f \circ g)(x) = 2x^2 - 5 \). ✅
- Şimdi de \( (g \circ f)(1) \) değerini bulalım:
- 👉 \( (g \circ f)(1) \) demek \( g(f(1)) \) demektir. Önce \( f(1) \) değerini bulalım.
- 👉 \( f(1) = 2(1) + 1 = 3 \).
- 👉 Şimdi \( g(3) \) değerini bulalım. \( g(x) = x^2 - 3 \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( 3 \) yazarsak:
- 👉 \( g(3) = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6 \).
- 👉 Bu nedenle \( (g \circ f)(1) = 6 \). ✅
Örnek 6:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x) = 5x - 7 \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu \( (f^{-1}(x)) \) bulunuz. Ayrıca \( f^{-1}(3) \) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
- 💡 Bir fonksiyonun tersini bulmak için, \( y = f(x) \) deriz ve \( x \)'i \( y \) cinsinden yalnız bırakırız. Sonra \( x \) yerine \( f^{-1}(y) \) ve \( y \) yerine \( x \) yazarız.
- Fonksiyonumuz \( f(x) = 5x - 7 \).
- 👉 \( y = 5x - 7 \)
- 👉 \( y + 7 = 5x \)
- 👉 \( x = \frac{y + 7}{5} \)
- 👉 Şimdi \( x \) yerine \( f^{-1}(y) \) ve \( y \) yerine \( x \) yazarsak: \( f^{-1}(x) = \frac{x + 7}{5} \). ✅
- Şimdi de \( f^{-1}(3) \) değerini hesaplayalım:
- 👉 Bulduğumuz ters fonksiyon kuralında \( x \) yerine \( 3 \) yazalım:
- 👉 \( f^{-1}(3) = \frac{3 + 7}{5} \)
- 👉 \( f^{-1}(3) = \frac{10}{5} \)
- 👉 \( f^{-1}(3) = 2 \). ✅
- 📌 Alternatif olarak, \( f^{-1}(3) = k \) ise \( f(k) = 3 \) demektir.
- 👉 \( 5k - 7 = 3 \)
- 👉 \( 5k = 10 \)
- 👉 \( k = 2 \). Sonuç yine aynıdır.
Örnek 7:
Bir taksi şirketinin taksimetre açılış ücreti 15 TL'dir. Her kilometre için ise 8 TL ücret almaktadır. Bu taksi ile gidilen yolu \( x \) (kilometre cinsinden) ve ödenecek toplam ücreti \( f(x) \) (TL cinsinden) olarak ifade eden fonksiyonu yazınız. Eğer 25 km yol gidilirse kaç TL ödenir?
Çözüm:
- 📌 Bu tür problemlerde, sabit bir başlangıç ücreti ve yolun uzunluğuna bağlı değişken bir ücret vardır.
- Ödenecek toplam ücreti \( f(x) \) olarak ifade edelim:
- 👉 Açılış ücreti sabit bir değerdir: 15 TL.
- 👉 Kilometre başına ücret yolun uzunluğuna \( (x) \) bağlıdır: \( 8 \times x \) TL.
- 👉 Bu iki değeri toplarsak toplam ücret fonksiyonunu elde ederiz:
\( f(x) = 8x + 15 \). ✅ - Şimdi, 25 km yol gidilirse kaç TL ödeneceğini bulalım. Yani \( f(25) \) değerini hesaplamalıyız:
- 👉 Fonksiyonda \( x \) yerine \( 25 \) yazalım: \( f(25) = 8 \times (25) + 15 \)
- 👉 \( f(25) = 200 + 15 \)
- 👉 \( f(25) = 215 \).
- Yani, 25 km yol gidildiğinde 215 TL ödenir. ✅
Örnek 8:
Bir telefon operatörü, abonelerine aylık 50 TL sabit ücret ve her konuşulan dakika için 0.50 TL ek ücret tarifesi sunmaktadır. Konuşulan dakika sayısını \( t \) ve aylık toplam faturayı \( F(t) \) olarak ifade eden fonksiyonu yazınız. Eğer bir ayda 120 dakika konuşulursa fatura kaç TL gelir?
Çözüm:
- 💡 Günlük hayatta birçok durum fonksiyonel ilişkilerle açıklanabilir. Burada da bir telefon faturası örneği var.
- Aylık toplam faturayı \( F(t) \) olarak ifade edelim:
- 👉 Aylık sabit ücret: 50 TL. Bu, kaç dakika konuşulursa konuşulsun ödenecek temel ücrettir.
- 👉 Konuşulan dakika başına ücret: Konuşulan dakika sayısı \( t \) olduğu için, bu kısım \( 0.50 \times t \) TL olacaktır.
- 👉 Toplam fatura bu iki bileşenin toplamıdır:
\( F(t) = 0.50t + 50 \). ✅ - Şimdi, bir ayda 120 dakika konuşulursa faturanın kaç TL geleceğini bulalım. Yani \( F(120) \) değerini hesaplamalıyız:
- 👉 Fonksiyonda \( t \) yerine \( 120 \) yazalım: \( F(120) = 0.50 \times (120) + 50 \)
- 👉 \( F(120) = 60 + 50 \)
- 👉 \( F(120) = 110 \).
- Yani, 120 dakika konuşulursa aylık fatura 110 TL gelir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-fonksiyon/sorular