🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyon Referans Noktalari Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Fonksiyon Referans Noktalari Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir fonksiyonun grafiği veriliyor. Bu grafikteki tepe noktasının koordinatlarını bulunuz. Fonksiyon \( f(x) = (x-2)^2 + 3 \) olarak verilmiştir.
Çözüm:
- Fonksiyonun grafiğindeki tepe noktası, \( f(x) = a(x-h)^2 + k \) formundaki bir parabolün \( (h, k) \) noktasıdır.
- Verilen fonksiyonda \( h = 2 \) ve \( k = 3 \) olarak görülmektedir.
- Dolayısıyla, tepe noktasının koordinatları \( (2, 3) \) olur. 💡
Örnek 2:
\( y = x^2 - 4x + 5 \) fonksiyonunun grafiği bir paraboldür. Bu parabolün tepe noktasının apsisini (x-koordinatını) bulunuz.
Çözüm:
- Parabolün tepe noktasının apsisi \( x = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
- Verilen fonksiyonda \( a=1 \) ve \( b=-4 \) 'tür.
- Apsisi hesaplayalım: \( x = -\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2 \). 👉
- Parabolün tepe noktasının apsisi 2'dir.
Örnek 3:
\( g(x) = -x^2 + 6x - 7 \) fonksiyonunun grafiği olan parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
- Öncelikle tepe noktasının apsisini hesaplayalım: \( x = -\frac{b}{2a} \).
- Burada \( a = -1 \) ve \( b = 6 \) 'dır.
- \( x = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3 \).
- Şimdi bu apsis değerini fonksiyonda yerine koyarak ordinatı (y-koordinatını) bulalım: \( g(3) \).
- \( g(3) = -(3)^2 + 6(3) - 7 = -9 + 18 - 7 = 9 - 7 = 2 \). ✅
- Tepe noktasının koordinatları \( (3, 2) \) olur.
Örnek 4:
Bir \( h(x) = 2x^2 + 8x + 5 \) fonksiyonunun grafiği çizildiğinde, bu grafiğin y-eksenini kestiği noktanın koordinatları nedir?
Çözüm:
- Bir fonksiyonun grafiğinin y-eksenini kestiği nokta, x-koordinatının 0 olduğu noktadır.
- Yani, \( x=0 \) iken fonksiyonun değerini bulmalıyız: \( h(0) \).
- \( h(0) = 2(0)^2 + 8(0) + 5 = 0 + 0 + 5 = 5 \). 📌
- Yani, fonksiyon y-eksenini \( (0, 5) \) noktasında keser.
Örnek 5:
Bir futbol topu, yerden \( h(t) = -5t^2 + 20t \) formülü ile verilen yükseklikte (metre cinsinden) t saniye sonra havada bulunmaktadır. Topun ulaşabileceği en yüksek yüksekliği ve bu yüksekliğe ulaştığı zamanı bulunuz.
Çözüm:
- Bu problem, tepe noktası parabol olan bir fonksiyonun maksimum değerini bulma problemidir.
- Fonksiyon \( h(t) = -5t^2 + 20t \) şeklinde verilmiştir. Burada \( a = -5 \) ve \( b = 20 \)'dir.
- En yüksek yüksekliğe ulaşılan zaman (t-değeri), tepe noktasının apsisidir: \( t = -\frac{b}{2a} \).
- \( t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2 \) saniye.
- Şimdi bu zamanı fonksiyonda yerine koyarak en yüksek yüksekliği bulalım: \( h(2) \).
- \( h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20 \) metre. 🚀
- Top, 2 saniye sonra 20 metre yüksekliğe ulaşır.
Örnek 6:
Bir e-ticaret sitesi, bir ürünün satış fiyatını \( x \) TL olarak belirlediğinde, günlük karının \( K(x) = -x^2 + 100x - 500 \) TL olduğunu hesaplıyor. Sitenin maksimum kar elde edebilmesi için ürünün satış fiyatı ne olmalıdır?
Çözüm:
- Maksimum karı bulmak için, kar fonksiyonunun tepe noktasının apsisini hesaplamalıyız.
- Fonksiyon \( K(x) = -x^2 + 100x - 500 \) 'dir. Burada \( a = -1 \) ve \( b = 100 \)'dür.
- Satış fiyatı \( x = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
- \( x = -\frac{100}{2 \times (-1)} = -\frac{100}{-2} = 50 \) TL. 💰
- Sitenin maksimum kar elde edebilmesi için ürünün satış fiyatı 50 TL olmalıdır.
Örnek 7:
\( f(x) = x^2 - 6x + k \) fonksiyonunun grafiği olan parabol, x-eksenine teğettir. Buna göre k değerini bulunuz.
Çözüm:
- Bir parabolün x-eksenine teğet olması demek, tepe noktasının y-koordinatının 0 olması demektir.
- Parabolün tepe noktasının apsisi \( x = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
- Verilen fonksiyonda \( a=1 \) ve \( b=-6 \)'dır.
- Tepe noktasının apsisi: \( x = -\frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 \).
- Şimdi bu apsis değerini fonksiyonda yerine koyarak y-değerinin 0'a eşit olduğunu kullanalım: \( f(3) = 0 \).
- \( f(3) = (3)^2 - 6(3) + k = 9 - 18 + k = -9 + k \).
- \( -9 + k = 0 \) olduğundan, \( k = 9 \) olur. ✅
Örnek 8:
\( P(x) = 3x^2 - 12x + 10 \) fonksiyonunun grafiği çizildiğinde, bu grafiğin x-eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamını bulunuz.
Çözüm:
- Bir fonksiyonun grafiğinin x-eksenini kestiği noktalar, fonksiyonun kökleridir.
- Yani, \( P(x) = 0 \) denkleminin köklerini bulmalıyız: \( 3x^2 - 12x + 10 = 0 \).
- Bu bir ax^2 + bx + c = 0 şeklindeki ikinci dereceden denklemdir.
- Kökler toplamı formülü \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 'dır.
- Verilen denklemde \( a=3 \) ve \( b=-12 \)'dir.
- Kökler toplamı: \( x_1 + x_2 = -\frac{-12}{3} = \frac{12}{3} = 4 \). 👉
- Grafiğin x-eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı 4'tür.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-fonksiyon-referans-noktalari/sorular