💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyon Olma Şartları Çözümlü Örnekler

Fonksiyon olma şartını hatırlayalım: Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki her elemanın değer kümesindeki yalnızca bir elemanla eşlenmesi gerekir.

• A seçeneğinde, tanım kümesindeki '1' elemanı hem '2' hem de '4' ile eşlenmiştir. Bu nedenle A fonksiyon değildir. ❌
• B seçeneğinde, tanım kümesindeki 'a', 'b', 'c' elemanlarının her biri değer kümesindeki yalnızca bir elemanla eşlenmiştir. Bu nedenle B bir fonksiyondur. ✅
• C seçeneğinde, tanım kümesindeki '3' elemanı hem '5' hem de '7' ile eşlenmiştir. Bu nedenle C fonksiyon değildir. ❌
• D seçeneğinde, tanım kümesindeki 'm' elemanı hem 'p' hem de 'r' ile eşlenmiştir. Bu nedenle D fonksiyon değildir. ❌

Sonuç olarak, doğru cevap B seçeneğidir. 👉

Fonksiyonun kuralı \( f(x) = 2x - 1 \) olarak verilmiş.
Bizden \( f(3) \) değerini bulmamız isteniyor.
Bu, fonksiyonda \( x \) yerine 3 yazmamız gerektiği anlamına gelir.

• \( f(3) = 2 \times (3) - 1 \)
• \( f(3) = 6 - 1 \)
• \( f(3) = 5 \)

Dolayısıyla, \( f(3) \) değeri 5'tir. 💡

Fonksiyonun kuralı \( f(x) = x^2 + 1 \) ve tanım kümesi \( A = \{ -1, 0, 1 \} \).
Görüntü kümesini bulmak için tanım kümesindeki her elemanı fonksiyonda yerine koymalıyız.

• \( x = -1 \) için: \( f(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \)
• \( x = 0 \) için: \( f(0) = (0)^2 + 1 = 0 + 1 = 1 \)
• \( x = 1 \) için: \( f(1) = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \)

Fonksiyonda elde ettiğimiz değerler \( \{ 2, 1, 2 \} \).
Görüntü kümesi, bu değerlerin farklı olanlarını içeren kümedir.
Dolayısıyla görüntü kümesi \( \{ 1, 2 \} \)'dir. ✅

Fonksiyon olma şartını tekrar gözden geçirelim: Tanım kümesindeki her eleman, değer kümesindeki tek bir elemanla eşlenmelidir.
Tanım kümesi \( \mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... \} \).
Değer kümesi \( \mathbb{Z} \) (tam sayılar).
Fonksiyonun kuralı \( f(x) = \frac{6}{x} \).

• \( x = 1 \) için: \( f(1) = \frac{6}{1} = 6 \). \( 6 \in \mathbb{Z} \).
• \( x = 2 \) için: \( f(2) = \frac{6}{2} = 3 \). \( 3 \in \mathbb{Z} \).
• \( x = 3 \) için: \( f(3) = \frac{6}{3} = 2 \). \( 2 \in \mathbb{Z} \).
• \( x = 4 \) için: \( f(4) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \). \( \frac{3}{2} \notin \mathbb{Z} \).
• \( x = 5 \) için: \( f(5) = \frac{6}{5} \). \( \frac{6}{5} \notin \mathbb{Z} \).
• \( x = 6 \) için: \( f(6) = \frac{6}{6} = 1 \). \( 1 \in \mathbb{Z} \).

Tanım kümesindeki 4 sayısı için elde ettiğimiz sonuç (\( \frac{3}{2} \)) değer kümesi olan tam sayılar kümesinde yer almamaktadır.
Bu durum, tanım kümesindeki bir elemanın değer kümesinde bir karşılığı olmadığı anlamına gelir.
Bu nedenle, \( f(x) = \frac{6}{x} \) fonksiyonu, tanım kümesi \( \mathbb{Z}^+ \) olduğunda bir fonksiyon belirtmez. ❌

Bu durumu fonksiyon olma şartları açısından inceleyelim.

• Tanım Kümesi: Sınıftaki öğrencilerin isimleri. Her öğrencinin bir ismi vardır.
• Değer Kümesi: Ölçülen boy uzunlukları (cm).

Fonksiyon olma şartı: Tanım kümesindeki her eleman, değer kümesindeki yalnızca bir elemanla eşlenmelidir.

• Bir öğrencinin tek bir adı vardır.
• Bir öğrencinin ölçülen tek bir boy uzunluğu vardır (belirli bir anda).

Bu durumda, her öğrencinin ismi (tanım kümesi elemanı), ölçülen tek bir boy uzunluğu ile (değer kümesi elemanı) eşleşir.
Dolayısıyla, öğrencilerin isimlerinin boy uzunluklarıyla eşlenmesi durumu bir fonksiyon belirtir. ✅
💡 Bu tür fonksiyonlara "birebir eşleme" denir eğer her öğrencinin boyu farklıysa ve "örten fonksiyon" denir eğer tüm olası boy uzunlukları (örneğin 150 cm ile 190 cm arasındaki tüm değerler) değer kümesinde yer alıyorsa.

Bu günlük hayat örneğini fonksiyon olma kriterlerine göre değerlendirelim.

• Tanım Kümesi: Ürünlerin barkod numaraları. Her ürünün kendine özgü bir barkod numarası vardır.
• Değer Kümesi: Ürünlerin fiyatları (TL).

Fonksiyon olma şartı: Tanım kümesindeki her eleman (barkod numarası), değer kümesindeki yalnızca bir elemanla (fiyat) eşlenmelidir.

• Bir barkod numarası, marketteki tek bir ürüne aittir.
• Bu ürünün de tek bir fiyatı vardır (aynı anda).

Dolayısıyla, her barkod numarası, o barkoda sahip ürünün tek bir fiyatıyla eşleşir.
Bu ilişki bir fonksiyon belirtir. ✅
📌 Örneğin, barkod numarası 12345 olan ürünün fiyatı 25 TL ise, bu eşleşme \( f(12345) = 25 \) şeklinde gösterilebilir.

Öncelikle tanım kümesi \( A \)'yı belirleyelim. \( A \), -2'den büyük ve 3'e eşit veya küçük olan tam sayılardan oluşur.
\( A = \{ -1, 0, 1, 2, 3 \} \)
Şimdi de değer kümesi \( B \)'yi inceleyelim. \( B \), 0'a eşit veya büyük ve 10'dan küçük olan tam sayılardan oluşur.
\( B = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
Fonksiyonumuz \( f(x) = 2x + 1 \).
Tanım kümesindeki her elemanı fonksiyonda yerine koyarak görüntü kümesini bulalım:

• \( x = -1 \) için: \( f(-1) = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1 \). Ancak \( -1 \notin B \). Bu eleman değer kümesinde olmadığı için fonksiyonun tanımına uymaz.
• \( x = 0 \) için: \( f(0) = 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1 \). \( 1 \in B \).
• \( x = 1 \) için: \( f(1) = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3 \). \( 3 \in B \).
• \( x = 2 \) için: \( f(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 \). \( 5 \in B \).
• \( x = 3 \) için: \( f(3) = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7 \). \( 7 \in B \).

Tanım kümesindeki \( x = -1 \) elemanı için elde ettiğimiz değer \( -1 \), değer kümesi \( B \) içinde yer almadığı için bu eşleşme fonksiyonun tanımına uymaz. Bu durum, \( f \) fonksiyonunun \( A \to B \) şeklinde tanımlanırken geçerli olmadığını gösterir. Ancak soruda \( f: A \to B \) bir fonksiyon olduğu varsayılmış. Eğer bu bir fonksiyon ise, tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir karşılığı olmalıdır. Eğer varsayım doğruysa, tanım kümesindeki \( -1 \) elemanı için \( f(-1) \) değeri \( B \) kümesinde olmalıdır. Bu bir çelişki yaratır.
Eğer soru \( f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) şeklinde olsaydı ve sadece tanım kümesi \( A \) olarak verilseydi, görüntü kümesi \( \{ -1, 1, 3, 5, 7 \} \) olurdu.
Ancak \( f: A \to B \) verildiği için ve \( f(-1) = -1 \notin B \) olduğundan, bu tanıma göre bir fonksiyon tanımlanamaz. Sorunun bu haliyle bir çelişki içerdiğini belirtmek önemlidir.
Eğer soru, tanım kümesi \( A \) ve kuralı \( f(x) = 2x + 1 \) olan ve değer kümesi \( \mathbb{Z} \) olan bir fonksiyonun görüntü kümesini sorsaydı, cevap \( \{ -1, 1, 3, 5, 7 \} \) olurdu.
Sorunun mevcut haliyle, tanım kümesindeki \( x=-1 \) elemanının görüntüsü \( -1 \) olup bu değer değer kümesi \( B \) içinde bulunmadığından, bu kural ile \( A \to B \) şeklinde bir fonksiyon tanımlanamaz. Eğer soru bir fonksiyon olduğunu varsayıyor ise, burada bir tutarsızlık vardır.
Varsayımın doğru olduğunu kabul edersek ve tanım kümesindeki geçerli eşleşmeleri alırsak, görüntü kümesi \( \{ 1, 3, 5, 7 \} \) olur. 💡

Bu durumu fonksiyon olma şartları açısından inceleyelim.

• Tanım Kümesi: Okul numaraları. Her öğrencinin kendine özgü bir okul numarası vardır.
• Değer Kümesi: Öğrencinin girdiği sınavdaki notları.

Fonksiyon olma şartı: Tanım kümesindeki her eleman (okul numarası), değer kümesindeki yalnızca bir elemanla (sınav notu) eşlenmelidir.

• Bir okul numarası, tek bir öğrenciye aittir.
• Bu öğrencinin girdiği belirli bir sınavdaki notu da tek bir değerdir.

Bu durumda, her okul numarası, o okul numarasına sahip öğrencinin tek bir sınav notu ile eşleşir.
Dolayısıyla, okul numaralarının sınav notlarıyla eşlenmesi durumu bir fonksiyon belirtir. ✅
📌 Örneğin, okul numarası 101 olan öğrencinin notu 85 ise, bu eşleşme \( f(101) = 85 \) şeklinde gösterilebilir.

Fonksiyon olma şartı: Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde tek bir görüntüsü olmalıdır.
Fonksiyonumuz \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \).
Tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) olarak verilmiş. Bu, reel sayılardan 2'nin çıkarıldığı anlamına gelir. Çünkü payda \( x-2 \) olduğundan, \( x=2 \) için ifade tanımsız olur.
Değer kümesi ise \( \mathbb{R} \) (reel sayılar).
Şimdi tanım kümesindeki herhangi bir \( x \) elemanını alalım ( \( x \neq 2 \) ).
\( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \) işlemini yaptığımızda elde edeceğimiz sonuç bir reel sayı olacaktır.

• Örneğin, \( x=3 \) için: \( f(3) = \frac{3+1}{3-2} = \frac{4}{1} = 4 \). \( 4 \in \mathbb{R} \).
• Örneğin, \( x=0 \) için: \( f(0) = \frac{0+1}{0-2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \). \( -\frac{1}{2} \in \mathbb{R} \).
• Örneğin, \( x=-1 \) için: \( f(-1) = \frac{-1+1}{-1-2} = \frac{0}{-3} = 0 \). \( 0 \in \mathbb{R} \).

Tanım kümesindeki her \( x \) değeri için \( f(x) \) işlemi tanımlıdır ve elde edilen sonuç bir reel sayıdır.
Ayrıca, bu kesirli ifadede \( x \) tek bir değer aldığında, \( f(x) \) de tek bir değer alır. Yani, her tanım kümesi elemanı, değer kümesindeki yalnızca bir elemanla eşlenir.
Bu nedenle, \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \) fonksiyonu, verilen tanım ve değer kümeleri için fonksiyon olma şartını sağlar. ✅